1、1第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性： 、 、 3. 集合的表示：(1)用拉丁字母表示集合(2)集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：1） 列举法：a,b,c2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。x R|x-32 ,x| x-323） 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 4）Venn 图:4、集合的分类： 、 、 二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意： 有两种可能（1）A 是 B 的一部分， ；（2）A 与 B 是同一集合。B2 “相等”关系：A=B (55，且 55，则 5=5
2、) 任何一个集合是它本身的子集。AA真子集:如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B(或 B A)如果 AB, BC ,那么 ；如果 AB 同时 B A 那么 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。有 n 个元素的集合，含有 个子集， 个真子集； 个非空真子集。三、集合的运算运算类型 交 集 并 集 补 集定 义 由所有属于 A 且属于 B的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作A B（读作A 交 B） ，即 A B= 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并集
3、记作：A B（读作A 并B） ，即 A B = 设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集，由 S 中所有不属于 A的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作 ，即 CSA= S韦氏图A B图1A B图2SASA2性 质A A=A A =A B=B AA BAA BBA A=AA =AA B=B AA BA BB(CuA) (CuB)= Cu (A B)(CuA) (CuB)= Cu(A B)A (CuA)=UA (CuA)= 二、函数的有关概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确
4、定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域2定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成
5、的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法： 表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关） ；定义域一致 (两点必须同时具备)3值域 : 先考虑其定义域：(1)观察法 ；(2)配方法；(3)代换法4区间的概念5.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集二函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x 2，当 x
6、1x2时，若都有 ，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间.若都有 f(x1) f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是 .区间 D 称为 y=f(x)的 .注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2） 图象的特点如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象 的，减函数的图象 的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：步骤（1）任取 x1，x 2D，且 x1x2；（2）作差 f(x1)f(x 2)；（3）变形（通常是因式分解和配方） ；（4）定号
7、（即判断差 f(x1)f(x 2)的正负） ；（5）下结论（指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性） (B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性：复合函数 fg(x)的单调性与构成它的函数 u=g(x)， y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 32函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数：对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 ，那么 f(x)就叫做偶函数（2）奇函数：对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 ，那么 f(x)就叫做奇函数（3）具有奇偶性的函数的
8、图象的特征：偶函数的图象关于 对称；奇函数的图象关于 对称利用定义判断函数奇偶性的步骤：（1） ；（2） （3） ；注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数. 3、函数的解析表达式（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：（1）配凑法；（2）待定系数法；（3）换元法；（4）消参法。10函数最大（小）值（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值（2）利用图象求函数的最大（小）值（3）利用函数
9、单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b)；如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b)；典型例题1、若全集 U1,2,3,4,5,6，M 2,3，N 1,4，则集合5,6 等于( )AMN BMN C( UM)( UN) D( UM)( UN)2、下列函数中，与函数 y 有相同定义域的是( )1xAf(x)lnx Bf(x) Cf(x)|x| Df (x)e x1x3、(2010 年重庆)函数 y 的值域是(
10、 )16 4xA0，) B0,4 C0,4) D (0,4)4、若函数 yf( x)的定义域是0,2，则函数 g(x) 的定义域是( )f2xx 1A0,1 B0,1) C0,1)(1,4 D (0,1)5、下列函数中，既是偶函数又在(0，) 单调递增的函数是 ( )Ayx 3 By |x|1 Cyx 21 Dy2 |x|6、(2011 年广东)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )Af(x)|g( x)|是偶函数 Bf(x)|g(x)|是奇函数 C|f(x )|g(x) 是偶函数 D|f (x)|g( x)是奇函数7、 (2011 年浙江)已知
11、 f(x)Error!则 f(2)f (2)的值为 8、(2010 年山东)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f( x)2 x2xb(b 为常数)，则 f(1)= 9、设 f(x2)2x3，则 f(x) 410、(2011 届上海十三校联考 )设函数 yf (x)在 R 内有定义，对于给定的正数 k，定义函数 fk(x)Error!取函数f(x)log 2|x|.当 k 时，函数 fk(x)的单调递增区间为_1211、2011青岛期末 在计算机的算法语言中有一种函数 x叫做取整函数( 也称高斯函数)，表示不超过 x 的最大整数，例如22，3.3 3， 2.43.设函数 f(x
12、) ，则函数 yf(x )f(x) 的值域为2x1 2x 12_12、2011杭州调研 （1）已知函数 f x 2 ，则 f(3)_(x 1x) 1x2（2）函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x2) f(x)1，若 f(1)5，则 f(5)_13、二次函数 f(x)满足 f(x1)f(x)2x3，且 f(0)2.(1)求 f(x)的解析式；(2)求 f(x)在 3,4上的值域；(3)若函数 f(xm)为偶函数，求 ff(m)的值；(4)求 f(x)在m，m2上的最小值14、定义：如果函数 yf( x)在定义域内给定区间a，b 上存在 x0(ax0b)，满足 f(x0) ，则称函数f
13、b fab ayf(x) 是 a，b上的“平均值函数” ，x 0 是它的一个均值点如 yx 4 是1,1上的平均值函数，0 就是它的均值点(1)判断函数 f(x)x 24x 在区间0,9上是否为平均值函数？若是，求出它的均值点；若不是，请说明理由；(2)若函数 f(x) x2mx 1 是区间 1,1上的平均值函数，试确定实数 m 的取值范围15、已知定义在 R 上的函数 f(x) (a，b 为实常数) 2x a2x 1 b(1)当 ab1 时，证明：f (x)不是奇函数；(2)设 f(x)是奇函数，求 a 与 b 的值；5(3)当 f(x)是奇函数时，证明对任何实数 x，c 都有 f(x)c23c3 成立
