1、1.1.7 柱、锥、台和球的体积(1)自主学习学习目标1了解柱、锥、台的体积计算公式，并学会运用这些公式解决一些简单问题2结合祖暅原理等内容的学习，了解我国古代数学家在数学发展上做出的杰出贡献，培养爱国主义思想，逐步培养热爱科学的态度自学导引1祖暅原理(1)祖暅原理：_，则积不容异，这就是说，夹在两个_平面间的两个几何体，被_这两个平面的_平面所截，如果截得的两个截面的面积总_，那么这两个几何体的体积相等(2)应用祖暅原理可以说明：等_、等_的两个柱体或锥体的体积相等2柱、锥、台、球的体积(1)柱体的体积等于它的底面积 S 和高 h 的积，即 V 柱体 _.底面半径是 r，高是 h 的圆柱体的
2、体积的计算公式是 V 圆柱 _.(2)如果一个锥体的底面积是 S，高是 h，那么它的体积是 V 锥体 _.如果圆锥的底面半径是r，高是 h，则它的体积是 V 圆锥 _.(3)如果一个台体的上、下底面面积分别为 S、S，高为 h，那么它的体积是 V 台体_.如果圆台的上、下底面半径分别是 r、r，高是 h，则它的体积是 V 圆台 _.对点讲练知识点一 求台体的体积例 1 已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)的上、下底面边长分别是 2 cm 与 4 cm，侧棱长是 cm，试求该三棱台的体积与表面积6点评 在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条
3、件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用变式训练 1 一个正四棱台的斜高为 12 cm，侧棱长为 13 cm，侧面积为 720 cm2，求它的体积知识点二 求锥体的体积例 2 三棱锥的顶点为 P，已知三条侧棱 PA、PB、PC 两两互相垂直，若 PA2，PB3，PC4.求三棱锥 PABC 的体积点评 三棱锥又称四面体，由于它的每一个面均可作为棱锥的底面，因此，灵活性较大，通过变换底面与对应的顶点，找出较易求出面积的底面和对应的高，从而求出体积，这种方法又称等体积变换变式训练 2 已知正三棱锥 PABC(如图所示)，侧棱 PA、PB、PC 两两互相垂直，AB ，求
4、此三2棱锥的体积知识点三 综合应用例 3 已知正三棱锥 VABC(底面是等边三角形，顶点在底面的射影是底面的中心)的主视图，俯视图如图所示，其中 VA4，AC2 ，求该三棱锥的表面积与体积3点评 把几何体的表面积与体积的计算与三视图结合考查是高考的一个热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的度量，再结合表面积或体积公式解题变式训练 3 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A22 B423 3C2 D42 33 2 331在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时
5、，要注意直角三角形的应用2有关旋转体的表面积和体积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解3柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体 Sh V 台体 h(S S) V 锥体 Sh. S S 13 SS S 0 13【答案解析】自学导引1(1)幂势既同 平行 平行于 任意 相等 (2)底面积 高2(1)Sh r 2h (2) Sh r 2h13 13(3) h(S S) h(r 2rrr 2)13 SS 13对点讲练例 1 解 如图所示，O、O 分别是上、下底面的中心，连接 OO、OB、OB，在平面 BCCB
6、内过 B作 BDBC 于 D，在平面 BOOB内作 BEOB 于 E.ABC是边长为 2 的等边三角形，O是中心，OB 2 ，23 32 2 33同理 OB ，则 BEOBOB .4 33 2 33在 RtBEB 中，BB ，BE ，62 33BE ，即棱台高为 cm.423 423所以三棱台的体积为V 棱台 ( 16 4 )13 423 34 34 34 16 34 4 (cm3)7 143由于棱台的侧面是等腰梯形，BD (42)1.12在 RtBDB 中，BB ，BD1，6BD ，即梯形的高为 cm.5 5所以棱台的表面积 SS 上底 S 下底 S 侧 4 163 (24)34 34 12
7、 55 9 (cm2)3 5所以棱台的表面积是(5 9 ) cm2，3 5体积是 cm3.7 143变式训练 1 解 设该棱台的上、下底面边长分别为 b 和 a，高为 h，斜高为 h，侧棱长为 l，则由题意得Error!.h12，l13，S 侧 720，Error!，Error!，V 正四棱台 (202201010 2)13 119 (cm3)，7003 119即此四棱台的体积为 cm3.7003 119例 2 解 如图，在长方体中，PA、PB、PC 两两互相垂直，显然 AP平面 BPC.AP 是三棱锥 APBC 的高S BPC BPPC12 346，12V 三棱锥 PABC V 三棱锥 AP
8、BC SBPC AP13 624.13变式训练 2 解 三棱锥 PABC 为正三棱锥，ABC 为正三角形，PAPBPC，侧棱 PA、PB、PC 两两互相垂直，且 AB ，2可建立如图所示的正方体，则 PA平面 PBC，PAPBPC1.V Sh SPBC PA13 13 111 .13 12 16例 3 解 由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示，且 VAVBVC4，ABBCAC2 ，3取 BC 的中点 D，连接 VD，则 VD ，VB2 BD2 42 3 2 13S VBC VDBC 2 ，12 12 13 3 39SABC (2 )2 3 ，12 3 32 3三棱锥 VABC 的表面积为3SVBC S ABC 3 3 3( )39 3 39 3点 V 在底面 ABC 上的射影为 H，则 A，H，D 三点共线，VH 即为三棱锥 VABC 的高，VH VD2 HD2VD2 (13AD)2 2 ，132 12 3VVABC SABCVH 3 2 6，13 13 3 3所以正三棱锥的体积是 6.变式训练 3 C 该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为 1，高为 2，体积为 2，四棱锥的底面边长为 ，高为 ，所以体积为 ( )2 ，所以该几何体的体积为 2 .2 313 2 3 233 233高考试 题库
