1、2.4.1抛物线的标准方程,第2章 2.4. 抛物线,1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程.,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一抛物线的定义,答案,平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的 的点的轨迹叫做 .定点F叫做抛物线的，定直线l叫做抛物线的.,距离相等,抛物线,焦点,准线,知识点二抛物线标准方程的几种形式,y22px(p0),y22px,(p0),x22py,(p0),x22py,(p0),答案,思考(1)抛物线的标准方程y22px(p0)中p的几何意义是什么？,答案焦点到准
2、线的距离.,返回,答案,(2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？,答案不一定.当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线.,例1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点为(2,0)；,题型探究 重点突破,题型一求抛物线的标准方程,p4，抛物线的标准方程为y28x.,(2)准线为y1；,解析答案,抛物线的标准方程为x24y.,(3)过点A(2,3)；,解由题意，抛物线方程可设为y2mx(m0)或x2ny(n0)，将点A(2,3)的坐标代入，得32m2或22n3，,解析答案,反思与感悟,所求抛物线的标准方程为
3、y25x或y25x或x25y或x25y.,求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2ax(a0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2ay(a0).,反思与感悟,跟踪训练1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1) 过点(3，4)；,解析答案,解方法一点(3，4)在第四象限，设抛物线的标准方程为y22px (p0)或x22p1y (p10).把点(3，4)的坐标分别代入y22px和x22p1y，得(4)22p3,322p1(4)，,解析答案,方法二点(3，4)在第
4、四象限，抛物线的方程可设为y2ax (a0)或x2by (b0).,解析答案,(2) 焦点在直线x3y150上.,解令x0得y5；令y0得x15.抛物线的焦点为(0，5)或(15,0).所求抛物线的标准方程为x220y或y260x.,例2如图，已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求PAPF的最小值，并求此时P点坐标.,题型二抛物线定义的应用,解析答案,反思与感悟,解如图，作PQl于Q，由定义知，,解析答案,反思与感悟,抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求PAPF的最小值的问题可转化为求PAd的最小值的问题.,由定义知PAPFPAd
5、.,反思与感悟,此时P点纵坐标为2，代入y22x，得x2.点P坐标为(2,2).,抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练2已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为_.,解析如图，由抛物线定义知,PAPQPAPF，则所求距离之和的最小值转化为求PAPF的最小值，则当A、P、F三点共线时，PAPF取得最小值.,(PAPF)minAF,例3如图所示，
6、一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值.,题型三抛物线的实际应用,解析答案,反思与感悟,解以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.,反思与感悟,设抛物线方程为x22py(p0)，点B在抛物线上，,解得a12.21，a取整数，,a的最小整数值为13.,以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，抛物线的应用主要解题步骤：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程；(2)利用方程求点的坐标.,反思与感悟,跟踪训练3如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三
7、条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.,解析答案,(1)以隧道的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；,解依题意，设该抛物线的方程为x22py(p0)，,如图所示，,所以该抛物线的方程为x25y.,解析答案,(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?,解设车辆高h米，则DBh0.5，故D(3.5，h6.5)，代入方程x25y，解得h4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,y2,解析答
8、案,1,2,3,4,5,2.过抛物线y28x的焦点作倾斜角为45的直线，则被抛物线截得的弦长为_.,解析由y28x得焦点坐标为(2,0)，由此直线方程为yx2，,16,解析答案,设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程知x1x212，弦长ABx1x2p12416.,1,2,3,4,5,3.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线,上，则抛物线的方程为_.,解析答案,即为(2,0)或(2,0)，,所以抛物线的方程为y28x或y28x.,y28x,1,2,3,4,5,4.已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是
9、_.,解析易知直线l2：x1恰为抛物线y24x的准线，,解析答案,如图所示，,动点P到l2：x1的距离可转化为PF的长度，其中F(1,0)为抛物线y24x的焦点.由图可知，距离和的最小值，,2,1,2,3,4,5,解析答案,p4.,4,课堂小结,1.抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在直线l上.2.确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型.因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y22mx (m0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x22my (m0).,返回,
