1、听课随笔第 3 课时 正弦定理（3）知识网络 解 的 个 数 的 判 定平 面 几 何 中 某 些 问 题判 断 三 角 形 状正 弦 定 理 的 应 用学习要求 1掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形；2熟记正弦定理及其变形形式；3判断的形状.【课堂互动】自学评价1正弦定理：在ABC 中， ,CcBbAasinisinR2siniabcAB为 的外接圆的半径RC2三角形的面积公式：（1）s= = =absiAcsin21Basi（2）s= Bii2（3）s= Rc4【精典范例】【例 1】在中，已知 ，试判断的形状AacosBbCcos【解】令 ，由正弦定理，得Aasi
2、n CkBksin,i,in代入已知条件，得 ，即 tantantancosiincosi又， （，） ，所以，从而为正三角形点评: 通过正弦定理，可以实现边角互化【例 2】在中，是的平分线，用正弦定理证明 ACBD【证】 设 ，则， 在和中分别运用正弦定理，得 ， 又ACBsinsin)180(（），所以 ，即 BDACABD【例 3】根据下列条件，判断 有没有解？若有解，判断解的个数ABC（1） ， ， ，求 ；5a4b120（2） ， ， ，求 ；9（3） ， ， ，求 ； 06345（4） ， ， ，求 ；（5） ， ， ，求 a1b60AB【解】 （1） ， 只能是锐角，因此仅有一解
3、2（2） ， 只能是锐角，因此仅有一解90AB（3）由于 为锐角，而 ，即 ，因此仅有一解 21603Abasin90B（4）由于 为锐角，而 ，即 ，因此有2106sinabA两解，易解得 0B或（5）由于 为锐角，又 ，即 ，A134sin605sinabA 无解追踪训练一1. 在ABC 中，已知 b = 6，c = 10，B = 30，则解此三角形的结果是 （ C ） A.无解 B.一解 C.两解 D.解的个数不能确定2. 在ABC 中，若 ，则 等于（ D ）A2aA B bsin2bcosC D3. 在ABC 中，若 ，则ABC 的形状是（ D ）2taA直角三角形 B等腰或直角三角
4、形 C不能确定 D等腰三角形【选修延伸】【例 4】如图所示，在等边三角形中， 为三角形的中心，过 的直线交 于 ，,AaOOABM交 于 ，AN求 的最大值和最小值21OM【解】由于 为正三角形 的中心， ，ABC3Aa6AN，设 ，则 ，MO2在 中，由正弦定理得： ，sinsin()6O听课随笔听课随笔 ，在 中，由正弦定理得： ，36sin()aOMAON36sin()aON，21N221i()sin()6a221(a ， ，故当 时 取得最大值 ，33142MN218a所以，当 时 ，此时 取得最小值 ,or23si42O5追踪训练二1.在 中， ，则 ( D )ABC:1:abcA
5、B 4:12C D232.在 中，若 ，且 ，则 4 ， 5 sin:si4:56C15bcab，6 c3.已知ABC 中，ab c1 2，则 ABC 等于( A )3A123 B2 31 C1 32 D31 24.如图，ABC 是简易遮阳棚，A、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成 40角，为了使遮阴影面 ABD 面积最大，遮阳棚 ABC 与地面所成的角为( C )ACD B阳 光地 面A.75 B.60 C.50 D.455已知ABC 中，sinAsinB sinCk (1-2k)3k(k0)，则 k 的取值范围为 ( B )A(2，) B( ， )614C D)0,21(,26在ABC 中，证明： .2221cosbaa证明： 2222 sinsins BAbBA222siin1aa由正弦定理得： 22iibBA2221cosbaBaA【师生互动】学生质疑教师释疑
