1、高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 1动量和能量第一讲 基本知识介绍一、冲量和动量1、冲力（Ft 图象特征） 冲量。冲量定义、物理意义冲量在 Ft 图象中的意义从定义角度求变力冲量（F 对 t 的平均作用力）2、动量的定义动量矢量性与运算二、动量定理1、定理的基本形式与表达2、分方向的表达式：I x =P x ，I y =P y 3、定理推论：动量变化率等于物体所受的合外力。即 =F 外 tP三、动量守恒定律1、定律、矢量性2、条件a、原始条件与等效b、近似条件c、某个方向上满足 a 或 b，可在此方向应用动量守恒定律四、功和能1、功的定义、标量性，功在 FS
2、图象中的意义2、功率，定义求法和推论求法3、能的概念、能的转化和守恒定律4、功的求法a、恒力的功：W = FScos= FSF = FS Sb、变力的功：基本原则过程分割与代数累积；利用 FS 图象（或先寻求 F对 S 的平均作用力）c、解决功的“疑难杂症”时，把握“功是能量转化的量度”这一要点五、动能、动能定理1、动能（平动动能）高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 22、动能定理a、 W 的两种理解b、动能定理的广泛适用性六、机械能守恒1、势能a、保守力与耗散力（非保守力） 势能（定义：E p = W 保 ）b、力学领域的三种势能（重力势能、引力势能、弹性势能
3、）及定量表达2、机械能3、机械能守恒定律a、定律内容b、条件与拓展条件（注意系统划分）c、功能原理：系统机械能的增量等于外力与耗散内力做功的代数和。七、碰撞与恢复系数1、碰撞的概念、分类（按碰撞方向分类、按碰撞过程机械能损失分类）碰撞的基本特征：a、动量守恒；b、位置不超越；c、动能不膨胀。2、三种典型的碰撞a、弹性碰撞：碰撞全程完全没有机械能损失。满足m1v10 + m2v20 = m1v1 + m2v2m1 + m2 = m1 + m200v解以上两式（注意技巧和“不合题意”解的舍弃）可得：v1 = ， v2 = 210v)(120)(对于结果的讨论：当 m1 = m2 时，v 1 = v
4、20 ， v2 = v10 ，称为“交换速度” ；当 m1 m2 ，且 v20 = 0 时，v 1 v 10 ，v 2 0 ，小物碰大物，原速率返回；当 m1 m2 ，且 v20 = 0 时，v 1 v10 ，v 2 2v10 ，b、非（完全）弹性碰撞：机械能有损失（机械能损失的内部机制简介） ，只满足动量守恒定律c、完全非弹性碰撞：机械能的损失达到最大限度；外部特征：碰撞后两物体连为高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 3一个整体，故有v1 = v2 = 2100mv3、恢复系数：碰后分离速度（v 2 v1）与碰前接近速度（ v10 v20）的比值，即：e =
5、。根据“碰撞的基本特征 ”，0 e 1 。201v当 e = 0 ，碰撞为完全非弹性；当 0 e 1 ，碰撞为非弹性；当 e = 1 ，碰撞为弹性。八、 “广义碰撞”物体的相互作用1、当物体之间的相互作用时间不是很短，作用不是很强烈，但系统动量仍然守恒时，碰撞的部分规律仍然适用，但已不符合“碰撞的基本特征” （如：位置可能超越、机械能可能膨胀） 。此时，碰撞中“不合题意”的解可能已经有意义，如弹性碰撞中 v1 = v10 ，v 2 = v20 的解。2、物体之间有相对滑动时，机械能损失的重要定势：E = E 内 = f 滑 S 相 ，其中 S 相 指相对路程。第二讲 重要模型与专题一、动量定理
6、还是动能定理物理情形：太空飞船在宇宙飞行时，和其它天体的万有引力可以忽略，但是，飞船会定时遇到太空垃圾的碰撞而受到阻碍作用。设单位体积的太空均匀分布垃圾 n 颗，每颗的平均质量为 m ，垃圾的运行速度可以忽略。飞船维持恒定的速率 v 飞行，垂直速度方向的横截面积为 S ，与太空垃圾的碰撞后，将垃圾完全粘附住。试求飞船引擎所应提供的平均推力 F 。模型分析：太空垃圾的分布并不是连续的，对飞船的撞击也不连续，如何正确选取研究对象，是本题的前提。建议充分理解“平均”的含义，这样才能相对模糊地处理垃圾与飞船的作用过程、淡化“作用时间”和所考查的“物理过程时间 ”的差异。物理过程需要人为截取，对象是太空
7、垃圾。高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 4先用动量定理推论解题。取一段时间 t ，在这段时间内，飞船要穿过体积 V = Svt 的空间，遭遇nV 颗太空垃圾，使它们获得动量 P ，其动量变化率即是飞船应给予那部分垃圾的推力，也即飞船引擎的推力。= tP = = tvVnm = = nmSv2FtvM tvnS如果用动能定理，能不能解题呢？同样针对上面的物理过程，由于飞船要前进 x = vt 的位移，引擎推力 须做功 W F= Fx ，它对应飞船和被粘附的垃圾的动能增量，而飞船的 E k 为零，所以：W = Mv 21即： vt = （n m Svt）v 2得到
8、： F = nmSv2两个结果不一致，不可能都是正确的。分析动能定理的解题，我们不能发现，垃圾与飞船的碰撞是完全非弹性的，需要消耗大量的机械能，因此，认为“引擎做功就等于垃圾动能增加”的观点是错误的。但在动量定理的解题中，由于 I = t ，由此推出的 = 必然是飞船对垃FFtP圾的平均推力，再对飞船用平衡条件， 的大小就是引擎推力大小了。这个解没有毛病可挑，是正确的。（学生活动）思考：如图 1 所示，全长 L、总质量为M 的柔软绳子，盘在一根光滑的直杆上，现用手握住绳子的一端，以恒定的水平速度 v 将绳子拉直。忽略地面阻力，试求手的拉力 F 。解：解题思路和上面完全相同。答： Lv2二、动量
9、定理的分方向应用物理情形：三个质点 A、B 和 C ，质量分别为m1 、m 2和 m3 ，用拉直且不可伸长的绳子 AB 和 BC相连，静止在水平面上，如图 2 所示，AB 和 BC 之高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 5间的夹角为（） 。现对质点 C 施加以冲量 I ，方向沿 BC ，试求质点 A 开始运动的速度。模型分析：首先，注意“开始运动”的理解，它指绳子恰被拉直，有作用力和冲量产生，但是绳子的方位尚未发生变化。其二，对三个质点均可用动量定理，但是，B 质点受冲量不在一条直线上，故最为复杂，可采用分方向的形式表达。其三，由于两段绳子不可伸长，故三质点的瞬
10、时速度可以寻求到两个约束关系。下面具体看解题过程绳拉直瞬间，AB 绳对 A、B 两质点的冲量大小相等（方向相反） ，设为 I1 ，BC 绳对B、C 两质点的冲量大小相等（方向相反） ，设为 I2 ；设 A 获得速度 v1（由于 A 受合冲量只有 I1 ,方向沿 AB ，故 v1的反向沿 AB） ，设 B 获得速度 v2（由于 B 受合冲量为+ ，矢量和既不沿 AB ，也不沿 BC 方向，可设 v22与 AB 绳夹角为 ，如图 3 所示） ，设 C 获得速度 v3（合冲量 + 沿 BC 方向，故 v3沿 BC 方向） 。I2对 A 用动量定理，有：I1 = m1 v1 B 的动量定理是一个矢量方
11、程： + = m2 ，1I可化为两个分方向的标量式，即：I2cosI 1 = m2 v2cos I2sin= m 2 v2sin 质点 C 的动量定理方程为：I I 2 = m3 v3 AB 绳不可伸长，必有 v1 = v2cos BC 绳不可伸长，必有 v2cos() = v 3 六个方程解六个未知量（I 1 、I 2 、v 1 、v 2 、v 3 、）是可能的，但繁复程度非同一般。解方程要注意条理性，否则易造成混乱。建议采取如下步骤1、先用式消掉 v2 、v 3 ，使六个一级式变成四个二级式：I1 = m1 v1 I2cosI 1 = m2 v1 高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大
12、教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 6I2sin= m 2 v1 tg I I 2 = m3 v1(cos+ sintg) 2、解式消掉 ，使四个二级式变成三个三级式：I1 = m1 v1 I2cosI 1 = m2 v1 I = m3 v1 cos+ I 2 23sin3、最后对式消 I1 、I 2 ，解 v1就方便多了。结果为：v1 = 2313212 sinm)(co（学生活动：训练解方程的条理和耐心）思考：v 2的方位角 等于多少？解：解“二级式”的即可。代入消 I1 ，得 I2的表达式，将 I2的表达式代入就行了。答：= arc tg（ ） 。tgm21三、动量守恒中的相对运动问题物理情形：在
13、光滑的水平地面上，有一辆车，车内有一个人和 N 个铅球，系统原来处于静止状态。现车内的人以一定的水平速度将铅球一个一个地向车外抛出，车子和人将获得反冲速度。第一过程，保持每次相对地面抛球速率均为 v ，直到将球抛完；第二过程，保持每次相对车子抛球速率均为 v ，直到将球抛完。试问：哪一过程使车子获得的速度更大？模型分析：动量守恒定律必须选取研究对象之外的第三方（或第四、第五方）为参照物，这意味着，本问题不能选车子为参照。一般选地面为参照系，这样对“第二过程”的铅球动量表达，就形成了难点，必须引进相对速度与绝对速度的关系。至于“第一过程” ，比较简单：N 次抛球和将 N 个球一次性抛出是完全等效
14、的。设车和人的质量为 M ，每个铅球的质量为 m 。由于矢量的方向落在一条直线上，可以假定一个正方向后，将矢量运算化为代数运算。设车速方向为正，且第一过程获得的速度大小为 V1 第二过程获得的速度大小为 V2 。第一过程，由于铅球每次的动量都相同，可将多次抛球看成一次抛出。车子、人和N 个球动量守恒。高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 70 = Nm(-v) + MV1 得：V 1 = v MNm第二过程，必须逐次考查铅球与车子（人）的作用。第一个球与（N1）个球、人、车系统作用，完毕后，设“系统”速度为 u1 。值得注意的是，根据运动合成法则 ，铅球对地的速度
15、并不是（ -v） ，半半半 vv而是（-v + u 1） 。它们动量守恒方程为：0 = m(-v + u1) +M +(N-1)mu 1得：u 1 = vNmM第二个球与（N -2）个球、人、车系统作用，完毕后，设“系统”速度为 u2 。它们动量守恒方程为：M+(N-1)mu 1 = m(-v + u2) +M+(N-2)mu 2 得：u 2 = + vmv1N(第三个球与（N -2）个球、人、车系统作用，完毕后，设“系统”速度为 u3 。铅球对地的速度是（-v + u 3） 。它们动量守恒方程为：M+(N-2)mu 2 = m(-v + u3) +M+(N-3)mu 3得：u 3 = + +
16、 vmMv1N(vm)2N(M以此类推（过程注意：先找 uN和 uN-1关系，再看 uN和 v 的关系，不要急于化简通分），u N的通式已经可以找出：V2 = uN = + + + + v)1()2(vM即：V 2 = 1iimM我们再将式改写成：V1 = Niv不难发现，式和式都有 N 项，每项的分子都相同，但式中每项的分母都比式中的分母小，所以有：V 1 V 2 。高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 8结论：第一过程使车子获得的速度较大。（学生活动）思考：质量为 M 的车上，有 n 个质量均为 m 的人，它们静止在光滑的水平地面上。现在车上的人以相对车大小恒
17、为 v、方向水平向后的初速往车下跳。第一过程，N 个人同时跳下；第二过程，N 个人依次跳下。试问：哪一次车子获得的速度较大？解：第二过程结论和上面的模型完全相同，第一过程结论为 V1 = 。nivmM答：第二过程获得速度大。四、反冲运动中的一个重要定式物理情形：如图 4 所示，长度为 L、质量为 M 的船停止在静水中（但未抛锚） ，船头上有一个质量为 m 的人，也是静止的。现在令人在船上开始向船尾走动，忽略水的阻力，试问：当人走到船尾时，船将会移动多远？（学生活动）思考：人可不可能匀速（或匀加速）走动？当人中途停下休息，船有速度吗？人的全程位移大小是 L 吗？本系统选船为参照，动量守恒吗？模型
18、分析：动量守恒展示了已知质量情况下的速度关系，要过渡到位移关系，需要引进运动学的相关规律。根据实际情况（人必须停在船尾） ，人的运动不可能是匀速的，也不可能是匀加速的,运动学的规律应选择 S = t 。为寻求时间 t ，则要抓人和船的v位移约束关系。对人、船系统，针对“开始走动中间任意时刻”过程，应用动量守恒（设末态人的速率为 v ，船的速率为 V） ，令指向船头方向为正向，则矢量关系可以化为代数运算，有：0 = MV + m(-v) 即：mv = MV 由于过程的末态是任意选取的，此式展示了人和船在任一时刻的瞬时速度大小关系。而且不难推知，对中间的任一过程，两者的平均速度也有这种关系。即：高
19、考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 9m = M v V设全程的时间为 t ，乘入式两边，得：m t = M tvV设 s 和 S 分别为人和船的全程位移大小，根据平均速度公式，得：m s = M S 受船长 L 的约束，s 和 S 具有关系：s + S = L 解、可得：船的移动距离 S = LmM（应用动量守恒解题时，也可以全部都用矢量关系，但这时“位移关系”表达起来难度大一些必须用到运动合成与分解的定式。时间允许的话，可以做一个对比介绍。）另解：质心运动定律人、船系统水平方向没有外力，故系统质心无加速度系统质心无位移。先求出初态系统质心（用它到船的质心的水平
20、距离 x 表达。根据力矩平衡知识，得：x = ） ，又根据，末态的质量分布与初态比较，相对整体质心是左右对称的。弄清)Mm(2L了这一点后，求解船的质心位移易如反掌。（学生活动）思考：如图 5 所示，在无风的天空，人抓住气球下面的绳索，和气球恰能静止平衡，人和气球地质量分别为 m 和 M ，此时人离地面高 h 。现在人欲沿悬索下降到地面，试问：要人充分安全地着地，绳索至少要多长？解：和模型几乎完全相同，此处的绳长对应模型中的“船的长度”（“充分安全着地”的含义是不允许人脱离绳索跳跃着地） 。答： h 。Mm（学生活动）思考：如图6 所示，两个倾角相同的斜面，互相高考资源网（） ，您身边的高考专
21、家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 10倒扣着放在光滑的水平地面上，小斜面在大斜面的顶端。将它们无初速释放后，小斜面下滑，大斜面后退。已知大、小斜面的质量分别为 M 和 m ，底边长分别为 a 和 b ，试求：小斜面滑到底端时，大斜面后退的距离。解：水平方向动量守恒。解题过程从略。答： （ab） 。mM进阶应用：如图 7 所示，一个质量为 M ，半径为R 的光滑均质半球，静置于光滑水平桌面上，在球顶有一个质量为 m 的质点，由静止开始沿球面下滑。试求：质点离开球面以前的轨迹。解说：质点下滑，半球后退，这个物理情形和上面的双斜面问题十分相似，仔细分析，由于同样满足水平方向动量守恒，故我们介绍的“
22、定式” 是适用的。定式解决了水平位移（位置）的问题，竖直坐标则需要从数学的角度想一些办法。为寻求轨迹方程，我们需要建立一个坐标：以半球球心 O 为原点，沿质点滑下一侧的水平轴为 x 坐标、竖直轴为 y 坐标。由于质点相对半球总是做圆周运动的（离开球面前） ，有必要引入相对运动中半球球心 O的方位角 来表达质点的瞬时位置，如图 8 所示。由“定式” ，易得：x = Rsin mM而由图知：y = Rcos 不难看出，、两式实际上已经是一个轨迹的参数方程。为了明确轨迹的性质，我们可以将参数 消掉，使它们成为：+ = 12)RmM(xy这样，特征就明显了：质点的轨迹是一个长、短半轴分别为 R 和 R
23、 的椭圆。mM五、功的定义式中 S 怎么取值高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 11在求解功的问题时，有时遇到力的作用点位移与受力物体的（质心）位移不等，S 是取力的作用点的位移，还是取物体（质心）的位移呢？我们先看下面一些事例。1、如图 9 所示，人用双手压在台面上推讲台，结果双手前进了一段位移而讲台未移动。试问：人是否做了功？2、在本“部分”第 3 页图 1 的模型中，求拉力做功时，S 是否可以取绳子质心的位移？3、人登静止的楼梯，从一楼到二楼。楼梯是否做功？4、如图 10 所示，双手用等大反向的力 F 压固定汽缸两边的活塞，活塞移动相同距离 S，汽缸中封闭
24、气体被压缩。施力者（人）是否做功？在以上四个事例中，S 若取作用点位移，只有第 1、2、4例是做功的（注意第 3 例，楼梯支持力的作用点并未移动，而只是在不停地交换作用点） ，S 若取物体（受力者）质心位移，只有第 2、3 例是做功的，而且，尽管第 2 例都做了功，数字并不相同。所以，用不同的判据得出的结论出现了本质的分歧。面对这些似是而非的“疑难杂症” ，我们先回到“做功是物体能量转化的量度”这一根本点。第 1 例，手和讲台面摩擦生了热，内能的生成必然是由人的生物能转化而来，人肯定做了功。S 宜取作用点的位移；第 2 例，求拉力的功，在前面已经阐述，S 取作用点位移为佳；第 3 例，楼梯不需
25、要输出任何能量，不做功，S 取作用点位移；第 4 例，气体内能的增加必然是由人输出的，压力做功，S 取作用点位移。但是，如果分别以上四例中的受力者用动能定理，第 1 例，人对讲台不做功， S 取物体质心位移；第 2 例，动能增量对应 S 取 L/2 时的值 物体质心位移；第 4 例，气体宏观动能无增量，S 取质心位移。 （第 3 例的分析暂时延后。 ）以上分析在援引理论知识方面都没有错，如何使它们统一？原来，功的概念有广义和狭义之分。在力学中，功的狭义概念仅指机械能转换的量度；而在物理学中功的广义概念指除热传递外的一切能量转换的量度。所以功也可定义为能量转换的量度。一个系高考资源网（） ，您身
26、边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 12统总能量的变化，常以系统对外做功的多少来量度。能量可以是机械能、电能、热能、化学能等各种形式，也可以多种形式的能量同时发生转化。由此可见，上面分析中，第一个理论对应的广义的功，第二个理论对应的则是狭义的功，它们都没有错误，只是在现阶段的教材中还没有将它们及时地区分开来而已。而且，我们不难归纳：求广义的功，S 取作用点的位移；求狭义的功，S 取物体（质心）位移。那么我们在解题中如何处理呢？这里给大家几点建议： 1、抽象地讲“某某力做的功”一般指广义的功；2、讲 “力对某物体做的功”常常指狭义的功；3 、动能定理中的功肯定是指狭义的功。当然，求解功
27、地问题时，还要注意具体问题具体分析。如上面的第 3 例，就相对复杂一些。如果认为所求为狭义的功，S 取质心位移，是做了功，但结论仍然是难以令人接受的。下面我们来这样一个处理：将复杂的形变物体（人）看成这样一个相对理想的组合：刚性物体下面连接一压缩的弹簧（如图 11 所示） ，人每一次蹬梯，腿伸直将躯体重心上举，等效为弹簧将刚性物体举起。这样，我们就不难发现，做功的是人的双腿而非地面，人既是输出能量（生物能）的机构，也是得到能量（机械能）的机构这里的物理情形更象是一种生物情形。本题所求的功应理解为广义功为宜。以上四例有一些共同的特点：要么，受力物体情形比较复杂（形变，不能简单地看成一个质点。如第
28、 2、第 3、第 4 例） ，要么，施力者和受力者之间的能量转化不是封闭的（涉及到第三方，或机械能以外的形式。如第 1 例） 。以后，当遇到这样的问题时，需要我们慎重对待。（学生活动）思考：足够长的水平传送带维持匀速 v 运转。将一袋货物无初速地放上去，在货物达到速度 v 之前，与传送带的摩擦力大小为 f ，对地的位移为 S 。试问：求摩擦力的功时，是否可以用 W = fS ？解：按一般的理解，这里应指广义的功（对应传送带引擎输出的能量） ，所以“位移”取作用点的位移。注意，在此处有一个隐含的“交换作用点” 的问题，仔细分析，不难发现，每一个（相对皮带不动的）作用点的位移为 2S 。 （另解：
29、求货物动能的增加和与皮带摩擦生热的总和。 ）高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 13答：否。（学生活动）思考：如图 12 所示，人站在船上，通过拉一根固定在铁桩的缆绳使船靠岸。试问：缆绳是否对船和人的系统做功？解：分析同上面的“第3 例” 。答：否。六、机械能守恒与运动合成（分解）的综合物理情形：如图 13 所示，直角形的刚性杆被固定，水平和竖直部分均足够长。质量分别为 m1和 m2的 A、B 两个有孔小球，串在杆上，且被长为 L 的轻绳相连。忽略两球的大小，初态时，认为它们的位置在同一高度，且绳处于拉直状态。现无初速地将系统释放，忽略一切摩擦，试求 B 球运动
30、 L/2 时的速度 v2 。模型分析：A、B 系统机械能守恒。A、B 两球的瞬时速度不等，其关系可据“第三部分”知识介绍的定式（滑轮小船）去寻求。（学生活动）A 球的机械能是否守恒？B 球的机械能是否守恒？系统机械能守恒的理由是什么（两法分析：a、 “微元法”判断两个 WT的代数和为零；b、无非弹性碰撞，无摩擦，没有其它形式能的生成）？由“拓展条件”可以判断，A、B 系统机械能守恒， （设末态 A 球的瞬时速率为 v1 ）过程的方程为：m2g = + L212m在末态，绳与水平杆的瞬时夹角为 30，设绳子的瞬时迁移速率为 v ，根据“第三部分”知识介绍的定式，有：v1 = v/cos30, v
31、2 = v/sin30两式合并成：v 1 = v2 tg30= v2/ 3高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 14解、两式，得：v 2 = 21mgL3七、动量和能量的综合（一）物理情形：如图 14 所示，两根长度均为 L 的刚性轻杆，一端通过质量为 m 的球形铰链连接，另一端分别与质量为 m 和 2m 的小球相连。将此装置的两杆合拢，铰链在上、竖直地放在水平桌面上，然后轻敲一下，使两小球向两边滑动，但两杆始终保持在竖直平面内。忽略一切摩擦，试求：两杆夹角为 90时，质量为 2m 的小球的速度 v2 。模型分析：三球系统机械能守恒、水平方向动量守恒，并注意约束关
32、系两杆不可伸长。（学生活动）初步判断：左边小球和球形铰链的速度方向会怎样？设末态（杆夹角 90）左边小球的速度为 v1（方向：水平向左） ，球形铰链的速度为 v（方向：和竖直方向夹 角斜向左） ，对题设过程，三球系统机械能守恒，有：mg( L- L) = m + mv2 + 2m 212v12v三球系统水平方向动量守恒，有：mv1 + mvsin= 2mv2 左边杆子不形变，有：v1cos45= vcos(45-) 右边杆子不形变，有：vcos(45+) = v 2cos45 四个方程，解四个未知量（v 1 、v 2 、v 和 ） ，是可行的。推荐解方程的步骤如下1、两式用 v2替代 v1和
33、v ，代入式，解 值，得：tg= 1/4 2、在回到、两式，得：v1 = v2 , v = v2 3537高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 153、将 v1 、v 的替代式代入式解 v2即可。结果：v 2 = 0)2(gL3（学生活动）思考：球形铰链触地前一瞬，左球、铰链和右球的速度分别是多少？解：由两杆不可形变，知三球的水平速度均为零， 为零。一个能量方程足以解题。答：0 、 、0 。gL2（学生活动）思考：当两杆夹角为 90时，右边小球的位移是多少？解：水平方向用“反冲位移定式” ，或水平方向用质心运动定律。答： 。L823进阶应用：在本讲模型“四、反冲”
34、的“进阶应用”（见图 8）中，当质点 m 滑到方位角 时（未脱离半球） ，质点的速度 v 的大小、方向怎样？解说：此例综合应用运动合成、动量守恒、机械能守恒知识，数学运算比较繁复，是一道考查学生各种能力和素质的难题。据运动的合成，有：= + = - 半v半半v半半v其中 必然是沿地面向左的，为了书写方便，我们设其大小为 v2 ；半必然是沿半球瞬时位置切线方向（垂直瞬时半径）的，设大小为 v 相 。根据矢半量减法的三角形法则，可以得到 （设大小为 v1）的示意图，如图 16 所示。同时，半v我们将 v1的 x、y 分量 v1x和 v1y也描绘在图中。由图可得：v 1y =（v 2 + v1x）t
35、g 质点和半球系统水平方向动量守恒，有：Mv 2 = mv1x 对题设过程，质点和半球系统机械能守恒，有：mgR(1-cos) = M + m 21v21，即：mgR(1-cos) = M + m（ + ） 21v2x1yv三个方程，解三个未知量（v 2 、v 1x 、v 1y）是可行的，但数学运算繁复，推荐步骤高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 16如下1、由、式得：v 1x = v2 ， v 1y = ( tg) v 2 mMmM2、代入式解 v2 ，得：v 2 = 22tg)(cos1gR3、由 = + 解 v1 ，得：v 1 =1x1y22sin)mM(
36、)cos(gRv1的方向：和水平方向成 角，= arctg = arctg（ ）x1yvtgMm这就是最后的解。一个附属结果：质点相对半球的瞬时角速度 = = Rv半。 )sinmM(Rco1g22八、动量和能量的综合（二）物理情形：如图 17 所示，在光滑的水平面上，质量为 M = 1 kg 的平板车左端放有质量为 m = 2 kg 的铁块，铁块与车之间的摩擦因素 = 0.5 。开始时，车和铁块以共同速度 v = 6 m/s 向右运动，车与右边的墙壁发生正碰，且碰撞是弹性的。车身足够长，使铁块不能和墙相碰。重力加速度 g = 10 m/s2 ，试求：1、铁块相对车运动的总路程；2、平板车第一
37、次碰墙后所走的总路程。模型分析：本模型介绍有两对相互作用时的处理常规。能量关系介绍摩擦生热定式的应用。由于过程比较复杂，动量分析还要辅助以动力学分析，综合程度较高。由于车与墙壁的作用时短促而激烈的，而铁块和车的作用是舒缓而柔和的，当两对作用同时发生时，通常处理成“让短时作用完毕后，长时作用才开始 ”（这样可以使问题简化） 。在此处，车与墙壁碰撞时，可以认为铁块与车的作用尚未发生，而是在车与墙作高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 17用完了之后，才开始与铁块作用。规定向右为正向，将矢量运算化为代数运算。车第一次碰墙后，车速变为v ，然后与速度仍为 v 的铁块作用，
38、动量守恒，作用完毕后，共同速度 v1 = = ，因方向为正，必朝墙运动。Mm)v(3（学生活动）车会不会达共同速度之前碰墙？动力学分析：车离墙的最大位移 S = ,反向加速的位移 S= ，其中 a = a1 = ，故 S S ，所以，车碰墙a2v12mg之前，必然已和铁块达到共同速度 v1 。车第二次碰墙后，车速变为v 1 ，然后与速度仍为 v1的铁块作用，动量守恒，作用完毕后，共同速度 v2 = = = ，因方向为正，必朝墙运动。Mm)(312车第三次碰墙，共同速度 v3 = = ，朝墙运动。23以此类推，我们可以概括铁块和车的运动情况铁块：匀减速向右匀速向右匀减速向右匀速向右平板车：匀减速
39、向左匀加速向右匀速向右匀减速向左匀加速向右匀速向右显然，只要车和铁块还有共同速度，它们总是要碰墙，所以最后的稳定状态是：它们一起停在墙角（总的末动能为零） 。1、全程能量关系：对铁块和车系统，E k =E 内 ，且，E 内 = f 滑 S 相 ，即： （m + M）v 2 = mgS 相 代入数字得：S 相 = 5.4 m2、平板车向右运动时比较复杂，只要去每次向左运动的路程的两倍即可。而向左是匀减速的，故第一次：S 1 = a2v第二次：S 2 = = 123高考资源网（） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 18第三次：S 3 = = a2v1423n 次碰墙的总路程是：S
40、 = 2（ S1 + S2 + S3 + + Sn ）= （ 1 + + + + av2234半1n23）= （ 1 + + + + ）Mmgv22341半1n23碰墙次数 n，代入其它数字，得：S = 4.05 m（学生活动）质量为 M 、程度为 L 的木板固定在光滑水平面上，另一个质量为 m的滑块以水平初速 v0冲上木板，恰好能从木板的另一端滑下。现解除木板的固定（但无初速） ，让相同的滑块再次冲上木板，要求它仍能从另一端滑下，其初速度应为多少？解：由第一过程，得滑动摩擦力 f = 。L2v0第二过程应综合动量和能量关系（“恰滑下”的临界是：滑块达木板的另一端，和木板具有共同速度，设为 v ） ，设新的初速度为 0vm =（ m + M ）v0m - （ m + M ）v 2 = fL21解以上三式即可。答： = v0 。0v
