1、3.1 函数与方程1函数零点的概念对于函数 yf(x) (xD)，我们把使 f(x)0 成立的实数 x 叫做函数 yf(x) (xD) 的零点注意以下两点：(1)方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点 函数 yf(x) 有零点(2)函数零点的求法：代数法：求方程 f(x)0 的实数根；几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点2函数零点的判断一般地，如果函数 yf(x)在区间 a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，f(3)20.09515.090，由于 f(1)f(2)0 时，f(x)2
2、 008xlog 2 008x，则函数 f(x)的零点的个数为( )A1 B2 C3 D2 006解析 因为函数 f(x)为 R 上的奇函数，所以 f(0)0，因为 log2 008 1,2 008 1，12 008 12 008所以 f 2 008 log 2 008 0，(12 008) 12 008 12 008所以，当 x0 时，f(x )2 008 xlog 2 008x，函数在区间 内存在零点，(0， 12 008)又根据单调函数的定义可证明 f(x)在(0，) 上为增函数，因此在(0，) 内有且仅有一个零点根据对称性可知函数在( ，0) 内有且仅有一个零点，从而函数在 R 上零点
3、的个数为3，故选 C.答案 C点评 认识函数的性质是问题获解的关键，奇偶性保证函数的对称性，换句话说，有奇偶性的函数的零点(除原点外 )是成对出现的注意到函数为奇函数且在原点有定义，因此有 f(0)0.其次是函数的单调性，保证了函数零点在单调区间内的唯一性，当然零点的判定方法也是问题获解不可或缺的部分题型三 用二分法求方程的近似解求方程 x22x 1 的一个近似解( 精确度 0.1)解 设 f(x)x 22x 1.f(2)10，在区间(2,3)内，方程 x22x10 有一解，记为 x0.取 2 与 3 的平均数 2.5，f(2.5)0.250，20.|2.375 2.437 5|0.062 5
4、0 时，f (x)0，所以 yf(x)有一个零点，故选 B.错因分析 函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求定义域通过作图可知函数 f(x)x 的图象不是连续不断的，因而零点存在性定理不能使1x用正解 函数的定义域为 xR ，且 x0，当 x0 时，f (x)0，当 x0 成立的自变量 x 的取值范围是_解析 由表中数据可知 f(2)0，f(3)0，因此函数的零点有两个是 2 和 3.这两个零点将 x 轴分成三个区间( ，2 ，(2,3，(3 ， )在区间(，2 中取特殊值3，表中数据有 f(3)60 ，因此根据二次函数零点的性质得：当 x( ，2)时，都有 f(x)0
5、；同理可得：当 x(3 ，)时也有 f(x)0.故使 f(x)0 的自变量 x 的取值范围是x( ，2)(3，)答案 (，2)(3 ，)1下列函数中不能用二分法求零点的是( )Af(x)3x1 Bf(x )x 3Cf(x)| x| Df( x)lnx答案 C解析 对于选项 C 而言，令|x|0，得 x0，即函数 f(x)|x|存在零点；当 x0 时，f( x)0，当 x0，f(x)|x|的函数值非负，即函数 f(x)|x| 有零点但零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点2若 yf(x) 在区间 a，b上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )A若 f(a)f(b)0，不存在实数 c
6、(a，b)，使得 f(c)0D若 f(a)f(b)0，有可能存在实数 c( a，b)，使得 f(c)0答案 D解析 由零点存在性定理可知选项 A 不正确；对于选项 B 可通过反例“f(x) x (x1)(x1)在区间2，2上满足 f(2)f(2)0，但其存在两个零点：1,1”推翻3方程 2xx0 在下列哪个区间内有实数根( )A(2，1) B(0,1)C(1,2) D (1,0)答案 D解析 设函数 f(x)2 xx，其对应的函数值如下表：x 2 1 0 1 2f(x)7412 1 3 6由于 f(1) f(0)0，f(2)f(3)0，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程 2x33x 30
7、在 (0,1)内有实数解，取(0,1)的中点 0.5，经计算 f(0.5)0，所以方程 2x33x30 在(0.5,1)内有解如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表：(a，b) (a，b) 的中点 f(a) f(b) f(a b2 )(0,1) 0.5 f(0)0 f(0.5)0 f(0.75)0(0.5，0.75) 0.625 f(0.5)0 f(0.625) 0 f(0.687 5) 0 且 a1)有两个不同的零点，求 a 的取值范围解 研究函数 f(x)a xxa (a0 且 a1) 的零点，即相当于研究方程 axx a 的根(1)当 a1 时，分别画出 ya x与 yxa
8、 的图象，如图(1)所示，由于 ya x恒过 M(0,1)点，直线 yx a 过点 N(0，a) ，而 a1，所以点 N 在点 M 的上方，此时两者有两个交点，即方程 axxa 有两个根，函数 f(x)a xx a ( a0 且 a1)有两个不同的零点；(2)当 00 且 a1)有一个零点；综上所述，a 的取值范围是(1，) 31.1 方程的根与函数的零点学习目标1能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数2理解函数的零点与方程根的关系3掌握函数零点的存在性的判定方法自学导引1对于函数 yf( x)，我们把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x) 的零点2函数 yf(x
9、)的零点就是方程 f(x)0 的实数根，也就是函数 yf(x) 的图象与 x 轴的交点的横坐标3方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x) 的图象与 x 轴有 交点函数 yf(x) 有零点4函数零点的存在性的判定方法：如果函数 yf(x )在a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0 上共有 _个零点2x分析 由题目可获取以下主要信息：本例为判断函数零点所在区间问题，且在选项中给出了待确定的区间解答本题可从已知区间求 f(a)和 f(b)，判断是否有 f(a)f(b)0，f(2)f(3)0 上是增函数，2x故 f(x)有且只有一个零点点评 这是一类非常基础且常见的问题，考查
10、的是函数零点的判定方法，一般而言只需将区间端点代入函数求出函数值，进行符号判断即可得出结论，这类问题的难点往往是函数符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断，同时也要注意该函数的单调性变式迁移 2 方程 x23x 10 在区间(2,3)内根的个数为( )A0 B1 C2 D不确定答案 B解析 令 f(x)x 23x 1，则 f(2)f(3)0， f(x)的开口向上，如图(2)所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当94m0 即可，解得 00，也不说明函数yf (x)在区间 (a，b)上无零点，如二次函数 yx 23x2 在0,3上满足 f(0)f(3)0，但函数f(x)在区间(0,3) 上有零
11、点 1 和 2.3函数的零点是实数而不是坐标轴上的点一、选择题1若函数 f(x)唯一的零点在区间(1,3)，(1,4) ，(1,5)内，那么下列说法中错误的是( )A函数 f(x)在(1,2)或2,3)内有零点B函数 f(x)在 (3,5)内无零点C函数 f(x)在 (2,5)内有零点D函数 f(x)在(2,4)内不一定有零点答案 C2函数 f(x)log 3x82x 的零点一定位于区间( )A(5,6) B (3,4) C(2,3) D(1,2)答案 B解析 f(3)log 3382310.又 f(x)在(0，)上为增函数，所以其零点一定位于区间(3,4)3函数 f(x)ax 2bx c ，
12、若 f(1)0，f(2)0，与已知矛盾4已知 f(x)是定义域为 R 的奇函数，且在 (0，)内的零点有 1 003 个，则 f(x)的零点的个数为( )A1 003 B1 004 C2 006 D2 007答案 D解析 因为 f(x)是奇函数，则 f(0)0，且在(0，) 内的零点有 1 003 个，所以 f(x)在(， 0)内的零点有 1 003 个因此 f(x)的零点共有 1 0031 00312 007 个5若函数 yf( x)在区间0,4上的图象是连续不断的曲线，且方程 f(x)0 在(0,4) 内仅有一个实数根，则 f(0)f(4)的值( )A大于 0 B小于 0 C等于 0 D无
13、法判断答案 D解析 考查下列各种图象上面各种函数 y=f(x)在(0,4) 内仅有一个零点，但是(1)中，f(0)f(4)0，(2)中 f(0)f(4)0，方程 ax2bxc 0 有两个不等实根，即函数 f(x)有 2 个零点7若函数 f(x)axb (a0) 有一个零点是 2，那么函数 g(x)bx 2ax 的零点是_答案 0，12解析 由 2ab0，得 b2a，g(x) bx 2ax2ax 2ax，令 g(x)0，得 x0 或 x ，12g(x)bx 2ax 的零点为 0， .128方程 2ax2x 10 在(0,1)内恰有一个实根，则实数 a 的取值范围是_答案 (1，)解析 令 f(x
14、)2ax 2x 1， a0 时不符合题意；a0 且 0 时，解得 a ，18此时方程为 x2x 10，也不合题意；14只能 f(0)f(1)1.三、解答题9已知函数 f(x)3 xx 2，问：方程 f(x)0 在区间 1,0内有没有实数解？为什么？分析 函数 f(x)只要满足f(1)f(0)0.且函数 f(x)3 xx 2 的图象是连续曲线， f(x )在区间1,0 内有零点，即 f(x)0 在区间1,0内有实数解10若函数 y3x 25x a 的两个零点分别为 x1，x 2，且有2x 10,1x23，试求出 a的取值范围解 由已知得： ，0312ff即 .012a解得：-12a0.31.2
15、用二分法求方程的近似解学习目标理解求方程近似解的二分法的基本思想，能够借助科学计算器用二分法求给定方程的满足一定精确度要求的近似解自学导引1二分法的概念对于在区间a，b上连续不断且 f(a)f(b)0 的函数 yf (x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解2用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤(给定精确度 )(1)确定区间a， b，使 f(a)f(b)0.(2)求区间(a，b )的中点，x 1 .a b2(3)计算 f(x1)若 f(x1)0，则 x1 就是函数的零点；若 f(a)f(x1)0，则令 bx 1(此时零点 x0(a，x 1)；若 f(x1)f(b)0，则令 ax 1(此时零点 x0(x 1，b) (4)继续实施上述步骤，直到区间 an，b n，函数的零点总位于区间a n，b n上，当 an和bn按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数 yf(x) 的近似零点，计算终止这时函数 yf( x)的近似零点满足给定的精确度 .一、能用二分法求零点的条件例 1 下列函数中能用二分法求零点的是( )
