1、双曲线测试题（1）一选择题（70）1.设双曲线 上的点 P 到点(5,0)的距离为 15,则 P 点到(-5,0)的距离是( ) 2169yxA.7 B.23 C.5 或 23 D.7 或 23 解析:设另一焦点为 a=4,| |-15|=8. | |=7 或 23. 答案:D2F22F2动点 到点 及点 的距离之差为 ，则点 的轨迹是（ ）P)0,1(M),3(NA双曲线 B双曲线的一支 C两条射线 D一条射线解：D ， 在线段 的延长线上2,而 PMN3.方程 所表示的曲线是( ) 31xyA.双曲线 B.椭圆 C.双曲线的一部分 D.椭圆的一部分 解析: 答案:C 由 得 . 2231(
2、0)xyx231(0)yx该曲线表示的是焦点在 y 轴上的双曲线的一 部分. 4双曲线 1 的焦点坐标是( )x216 y29A( ，0)，( ，0) B(0， )，(0， )7 7 7 7C(4,0)，(4,0) D(5,0)，(5,0)解析：选 D.双曲线焦点在 x 轴上，且 c 5，所以焦点为(5,0)16 95. 若双曲线 2yax的一个焦点为 2,0)，则该双曲线的离心率为 CA 415B 3C 3 D 36与椭圆 共焦点且过点 的双曲线方程是（ ）12yx(2,1)QA B C D242yx132yx12yx解：A 且焦点在 轴上，可设双曲线方程为 过点2413c， ， 223a(
3、,)Q得222,1xaya7.若双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等差数列,则该双曲线的离心率是( ) A. B. C. D. 35455354解析:由已知得 2b=a+c, . 21bca . . 21e53e答案:C 8.设双曲线 - =1(a0,b0)的虚轴长为 2,焦距为 2 ,则双曲线的渐近线方程为( )x22y22 3A.y= x B.y= x C.y= x D.y=2x22 2 12【解析】选 A.由 得2=2,2=23, b=1,=3,所以 a= = ,c22 2因此双曲线的方程为 -y2=1,x22所以渐近线方程为 y= x.229.已知双曲线 C 的焦点、实轴端点恰好分别
4、是椭圆 的长轴端点、焦点,则双曲线2516yxC 的渐近线方程为 ( ) A. B. C. D. 430xy340xy4040y解析:由已知得,双曲线焦点在 x 轴上,且 c=5,a=3, 双曲线方程为 . 2916yx渐近线方程为 . 43ba答案:A 10.设 P 是双曲线 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,点 、 分别是双曲291yxa 1F2线的左、右焦点.若| |=3,则| |等于( ) PF2A.1 或 5 B.6 C.7 D.9 解析:由已知得渐近线方程 且 b=3,a=2,据定义有| |-| |=4,| |=7 或-1( 舍去 负32yx 2P12值). 答案:
5、C 11.已知双曲线 - =1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,以|F 1F2|为直径的圆与双曲x22y22线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为 ( )A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1x29y216 x23y24 x216y29 x24y23【解析】选 A.以|F 1F2|为直径的圆的方程为 x2+y2=c2,点(3,4)在圆上,可得 c2=25,又双曲线的渐近线方程为 y= x,又过点(3,4),所以有 = ,结合 a2+b2=c2=25,得 a2=9,b2=16,所以b b43双曲线的方程为 - =1.x29y21612. 过双曲线的
6、右焦点 F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于 A，B 两点，设双曲线的左顶点 M，若 AB是直角三角形，则此双曲线的离心率 e 的值为 （B ）A 32 B2 C 2D 313设 F1和 F2是双曲线 1 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且满足 F1PF290，x24 y2b2若 F1PF2的面积是 2，则 b 的值为( )A. B.252C2 D.2 5解析：选 A.由Error!得| PF1|PF2|2 b2.因此， S F1PF2 |PF1|PF2| b22.故 b .12 214.已知双曲线 的焦点为 、 点 M 在双曲线上,且 轴,则 到直线63yx1F 1Fx1的距离为 ( ) 2
7、MA. B. C. D. 365566556解析:不妨设点 1(0)F容易计算得出 | | 1M632| |-| |= . 2F1解得| | . 2MF56而| |=6,在直角三角形 中, 1 12F由 | | | | | | 212d求得 到直线 的距离 d 为 . F65答案:C 二填空题（20）15双曲线的渐近线方程为 ，焦距为 ，这双曲线的方程为20xy1_。解： 设双曲线的方程为 ，焦距2105xy24,(0)xy210,5c当 时， ；021,5,24当 时，2,(),04yx16若曲线 表示双曲线，则 的取值范围是 。214xykk解： (,)(,)(4)0,(4)10,4kk或
8、17若直线 与双曲线 始终有公共点，则 取值范围是 1ykx2xy。解： 5,222224,(1)4,()50kkxykx当 时，显然符合条件；210,1k当 时，则22560,k18.过双曲线 b0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M、N 两21(yxab点,以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率为_. 解析:|MN| 圆的半径 2ba2barc 即 . 2bac22ac 解得 e=2 或 e=-1(舍去). 0e答案:2 三解答题（60）19双曲线与椭圆 有相同焦点，且经过点 ，求其方程。13627yx(15,4)解：椭圆 的焦点为 ，设双曲线方程为36y
9、(0,)3c2219yxa过点 ，则 ，得 ，而 ，(15,4)22159a24,6a或 ，双曲线方程为 。2a4yx20 代表实数，讨论方程 所表示的曲线k280k解：当 时，曲线 为焦点在 轴的双曲线；014yxky当 时，曲线 为两条平行的垂直于 轴的直线；k280yy当 时，曲线 为焦点在 轴的椭圆；02k2184xykx当 时，曲线 为一个圆；2xy当 时，曲线 为焦点在 轴的椭圆。k184ky21.求下列动圆圆心 M 的轨迹方程: (1)与 : 内切,且过点 A(2,0). CA2()xy(2)与 : 和 : 都 外切. 112CA2(1)4xy解:设动圆 M 的半径为 r. (1
10、) 与 内切,点 A 在 外, A|MC| |MA|=r, |MA|-|MC| . 2r 2点 M 的轨迹是以 C、A 为焦点的双曲线的 左支, 且有 . 2227acba双曲线方程为 . 271()yx(2) 与 、 都外切, A12| |=r+1,| |=r+2. 1C| |-| |=1. 2M点 M 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的 上支, 21C且有 . 3124acba所求的双曲线的方程为 . 2132()xy22.设双曲线 的方程为 ，直线 的方程是 ，当 为何值时，直线C4l1kxy与双曲线l（）有两个公共点？（）仅有一个公共点？（）没有公共点？解：把 代入 得： （*）1kxy
11、142y08)4(2kx当 ，即 时，方程 （*）为一次方程，只有一解042当 且 ，即 且 时，方0412k 0)8(41)8(22kk 2k1程（*）有两个不等实根当 且 ，即 时，方程（*）有两个相2 )()(22等实根当 且 ，即 或 时，方程0412k 0)8(41)8(22kk 2kk（*）没有实根因此， （）当 且 时，直线 与双曲线 有两个公共点；lC（）当 或 时 ，直线 与双曲线 仅有一个公共点；21k（）当 或 时，直线 与双曲线 没有公共点.kl23.求两条渐近线为 且截直线 x-y-3=0 所得弦长为 的双曲线方程. 20xy83解:设双曲线方程为 . 4()联立方程组得 230xy消去 y 得 24(6)设直线被双曲线截得的弦长为 AB, 且 1()Ax2()By那么 136284()0x那么,|AB| 22114kxx236(1)8)()3 . 4故所求的双曲线方程是 . 241xy
