1、第七章:直线和圆的方程复习讲义-张无名7.1:直线方程知识要点:1. 直线的倾斜直角和斜率:(1) 倾斜角:一条直线向上的方向与 x 轴的正方向所成的最小正角 ,叫直线的倾斜角.范围为 0,(2) 斜率:不等于的倾斜角的正切值叫直线的斜率,即 k=tana(a90).(3) 过两点 P1(x1.y1)、P2（x2.y2）(x1 x2)的直线的斜率公式为 k=tana= 21yx2. 直线方程的五种表示形式：（1） 斜截式：y=kx+b;（2） 点斜式：y-y0=k(x-x0);（3） 两点式： 1122yx（4） 截距式： ab（5） 一般式：Ax+By+C=03. 有斜率的两条直线的平行期、
2、垂直的充要条件：若 L1: y=k1x+b1 L2: y=k2x+b2 则: (1) L1L2 k1=k2 且 b1b 2; (2) L1L2 k1k2=-14. 两条直线所成的角的概念与夹角公式两条直线相交所成的锐角或直角，叫做这两条直线所成的角，简称夹角，如果直线 L1、L2的斜率分别是 k1、k2，L1 和 L2 所成的角是 ，且 则有夹角公式：tan=0912k5. 点到直线的距离公式：点 P（x0.y0）到直线 Ax+By+C=0（A 、B 不同时为零）的距离d= 02AxByC注意：（1）注意斜率和倾斜角的区别：每条直线都有倾斜角，倾斜角的范围是，但并不是每条直线都有斜角。008（
3、2）两个条件确定一条直线，通常利用直线的倾斜角、斜率或点等的条件来确定，倾斜角确定方向，点确定位置。（3）使用直线方程时，要注意限制条件。如点斜式的使用条件是直线必须存在斜率；截距式的使用条件为两截距都存在且不为零;两点式的使用条件为直线不与 x 轴垂直,也不与 y 轴垂直.(4)判断两条直线平行或垂直时,不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形 ,在两条直线 L1、L2 斜率都存在，且均不重合的条件下，才有 L1 L2 k1 =k2 与 L1 L2k1k2=-1.(5)求两条直线相交所成的角，一定要分清是夹角还是从 L1 到 L2 或 L2 到 L1 的角。（6）在运用公式 d=
4、 求平行直线间的距离时，一定要把 x.y 项系数化成相等的系12CAB数。题型 1 直线的倾斜角与斜率1.（2004.湖南）设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 a，且 sin +cos =0,则 a,b 满足（ ）A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=02.(2001.上海春)若直线 x=1 的倾斜角为 ，则 （ ）A.等于 0 B.等于 C.等于 D.不存在3 （2004.北京春季）直线 x- y+a=0（a 为实常数）的倾斜角的大小是 。34.（2004.启东）直线经过点 A（2.1） ，B（1，m 2）两点（m R） ，那么直线 L 的倾斜角取值范围是（ ）A. B
5、.C . D .0,420,4,25.（2004.上海）函数 y=asinx+bcosx 的一条对称轴方程是 x= ，那么直线 ax+by-c=0 的倾4斜角为 。题型 2 直线方程6.（2001.新课程）设 A、B 是 x 轴上的两点，点 P 的横坐标为 2 且 PA=PB，若直线 PA 的方程为 x-y+1=0,则直线 PB 的方程是（ ）A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0 C.2y-x-4=0 D2x+y-7=07.(2003.河南) 在同一直角坐标系中, 表示直线 y=ax 与 y=x+a 正确的是( )Y Y Y YO X O X O X O XA B C D8.(2002.全
6、国 )已知点 P 到两个定点 M(-1,0)、N （1，0）距离的比为 ，点 N 到直线 PM2的距离为 1，求直线 PN 的方程。9 （2004.陕西）直线 L 绕它与 x 轴的交点逆时针旋转 ，得到直 L1：3x+y-3=0，则直线4L 的方程为（）A.2x-y-2=0 B.x+2y-1=0 C.2x-y+2=0 D.x-2y+1=010.(2005.江苏)设 A、B 是 x 轴上的两点，点 P 的横坐标为 2，且 PA=PB，若直线 PA 的方程为 x-y+1=0,则直线 PB 的方程是（ ）A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0 C.x-2y+4=0 D.2x+y-7=011.(20
7、05.海淀)如果直线 ax+by+1=0 平行于 x 轴，则有（ ）A.a0,b0 B.a=0,b=0 C.a0,b=0 D.a=0,b0题型 3 两直线的位置关系12. （2004.全国）已知点 A（ 1，2） 、B（3，1） ，则线段 AB 的垂直平分线的方程是（ ）A.4x+2y=5 B.4x-2y=5 C.x+2y=5 D.x-2y=513.(2001.上海)a=3 是直线 ax+2y+3a=0 和直线 3x+（a-1）y=a-7 平行且不重合的（ ）A.充分非和要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件14.（1998.上海）设 a、b、c 分别是 ABC 中
8、 A、B、C 所对边的边长，则直线sinA.x+ay+c=0 与 bx-xinB.y+sinC=0 的位置关系是（）A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直15.（2005.全国）已知过点 A（-2,m）和 B（m ，4）的直线与直线 2x+y-1=0 平行，则 m 的值为（）A.0 B.-8 C.2 D.1016.(2004.海滨)已知直线 L1：（ a+1）x+y-2=0 与直线 L2： ax+(2a+2)y+1=0 互相垂直，则实数 a 的值为（）A.-1 或 2 B.-1 或-2 C.1 或 2 D.1 或-217.（2004.黄冈）已知 P1（x1.y1）是直线 L：f(x.y
9、)=0 上的一点， P2（x2.y2）是直线 L 外的一点，由方程 f（x.y）+f(x1.y1)+f(x2.y2)=0 表示的直线与直线 L 的位置关系是（）A.互相重合 B.互相平行 C.互相垂直 D.互相斜交18.（2005.河北）过点 P（4,a）和 M（5,b）的直线与直线 y=x-m 平行，则PM 2 的值为（）A.2 B.3 C.6 D.119.(2005.海淀)ABC 中，a,b,c 是内角 A，B，C 的对边，且 lgsinA,lgsinB,lgsinC 成等差数列，则下列两条直线 L1：（sin 2A）x+(sinA)y-a=0,L2(sin 2B)x+(sinC)y-c=
10、0 的位置关系是（）A.重合 B.相交（不垂直） C.垂直 D.平行题型 4 直线与直线所成的角20.（2004.浙江）直线 y=2 与直线 x+y-2=0 的夹角是( )A. B. C. D. 323421(2000.天津、江西)已知两条直线 L1：y=x, L2 : ax-y=0，其中 a 为实数，当这两条直线的夹角在（0， ）内变动时，a 的取值范围是（）12A.(0,1) B. C. D.3,3,1,1,322.（2005.天津）某人在一 P 处观看对面山顶上的一座铁塔，如图 32-1 所示，塔高BC=80（米） ，图中所示的 L 且点 P 在直线 L 上，L 与水平地面的夹角为 a，
11、tana=, 试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角最大（不计此人的身高）？CBP L (山坡)O A a 水平地面23.（2005.潍坊市）直线 L1：y= x+1 与直线 L2：y=2 的夹角是（ ）3A.15B.30C.60D.12024.（2005.唐山市）过坐标原点且与点（ ，1）的距离都等于 1 的两条直线的夹角为（）A.90 B.45 C.30 D.60题型 5 点到直线的距离25.（2005.浙江）点（1，-1）到直线 x-y+1=0 的距离是（ ）A.1/2 B. 3/2 C. D. 23226.（2004.全国）在坐标平面内，与点 A（1，2）距离为 1，且与点 B（3，
12、1）距离为 2 的直线共有（）A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条27.（2003.全国）已知点（a,2） （a0）到直线 L：x-y+3=0 的距离为 1，则 a 等于（）A. B.2- C. -1 D +1.222228.（2004.海淀）将直线 L：x+2y-1=0 向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位后得到直线 L1，则直线 L 与 L1 之间的距离为（ ）A. B. C.1/5 D 7/5 7529.（2004.黄冈）点（sin.cos）到直线 xcos +ysin +1=0 的距离小于 1/2，则 的取值范围是（ ）A B52,()6kkZ5,()12kkZC D
13、,()3 ,()3630.（2004.海淀）在平面直角坐标系内，将直线 L 向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位后，得到直线 L，L 与 L 间的距离为 ，则直线 L 的倾斜角为（ ）13A. arctan B. arctan C. D. 2322arctnarctn题型 6. 对称问题31. (2004.安徽) 已知直线 L: x-y-1=0, L1: 2x-y-2=0, 若直线 L2 与直线 L1 关于 L 对称,则 L2的方程是( )A. X-2Y+1=0, B. X-2Y-1=0, C. X+Y-1=0, D. X+2Y-1=032. (2003.新课程) 已知长方形的四个顶点
14、 A (0, 0), B.(2.0). C.(2,1)和 D.(0,1),一质点从 AB 的中点 P0 沿与 AB 夹角为 的方向射到 BC 上的点 P1 后,依次反射到 CD,DA 和 AB 上的点P2,P3 和 P4 (入射角等于反射角 ),设 P4 的坐标为( X4,0 ),若(10 表示 L 某一侧的平面区域,AX+BY+C=0 表示包括边界的平面区域.2. 若点 P (X0,Y0)与点 P (X1,Y1)在 L:AX+BY+C=0 的同侧,则 AX0+BY0+C 与AX1+BY1+C 同号.3. 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区
15、域的公共部分.二:线性规划1. 对变量 X,Y 的约束条件若都是关于 X,Y 的一次不等式,则称为线性约束条件;Z=F(X,Y)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 X,Y 的一次解析式 ,叫做线性目标函数.2. 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题,满足线性约束条件的解(X,Y)叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫可行域,使目标函数取得最大值和最小值的解,叫做这个问题的最优解.题型 1: 二元一次不等式(组)表示平面区域1. (2005.浙江) 设集合 A=(X,Y)X , Y , 1-X-Y 是三角形的三边长,则 A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)
16、是( )Y Y Y Y1/2 O 1/2 X O X O X O XA B C. D2. (2005.全国)在坐标平面上,不等式组 YX-1, 所表示的平面区域的面积为( )Y-3X +13. (2005.江苏) 已知 X , Y ,为整数,则满足 X-Y0 的点 ( X, Y )的个数为( )X+Y5Y0A. 9 B. 10 C. 11 D.124. (2005.长春) 不等式组 (X-Y+1)(X+Y-1)0 表示的平面区域是一个( )0X2A. 三角形 B. 梯形 C. 矩形 D 菱形5. (2005.潍坊) 如果直线 L=KX+1 与圆 X2+Y2+kX+mY-4=0 交于 M, N
17、两点,且 M, N 关于直线 X+Y=0 对称,则不等式组 Kx-Y+10 表示的平面区域的面积是 ( )Kx-mY0Y0A.1/4 B. 1/2 C. 1 D. 2 6. (2005.江苏) 如图所示,能表示的平面区域中公共区域的不等式组是 _2-1 O 3 X题型二: 简单的线性规划7. (2005.湖南) 已知点 P ( X, Y )在不等式组 X-20 表示的平面区域上运动,则 Z=X-Y 的取值范围是( ) Y-10X+2Y-20A. B . C. D 2,12,1,21,28. (2005.江西) 设实数 X,Y 满足 X-Y-20X+2Y-40 则 Y/X 的最大值是 _2Y-3
18、 09. (2005.山东) 设 X,Y 满足约束条件 X-Y-20 则使得目标函数 Z=6X+5Y 的最大的点3X+2Y120X 30Y 4( X, Y )是_10. (2005.郑洲) 已知 X, Y 满足 YX 则 R 的最小值为 ( )X+2Y4Y-2(X+1)2+(Y-1)2=R2 (R0)A. 9/5 B. 2 C. 3 D. 题型 3. 线性规划的应用题.11. (2005.湖北) 某实验室需要某种化工原料 106 千克现在市场上该原料有两种包装,一种是每袋 35 千克,价格为 140 元;另一种是每袋 24 千克,价格为 120 元,在满足需要的条件下,最少要花费_元.12.
19、(2004.杭州) 配制 A,B 两种药剂都需要甲乙两种原料,用料要求如下表所示 (单位:千克)药剂/原料 甲 乙A 2 5B 5 4药剂 A,B 至少各配制一剂 ,且药剂 A,B 每剂售价分别为 1 百元,2 百元,现有原料甲 20 千克,原料乙 25 千克,那么可以获得的最大销售额为 ( )A. 6 百元 B. 7 百元 C. 8 百元 D. 9 百元13. (2004.重庆 ) 某集团准备兴办一所中学 ,投资 1200 万用于硬件建设,为了考虑社会效益和经济利益,对该地区教育市场进行调查,得出一组数据列表(以班为单位) 如下:班级学生数 配备教师数 硬件建设(万元) 教师年薪(万元/人)
20、初中 60 2.0 28 1.2高中 40 2.5 58 1.6根据有关规定,除书本费,办公费外,初中生每年可收取学费 600 元,高中生每年可收取学费1500 元,因生源和环境等条件限制,办学规模以 20 至 30 个班为宜,根据以上情况,请你合理规划办学规模使年利润最大,最大利润是_万元.题型 4. 线性规划的思想方法的应用14.(2004.黄岗) 已知 X+Y-10 且 U=X2+Y2-4X-4Y+8 ,则 U 的最小值为( )X-Y+10Y0A. B. C. D. 3292115. (2004.湖北) 实数 X, Y 满足不等式组 Y0 则 W= 的取值范围是 ( )1YXX-Y02X
21、-Y-20A. B. C. D. 1,31,231,)21,)216. (2004.河南)关于 X 的方程 x2+ax+2b=0 的两根分别在区间 ( 0 , 1 )与 ( 1 , 2 )内,则的取值范围是_21ba7.3:圆的方程知识要点:1. 圆的标准方程.(x-a)2+(y-b)2=r2,方程表示圆心为 O ( a, b ),半径为 r 的圆.2. 圆的一般方程X2+Y2+DX+EY+F=0(1) 当 D2+E2-4F0 时,表示圆心为( -D/2 , -E/2 ),半径为 的圆.214DEF(2) 当 D2+E2-4F=0 时,表示一个点( -D/2 , -E/2 );(3) 当 D2
22、+E2-4F0 直线和圆相交=0 直线和圆相切R 直线和圆相离6. 圆和圆(1) 代数法: 解两个圆的方程所组成的二元二次方程组,若方程组有两组不同的实数解,则两圆相交;若方程组有两组相同的实数解 ,则两圆相切;若无实数解 ,则两圆相离.(2) 几何法: 设两圆的半径分别为 R1,R2,两圆心分别为 C1 , C2 则当C 1C2 R 1+R2 时,两圆相离;当C 1C2= R 1+R2 时,两圆外切;当C 1C2=R 1-R2时,两圆外切;当R 1-R20, B0)始终平分圆 X2+Y2+2X-4Y+1=0 的周长,则 的最小值是( )1ABA. 4. B. 2 C. 1/4 D. 1/27
23、. (2003.咸阳)圆心在曲线 上,且与直线 y=x+1 相切的面积最小的圆的方程为1(0)yx( )A. (X+1)2+(Y-1)2=1/2 B. (X+1)2+(Y-1)2=1C. (X+2)2+(Y-1/2)2=1/2 D. (X+1/2)2+(Y-2)2=18. (2005.威海) 已知圆的半径为 2,圆心在 X 轴的正半轴上,且与直线 3X+4Y+4=0 相切,则圆的方程是( )A. X2+Y2-2X-3=0B. X2+Y2+4X=0C. X2+Y2+2X-3=0D. X2+Y2-4X=0题型 2 直线与圆的位置关系9. (2004.天津) 若过定点 M( -1, 0)且斜率为 K 的直线与圆 X2+4X+Y2-5=0 在第一象限内的部分有交点,则 K 的取值范围是 ( )A. 0K B. - K0 C. 0K D. 0K551310. (2004.天津) 若 P( 2, -1)为圆 (X-1)2+Y2=25 的弦 AB 的中点 ,则直线 AB 的方程是( )A. X-Y-3=0 B. 2X+Y-3=0 C. X+Y-1=0 D. 2X-Y-5=011. (2004.安徽 ) 若直线 AX+Y=1 与圆(X- )2+(Y-2)2=1 有两个不同的交点,则 A 的取值范
