1、示范教案整 体 设 计教学分析 求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算在教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步三维目标 1让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法2了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想3回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣重点难点 教学重点：
2、用二分法求方程的近似解教学难点：二分法课时安排 1 课时教 学 过 程导入新课 思路 1.(情境导入)师：(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？生 1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔 10 元降低报价生 2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔 100 元降低报价如果低了，每隔 50 元上升报价；如果再高了，每隔 20 元降低报价；如果低了，每隔 10 元上升报价生 3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价师：在现
3、实生活中我们也常常利用这种方法譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障(相距大约 3 500 米) 电工是怎样检测的呢？是按照生 1 那样每隔 10 米或者按照生 2 那样每隔 100 米来检测，还是按照生 3 那样来检测呢？生：(齐答) 按照生 3 那样来检测师：生 3 的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件，区间逼近法)思路 2.(事例导入)有 12 个小球， 质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好(让同学们自由发言，找出最好的办法)解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重
4、球第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？推进新课 Error!Error!解方程 2x160.解方程 x2x20. 解方程 x32x 2x20.解方程x 22x 23x2 0.我们知道，函数 fxlnx2x6 在区间2 ，3 内有零点 .进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？“取中点”后，怎样判断所在零点的区间？什么叫二分法？试求函数 fxlnx2x6 在区间2 ，3 内零点的近似值.总结用二分法求函数零点近似值的步骤.,思考用二分法求函数零点近似值的特点.讨论结果：x8.x1，x2.x1，x1，x2x ，x ，x
5、1，x2.2 2如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围 “取中点”，一般地，我们把 x 称为区间(a，b)的中点a b2比如取区间(2,3)的中点 2.5，用计算器算得 f(2.5)0，因为 f(2.5)f(3)0，所以零点在区间(2.5,3)内对于在区间上连续不断且 f(a)f(b)0 的函数 yf(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值像这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法因为函数
6、 f(x)lnx2x6，用计算器或计算机作出函数 f(x)lnx2x6 的对应值表x 1 2 3 4 5 6 7 8 9f(x) 4 1.306 9 1.098 6 3.386 3 5.609 4 7.791 8 9.945 9 12.079 4 14.197 2由表可知，f(2)0，f(3) 0，则 f(2)f(3)0，这说明 f(x)在区间(2,3) 内有零点 x0，取区间(2,3)的中点 x12.5，用计算器算得 f(2.5)0.084，因为 f(2.5)f(3)0，所以x0(2.5,3)同理，可得表(下表)与图象( 如下图) 区间 中点的值 中点函数近似值(2,3) 2.5 0.084
7、(2.5,3) 2.75 0.512(2.5,2.75) 2.625 0.215(2.5,2.625) 2.562 5 0.066(2.5,2.562 5) 2.531 25 0.009(2.531 25,2.562 5) 2.546 875 0.029(2.531 25,2.546 875) 2.539 062 5 0.010(2.531 25,2.539 062 5) 2.535 156 25 0.001由于(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见上表) 这样，在一定的精确度下，我们可以在有限次重复
8、相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值例如，当精确度为 0.01 时，由于|2.539 062 52.531 25|0.007 812 50.01，所以，我们可以将 x2.531 25 作为函数 f(x)lnx2x6 零点的近似值用二分法求函数零点的一般步骤如下：第一步 在 D 内取一个闭区间 D，使 f(a0)与 f(b0)异号，即 f(a0)f(b0)0.零点位于区间中第二步 取区间的中点(如下图 )，则此中点对应的坐标为 x0a 0 (b0a 0)12 (a0 b0)12计算 f(x0)和 f(a0)，并判断：(1)如果
9、 f(x0)0，则 x0 就是 f(x)的零点，计算终止；(2)如果 f(a0)f(x0)0，则零点位于区间中，令 a1a 0，b 1x 0；(3)如果 f(a0)f(x0)0，则零点位于区间中，令 a1x 0，b 1b 0.第三步 取区间的中点，则此中点对应的坐标为x1a 1 ( b1 a1) (a1b 1)12 12计算 f(x1)和 f(a1)，并判断：(1)如果 f(x1)0，则 x1 就是 f(x)的零点，计算终止；(2)如果 f(a1)f(x1)0，则零点位于区间上，令 a2a 1，b 2x 1；(3)如果 f(a1)f(x1)0，则零点位于区间上，令 a2x 1，b 2b 1.继
10、续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当 an 和 bn 按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数 yf(x) 的近似零点，计算终止这时函数 yf(x) 的近似零点满足给定的精确度由函数的零点与相应方程的关系，我们可用二分法来求方程的近似解由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算Error!思路 1例 1 求函数 f(x)x 3x 22x 2 的一个正实数零点(精确到 0.1)解：由于 f(1) 20，f(2)60，可以确定区间作为计算的初始区间用二法逐步计算，列表如下：端点或中点横坐标 计算端点或中
11、点的函数值 定区间a01， b02 f(1)2，f(2)6x0(1 2)/21.5 f(x0)0.6250x1(11.5)/21.25 f(x1)0.9840x2(1.25 1.5)/21.375 f(x2)0.2600x3(1.3751.5)/21.437 5 f(x3)0.1620由上表的计算可知，区间的左、右端点精确到 0.1 所取的近似值都是 1.4，因此 1.4 就是所求函数的一个正实数零点的近似值函数 f(x)x 3 x22x2 的图象如下图实际上还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值点评：以上求函数零点的二分法，对函数图象是连续不间断的一类函数的零点都有效如果
12、一种计算方法对某一类问题(不是个别问题) 都有效，计算可以一步一步地进行，每一步都能得到唯一的结果，我们常把这一类问题的求解过程叫做解决这一类问题的一种算法算法是刻板的、机械的，有时要进行大量的重复计算，算法的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总会算出结果算法更大的优点是，它可以让计算机来实现例如，我们可以编写程序，快速地求出一个函数的零点有兴趣的同 学，可以在“Scilab” 界面上调用二分法程序，对上例进行计算，求出精确度更高的近似值本套书的一个重要特点是，引导同学们认识算法思想的重要性，并希望同学们在学习前人算法的基础上，去寻求解决各类问题的算法在数学 3 中，我们还要系统地学习算法.
13、变式训练若函数 f(x) x3x 22x 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下表：f(1) 2 f(1.5) 0.625 f(1.25) 0.984f(1.375)0.260 f(1.437 5)0.162 f(1.406 25) 0.054那么方程 x3x 22x20 的一个近似根(精确到 0.1)为( )A.1.2 B1.3 C1.4 D1.5解析：f(1.437 5)f(1.406 25)0，方程 x3x 22x20 的一个正根位于区间(1.437 5,1.406 25)内，1.437 5 与 1.406 25 精确到 0.1 的近似值都是 1.4.答案：C思路 2
14、例 1 求方程 2x33x30 的一个实数解(精确到 0.01)解：考察函数 f(x )2x 33x3，从一个两端函数值反号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程实数解所在区间经试算，f(0) 30，f(2) 190，所以函数 f(x)2x 33x3 在内存在零点，即方程 2x33x30 在内有解取的中点 1，经计算，f(1) 20，又 f(0)0，所以方程 2x33x30 在内有解如此下去，得到方程 2x33x30 的实数解所在区间的表如下左端点 右端点第 1 次 0 2第 2 次 0 1第 3 次 0.5 1第 4 次 0.5 0.75第 5 次 0.625 0.75第 6 次 0.687 5
15、 0.75第 7 次 0.718 75 0.75第 8 次 0.734 375 0.75第 9 次 0.742 187 5 0.75第 10 次 0.742 187 5 0.746 093 75第 11 次 0.742 187 5 0.744 140 625至此，可以看出，区间内的所有值，若精确到 0.01，都是 0.74.所以 0.74 是方程2x33x30 精确到 0.01 的实数解点评：利用二分法求方程近似解的步骤：确定函数 f(x)的零点所在区间 (a，b)，通常令 ba1；利用二分法求近似解.变式训练利用计算器，求方程 x22x10 的一个近似解(精确到 0.1)活动：教师帮助学生分
16、析：画出函数 f(x)x 22x1 的图象，如图所示从图象上可以发现，方程 x22x10 的一个根 x1 在区间(2,3)内，另一个根 x2 在区间(1,0)内根据图象，我们发现 f(2) 10，f(3) 20，这表明此函数图象 在区间(2,3)上穿过 x 轴一次，即方程 f(x)0 在区间 (2,3)上有唯一解计算得 f( ) 0，发现 x1(2,2.5)( 如上图) ，这样可以进一步缩小 x1 所在的区间.2 32 14解：设 f(x)x 22x1，先画出函数图象的简图，如上图因为 f(2)1 0，f(3) 2 0，所以在区间(2,3)内，方程 x22x10 有一解，记为 x1.取 2 与
17、 3 的平均数 2.5，因 为 f(2.5)0.250，所以 2x 12.5.再取 2 与 2.5 的平均数 2.25，因为 f(2.25)0.437 50，所以 2.25x 12.5.如此继续下去，得 f(2)0， f(3)0 x1(2,3) ，f(2)0， f(2.5)0 x1(2,2.5)，f(2.25) 0，f(2.5)0 x1 (2.25,2.5)，f(2.375)0，f(2.5)0 x1 (2.375,2.5)，f(2.375)0，f(2.437 5)0 x1(2.375,2.437 5)因为 2.375 与 2.437 5 精确到 0.1 的近似值都为 2.4，所以此方程的一个近
18、似解为 2.4.点评：利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.Error!1函数 f(x) x32x 2x2 的零点个数是( )A0 B1 C2 D3答案：D2在 26 枚崭新的金币中，有一枚外 表与真币完全相同的假币( 重量轻一点)，现在只有一台天平，请问：应用二分法的思想，最多称_次就可以发现这枚假币？解析：将 26 枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币在轻的那 13 枚金币里面；将这 13 枚金币拿出 1 枚，将剩下的 12 枚平均分成两份，放在天平上，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在轻的那 6 枚金币里面 ；将这 6 枚平均分成两份，放在天平上，则假
19、币一定在轻的那 3 枚金币里面；将这 3 枚金币任拿出 2 枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚就是假币，若不平衡，则轻的那一枚就是假币综上可知，最多称 4 次就可以发现这枚假币答案：43求方程 x33x10 的一个正的近似解(精确到 0.1)解：设 f(x)x 33x1，设 x1 为函数的零点，即方程 x33x10 的解作出函数 f(x) x33x1 的图象如下图因为 f(1)3 0，f(2) 1 0，所以在区间(1,2) 内方程 x33x10 有一个解，记为x1.取 1 与 2 的平均数 1.5，因为 f(1.5)2.1250，所以 1.5x 12.再取 2 与 1.5 的平均数 1.75
20、，因为 f(1.75) 0.890 6250 ，所以 1.75x 12.如此继续下去，得f(1)0， f(2) 0 x1(1,2)，f(1.5) 0，f(2)0 x1(1.5,2)，f(1.75) 0，f(2)0 x1(1.75,2)，f(1.875)0，f(2)0 x1 (1.875,2)，f(1.875)0，f(1.937 5)0 x1(1.875,1.937 5)，因为区间内的所有值，如精确到 0.1 都是 1.9，所以 1.9 是方程 x33x1 的实数解Error!从上海到美国旧金山的海底电缆有 15 个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接
21、点的个数为多少？(此例既体现了二分法的应用价值，也有利于发展学生的应用意识)答案：至少需要检查接点的个数为 4.Error! 掌握用二分法求方程的近似解，及二分法的其他应用思想方法：函数方程思想、数形结合思想Error!课本习题 24 A 7.设 计 感 想“猜价格”的游戏深受人们的喜欢，它是二分法的具体应用，用它引入拉近了数学与生活的距离二分法是科学的数学方法，它在求方程的近似解和现实生活中都有着广泛的应用本节设计紧紧围绕这两个中心展开，充分借助现代教学手段，用多种角度处理问题，使学生充分体会数学思想方法的科学性与完美性备 课 资 料基本初等函数的零点个数结合基本初等函数的图象得：正比例函数 ykx(k0)仅有一个零点 0；反比例函数 y (k0)没有零点；kx一次函数 ykxb(k0)仅有一个零点；二次函数 yax 2bxc(a0)，当 0 时，二次函数有两个零点 ；当 b 2a 0 时，二次函数仅有一个零点 ；当 0 时，二次函数无零点 b2a(设计者：张新军)
