1、选修 2-2 1.2.2 第 2 课时 基本初等函数的导数公式及导数运算法则一、选择题1函数 y(x1) 2(x1)在 x1 处的导数等于( )A1 B2 C3 D4答案 D解析 y(x 1) 2( x 1)(x1) 2(x1)2(x 1)(x1)(x1) 23 x22x1，y| x1 4.2若对任意 xR ，f ( x)4x 3，f(1)1，则 f(x)( )Ax 4 Bx 42C4x 3 5 Dx 42答案 B解析 f(x )4x 3.f(x ) x4c，又 f(1)11c1，c 2，f (x)x 42.3设函数 f(x)x max 的导数为 f(x)2x1，则数列 (nN *)的前 n
2、项和是( )1f(n)A. B. nn 1 n 2n 1C. D.nn 1 n 1n答案 A解析 f(x) x max 的导数为 f( x)2x1，m2，a1，f(x)x 2x，即 f(n)n 2n n(n1)，数列 (nN *)的前 n 项和为：1f(n)Sn 112 123 134 1n(n 1) (1 12) (12 13) (1n 1n 1)1 ，1n 1 nn 1故选 A.4二次函数 yf( x)的图象过原点，且它的导函数 yf (x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数 yf(x )的图象的顶点在( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 C解析 由题意可设 f
3、(x)ax 2bx ，f(x)2axb，由于 f(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故 2a0，b0，则 f(x)a 2 ，(x b2a) b24a顶点 在第三象限，故选 C.( b2a， b24a)5函数 y(2 x 3)2 的导数为( )A6x 512x 2 B42x 3C2(2x 3)2 D2(2 x 3)3x答案 A解析 y(2x 3)244x 3x 6，y6x 512x 2.6(2010江西文，4)若函数 f(x)ax 4bx 2c 满足 f(1)2，则 f( 1)( )A1 B2 C2 D0答案 B解析 本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f ( x)4ax 32b
4、x，f(1)4a2b(4a2b)，f (1)4a2b，f (1) f (1)2要善于观察，故选 B.7设函数 f(x)(12x 3)10，则 f(1)( )A0 B1 C60 D60答案 D解析 f(x )10(1 2x 3)9(12x 3)10(12x 3)9( 6x2)60x 2(12x 3)9，f(1)60.8函数 ysin2xcos2x 的导数是 ( )A2 cos Bcos2xsin2 x2 (2x 4)Csin2xcos2x D2 cos2 (2x 4)答案 A解析 y(sin2x cos2 x)(sin2x)(cos2x)2cos2x2sin2x 2 cos .2 (2x 4)9
5、(2010高二潍坊检测)已知曲线 y 3ln x 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标x24 12为( )A3 B2 C1 D.12答案 A解析 由 f (x) 得 x3.x2 3x 1210设函数 f(x)是 R 上以 5 为周期的可导偶函数，则曲线 yf(x)在 x5 处的切线的斜率为( )A B015C. D515答案 B解析 由题设可知 f(x5)f (x)f(x 5)f(x )，f(5)f (0)又 f(x )f(x) ，f(x)(1)f(x)即 f(x) f(x )，f (0)0故 f(5)f(0)0.故应选 B.二、填空题11若 f(x) ，(x )1sin2x ，则 f(x)_
6、， f(x)_.x答案 ，1sin22|sin(x 4)| x解析 f (x) 1 sin2x (sinx cosx)2|sinxcosx| .2|sin(x 4)|f(x)1sin2 .x12设函数 f(x)cos( x)(0 )，若 f(x)f ( x)是奇函数，则 _.3答案 6解析 f(x) sin( x )，3 3f(x)f (x) cos( x ) sin( x )3 3 32sin .(3x 56)若 f(x)f(x) 为奇函数，则 f(0)f (0) 0，即 02sin ， k(kZ )( 56) 56又(0，) ， .613函数 y(12x 2)8 的导数为_答案 32x(1
7、2x 2)7解析 令 u12x 2，则 yu 8，y xy uu x8u 74x8(12x 2)74x32x(1 2x 2)7.14函数 yx 的导数为_1 x2答案 (1 2x2) 1 x21 x2解析 y(x )x x ( ) .1 x2 1 x2 1 x2 1 x2x21 x2 (1 2x2) 1 x21 x2三、解答题15求下列函数的导数：(1)yxsin 2x； (2) yln(x )；1 x2(3)y ； (4) y .ex 1ex 1 x cosxx sinx解析 (1)y( x)sin 2x x(sin2x)sin 2x x2sinx(sinx)sin 2xxsin2 x.(2
8、)y (x )1x 1 x2 1 x2 (1 ) .1x 1 x2 x1 x2 11 x2(3)y .(ex 1) (ex 1) (ex 1)(ex 1)(ex 1)2 2ex(ex 1)2(4)y(x cosx) (x sinx) (x cosx)(x sinx)(x sinx)2(1 sinx)(x sinx) (x cosx)(1 cosx)(x sinx)2 . xcosx xsinx sinx cosx 1(x sinx)216求下列函数的导数：(1)ycos 2(x2x )； (2)y cosxsin3x；(3)yxlog a(x2x1)； (4)ylog 2 .x 1x 1解析
9、(1)ycos 2(x2x)2cos(x 2x)cos( x2x)2cos(x 2x)sin(x 2x )(x2x)2cos(x 2x)sin(x 2x )(2x1)(12x)sin2(x 2x)(2)y(cosxsin3x) (cos x)sin3 xcosx(sin3x)sinxsin3x 3cosxcos3x3cosxcos3 xsinxsin3 x.(3)ylog a(x2x 1)x logae(x2x1) log a(x2x1) logae.1x2 x 1 2x2 xx2 x 1(4)y log 2e log2ex 1x 1(x 1x 1) x 1x 1 x 1 x 1(x 1)2
10、.2log2ex2 117设 f(x) ，如果 f (x) g(x)，求 g(x)2sinx1 x2 2(1 x2)2解析 f(x )2cosx(1 x2) 2sinx2x(1 x2)2 (1x 2)cosx2x sinx，2(1 x2)2又 f(x ) g(x)2(1 x2)2g(x)(1x 2)cosx2x sinx.18求下列函数的导数：(其中 f(x)是可导函数)(1)yf ；(2)y f( )(1x) x2 1解析 (1)解法 1：设 yf( u)，u ，则 y xy uu xf ( u) f .1x ( 1x2) 1x2 (1x)解法 2：y f f .f(1x) (1x)(1x) 1x2 (1x)(2)解法 1：设 yf(u)，u ，vx 21，v
