1、高中物理奥赛常用数学公式一、等差、等比数列1定义： 1nnada是 等 差 数 列,(0,)nnnqq是 等 比 数 列, (,)2ababab等 差 中 项 等 比 中 项 同 号2.公式(1)通项 1()()nmdnd1nnmqa(2)前 n 项和 11()222n nas d也是等差数列1()d11 1nnnaqs二.数列求和(1) 222()113.6n(2) 23 ()(1)4n 三、三角公式1、和差角公式 2sinsincosincotatta()1nn()1tan)sicossibb2、倍角公式 万能公式 2tansinicos1222 21tancoicssi2333tanta
2、1si3i4sicos4cos3、半角公式，升降幂公式 22221cos1s1scosinsin tani1sco1cos1sin4、积化和差，和差化积公式sinsincossin2sicos2 2co co1 1sinsin()si()scos()cs()2 2coc （2）正弦定理 (R 是 外接圆半径)2sinisinabRABCABC（3）余弦定理 22coc22cosabc（4） 1sin()()4ABCaabShprpR其中 为半周长2cp四、重要不等式12 2(,0)1abab223(,0)13ccabc322(,)ababR3(,0)cc五、球1、 22Rrd2、球面距离 l2
3、2coscosABABrr（ 是径度差）3、 24SR球内接长方体 2224lRabc侧棱两两垂直的三棱锥补形 长方体 球内接长方体4、体积 3V3SR球 球球 球多面体内切球半径 ： 3VrS全六、二项式定理（1） 01()nnnabCabC（2） 2(1)1nnxxc七、导数1 000xxffxyflimli0f在 处 可 导 ， 注 意 ： 在 处 不 可 导二、运算法则：2134xuUVUVy 三、导数公式（1） （2）0C 1nx（3） （4）xe xal（5） （6）1(ln) 1(log)lnaaex（7） （8）sicosxcsix8、设三角形 ABC 的外心为 O，垂心为 H
4、，从 O 向 BC 边引垂线，设垂足不 L，则AH=2OL 中考不需要，竞赛中很显然的结论9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 高中竞赛中非常重要的定理，称为欧拉线10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆) 三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 高中竞赛中的常用定理11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上 高中竞赛中会用，不常用12、库立奇 *大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆
5、内接四边形的九点圆。 高中竞赛的题目，不用掌握13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss 为三角形周长的一半 重要14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 重要15、中线定理：(巴布斯定理) 设三角形 ABC 的边 BC 的中点为 P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 初中竞赛需要，重要16、斯图尔特定理：P 将三角形 ABC 的边 BC 内分成 m:n，则有nAB2+mAC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 高中竞赛需要，重要17、波罗摩及多定理：圆内接四边形 ABCD 的对角线互相垂直时
6、，连接 AB 中点 M 和对角线交点 E 的直线垂直于 CD 显然的结论，不需要掌握18、阿波罗尼斯定理：到两定点 A、B 的距离之比为定比 m:n(值不为1) 的点 P，位于将线段 AB 分成 m:n 的内分点 C 和外分点 D 为直径两端点的定圆周上 高中竞赛需要，重要19、托勒密定理：设四边形 ABCD 内接于圆，则有 ABCD+ADBC=ACBD 初中竞赛需要，重要20、以任意三角形 ABC 的边 BC、CA 、AB 为底边，分别向外作底角都是 30度的等腰BDC、CEA、AFB，则DEF 是正三角形， 学习复数后是显然的结论，不需要掌握21、爱尔可斯定理1：若ABC 和三角形都是正三
7、角形，则由线段 AD、BE 、CF 的重心构成的三角形也是正三角形。 不需要掌握22、爱尔可斯定理2：若ABC、DEF、GHI 都是正三角形，则由三角形ADG、BEH、CFI 的重心构成的三角形是正三角形。 不需要掌握23、梅涅劳斯定理：设ABC 的三边 BC、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为 P、Q 、R 则有 BPPCCQQAARRB=1 初中竞赛需要，重要24、梅涅劳斯定理的逆定理：(略) 初中竞赛需要，重要25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设ABC 的A 的外角平分线交边 CA 于 Q、C 的平分线交边 AB 于 R， 、B 的平分线交边 CA 于 Q，
8、则 P、Q、R 三点共线。 不用掌握26、梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意ABC 的三个顶点 A、B、C 作它的外接圆的切线，分别和 BC、CA、AB 的延长线交于点 P、Q 、R ，则 P、Q、R 三点共线 不用掌握27、塞瓦定理：设ABC 的三个顶点 A、B、C 的不在三角形的边或它们的延长线上的一点 S 连接面成的三条直线，分别与边 BC、CA、AB 或它们的延长线交于点P、 Q、R，则 BPPCCQQAARRB()=1. 初中竞赛需要，重要28、塞瓦定理的应用定理：设平行于ABC 的边 BC 的直线与两边 AB、AC 的交点分别是 D、E，又设 BE 和 CD 交于 S，则 AS 一定
9、过边 BC 的中心 M 不用掌握29、塞瓦定理的逆定理：(略) 初中竞赛需要，重要30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点 这个定理用塞瓦定理来证明将毫无几何美感，应该用中位线证明才漂亮31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设ABC 的内切圆和边 BC、CA、AB 分别相切于点 R、S 、T，则 AR、BS、CT 交于一点。 不用掌握32、西摩松定理：从ABC 的外接圆上任意一点 P 向三边 BC、CA、AB 或其延长线作垂线，设其垂足分别是 D、E、R，则 D、E 、R 共线，(这条直线叫西摩松线) 初中竞赛的常用定理33、西摩松定理的逆定理：(略) 初中竞赛的常用定理34
10、、史坦纳定理：设ABC 的垂心为 H，其外接圆的任意点 P，这时关于ABC 的点P 的西摩松线通过线段 PH 的中心。 不用掌握35、史坦纳定理的应用定理：ABC 的外接圆上的一点 P 的关于边 BC、CA、AB 的对称点和ABC 的垂心 H 同在一条 (与西摩松线平行的)直线上。这条直线被叫做点 P 关于ABC 的镜象线。 不用掌握36、波朗杰、腾下定理：设ABC 的外接圆上的三点为 P、Q、R ，则 P、Q、R 关于ABC 交于一点的充要条件是：弧 AP+弧 BQ+弧 CR=0(mod2). 不用掌握37、波朗杰、腾下定理推论1：设 P、Q、R 为ABC 的外接圆上的三点，若P、 Q、R
11、关于ABC 的西摩松线交于一点，则 A、B、C 三点关于PQR 的的西摩松线交于与前相同的一点 不用掌握38、波朗杰、腾下定理推论2：在推论1 中，三条西摩松线的交点是A、B 、C 、P 、 Q、R 六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。 不用掌握39、波朗杰、腾下定理推论3：考查ABC 的外接圆上的一点 P 的关于ABC 的西摩松线，如设 QR 为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦，则三点 P、Q 、R 的关于ABC的西摩松线交于一点 不用掌握40、波朗杰、腾下定理推论4：从ABC 的顶点向边 BC、CA、AB 引垂线，设垂足分别是 D、E、F，且设边 B
12、C、CA、AB 的中点分别是 L、M、N，则 D、E、F、L、M 、N六点在同一个圆上，这时 L、M、N 点关于关于ABC 的西摩松线交于一点。 不用掌41、关于西摩松线的定理1：ABC 的外接圆的两个端点 P、Q 关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。 不用掌握42、关于西摩松线的定理2(安宁定理)：在一个圆周上有 4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点。 不用掌握43、卡诺定理：通过ABC 的外接圆的一点 P，引与ABC 的三边 BC、CA、AB 分别成同向的等角的直线 PD、PE 、PF，与三边的交点分别是 D、E、F，则 D、
13、E、F 三点共线。44、奥倍尔定理：通过ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与ABC 的外接圆的交点分别是 L、M、N，在ABC 的外接圆取一点 P，则 PL、PM 、PN 与ABC的三边 BC、CA 、AB 或其延长线的交点分别是 D、E、F ，则 D、E、F 三点共线 不用掌握45、清宫定理：设 P、Q 为ABC 的外接圆的异于 A、B、C 的两点，P 点的关于三边BC、CA、AB 的对称点分别是 U、V 、W ，这时，QU、QV、QW 和边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别是 D、E、F，则 D、E、F 三点共线 不用掌46、他拿定理：设 P、Q 为关于ABC 的外接圆的
14、一对反点，点 P 的关于三边BC、CA、AB 的对称点分别是 U、V 、W ，这时，如果 QU、QV、QW 与边BC、CA、AB 或其延长线的交点分别为 ED、E 、F，则 D、E、F 三点共线。( 反点：P、 Q 分别为圆 O 的半径 OC 和其延长线的两点，如果 OC2=OQOP 则称 P、Q 两点关于圆 O 互为反点) 不用掌握47、朗古来定理：在同一圆同上有 A1B1C1D14点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点 P，作 P 点的关于这4个三角形的西摩松线，再从 P 向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上。 不用掌握48、九点圆定理：三角形三边的中点, 三高的垂足和三个欧拉
15、点 连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点九点共圆 通常称这个圆为九点圆nine-point circle,或欧拉圆,费尔巴哈圆. 上面已经有、一个圆周上有 n 个点，从其中任意 n-1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点。 不用掌握50、康托尔定理1：一个圆周上有 n 个点，从其中任意 n-2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。不用掌握51、康托尔定理2：一个圆周上有 A、B、C、D 四点及 M、N 两点，则 M 和 N 点关于四个三角形BCD、CDA、DAB、ABC 中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线上。这条直线叫做 M、N 两点关于四边形 ABCD 的康
16、托尔线。 不用掌握52、康托尔定理3：一个圆周上有 A、B、C、D 四点及 M、N、L 三点，则 M、N 两点的关于四边形 ABCD 的康托尔线、 L、N 两点的关于四边形 ABCD 的康托尔线、M 、L两点的关于四边形 ABCD 的康托尔线交于一点。这个点叫做 M、N、L 三点关于四边形ABCD 的康托尔点。 不用掌握53、康托尔定理4：一个圆周上有 A、B、C、D、E 五点及 M、N、L 三点，则M、 N、L 三点关于四边形 BCDE、CDEA 、DEAB 、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上。这条直线叫做 M、N 、 L 三点关于五边形 A、B、C、D、E 的康托尔线。 不用掌握5
17、4、费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。 不用掌握55、莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。 这是我认为的平面几何中最漂亮最神奇的几个定理之一，但不用掌握56、牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。 高中竞赛中常57、牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。 不用掌握58、笛沙格定理1：平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点(A 和D、B 和 E、C 和 F)的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。 高中竞赛中偶尔会用59、笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点(A 和D、B 和 E、C 和 F)的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。60、布利安松定理：连结外切于圆的六边形 ABCDEF 相对的顶点 A 和 D、B 和 E、C和 F，则这三线共点。 高中竞赛中偶尔会用61、巴斯加定理：圆内接六边形 ABCDEF 相对的边 AB 和 DE、BC 和 EF、CD 和 FA的(或延长线的) 交点共线。 高中竞赛中重要，一般称做帕斯卡定理，而且是圆锥曲线内接六边形
