1、第一章 导数及其运用11 导数的概念检测反馈：1 4+2x； 2 ； 3 0；14 解： ， 当 时 ， ，2()yx0x2yx所 以 ),48fxf5 （1） ； （1） ； （1） ； （1） 0343巩固练习：A 组1-3 ； 2 ； 32； 4 ；00()(fxfx1x501，83%； 6 ； 7 3 万件/年，0 万件/年； 2ab8-2； 919 6m/s ； 10 ；/,6ms11当 时，平均速度 ；当 时，平均速度 .5t1(.5).5(/)0hvs2t；2()82(/)1hvms12 ； 0,313 ； 224()R14 （1）20 米/秒；（2）40 米/ 秒；（3）56
2、米/秒； 15 ； ,160kxy,4kyB 组16(1)温度上升的瞬时速度；(2)污染源扩散的瞬时速度；(3)水面高度下降的瞬时速度； 17 （-1，1）或（1，1） ； 18 ； 193； 20-2； 21-84yx22解：圆盘面积 220(1).Srat20,trrt20()t201,sratt当 无 限 趋 近 时 ， 无 限 趋 近 于即 为 铝 盘 面 积 对 温 度 的 变 化 率 .23(1) ,(2)PQ 逐步增大，PR 逐步减小； 8,3PQPRK24k= -1, 倾斜角 =1350；25令 ， ，则 ，当 时，(1,)p1,x11PQxkx0，从而曲线 在 处切线斜率为
3、1PQk1yx126令 ， ，3,22,(0)2x则 ，211334PQxk x当 时， ，故切线的斜率为 0xPQk27略28 （1） ；（2） ；（3）819(0)9,(1)0CC 组29 （1） ，当 h 无限趋近于 0 时，- h 也无限趋0000()fxfhfxhfx近于 0，无限趋近于 ；0()()ff0()f（2） ，当 h 无限趋近于 0 时，2h 也无限趋近0 022xhxfhx于 0， 无限趋近于 ，0()(ff0()f无限趋近于 2 ；xxhx（3） 00()()ffh0()xxf，当 h 无限趋近于 0 时， 无限趋000()()fhffh 00()(fxhf近于 ，
4、无限趋近于 ，0fx(x0()fx无限趋近于 2 ； 0()fh（4） =0(fxh=()2)33x当 h 都无限趋近于 0 时，-3h 也无限地趋近于 0，无限趋近于 0()()ffx()fx30 （1） ； （2）当 不断增大时， 无限趋向于 4（当 无限增大时，区间长4nannan度无限趋近于 0，此时的平均变化率趋近于函数在 时的导数） ；2x12 导数的运算检测反馈：110x；2 ；3 ；4 ；212sincoxxy52lnxy5 ；60 或 ；7 ；82xey1)(f9 （1）解：设 ， ，则5uxxy)2()5 134 4)1(0x（2）解：令 y=f(x)=sinu; u=x2
5、 =(sinu)u (x2)x=cosu 2x=cosx2 2x=2xcosx2uxf(x)=2xcosx2；（3）解：令 y=u2，u=sin(2x+ )，再令 u=sinv，v=2x+33 =yu(uv vx)=2u cosv 2=2sin(2x+ )cos(2x+ ) 2xx =4sin(2x+ )cos(2x+ )=2sin(4x+ )即 yx=2sin(4x+ )32巩固练习：1 2 30 4 x87x2080()cosff5 或 1 6 7 40 cm2/s 8 (1) 6x，8x ； (2)3，cos x ; (3) 1，2x；(4) 344x； 2 cosx 9 （1） 18x
6、28x 9 （2） 21lncos();3;(4)ln4yxyy（5） y=2xcosxx 2sinx（6）2x+ （7） ;(8)sec2x 158617)(10 sin 11 120 12 03m或13 ln21 14 6 15 16 4cos(in)2sixx4sinyux17 18x-6 ； 18 6 (31)l19 20 21 （1，e） ，e 22 23 3x+y+2=0 412241； 25 1 26 27 6432828 （1）斜率 kAB=-2；AB 所在直线的方程为 2x+y-8=0;(2)存在， C 点的坐标为（3，3） 。29x-y+2=0 或 4x-y-4=0 30解
7、： ，P 到直线 AB 的距离最大时，APB 面积最大，2AB即过 P 点的切线平行于直线 AB 时 APB 面积最大，设 ，0(,)Pxy =2x-1，过点 P 的切线的斜率 k= ， ，P (1,0)y 0()21fx31解：设切点(t,t 2+1)， ， ，yt切线方程为 y-(t2+1)=2t(x-t)，将 (1,a)代入，得 a-(t2+1)=2t(1-t)，即 t2-2t+(a-1)=0，有两条切线， =(-2)2-4(a-1)0， ，所求 a 满足的条件为 32 ，332()1()(1)861)fxxx43280187xx，42807(32 ， ， 7f 5ff33(1) = ；
8、（2） =18(3x+5)5； （3） =21(3x-8)6；y2sin()xy y34 （1） co(3) cos()4 4si()3in)4xee （2） ；(3) y= ；52yxx 22sin()363x4cos()635 （1）A（ ，0） a1ayx1xay，即 ax-y-1=0；1()yx（2）直线 m 的方程 ，y 轴上截2()xa距 1a()231)2S36解：设容器中水的体积在 t 分钟时为 V，水深为 h则 V=20t，又 V= r2h，由图知 ，r= h0651V= ( )2h3= h3，20t= h3,1575h= ，h=30t210当 h=10 时，t= ，h= 当
9、 h=10 米时，水面上升速度为 米/分537 (0)1234!fn38解：x+x 2+xn= (x1)设 f(x)=x+x2+xn，f( x)=1+2x+nxn1=21)()nn 21)(xn1+2x+nxn 1= )(1xn39证明： ；2 233() 3aay ax切线 l 的方程： ，211)(xx令 y=0 得： ，2 21()()x121135()()6()aaxx2115336a40(1) f(x)x .1x 1(2)证明：已知函数 y1x，y 2 都是奇函数，1x函数 g(x)x 也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形而 f(x)x 1x 1x 1(x1) 1，1(x
10、1)可知 f(x)的图象是由 g(x)的图象沿 x 轴正方向向右平移 1 个单位，再沿 y 轴正方向向上平移 1 个单位得到的故函数 f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形(3)证明：在曲线上任取一点 ，(x0，x0 1x0 1)由 f(x0)1 ，知过此点的切线方程为1(x0 1)2y (xx 0)x20 x0 1x0 1 1 1(x0 1)2令 x1，得 y ，切线与直线 x1 交点为 .x0 1x0 1 (1，x0 1x0 1)令 yx，得 x2x 01，切线与直线 yx 交点为(2x 01,2x 01) 直线 x1 与 yx 交点为(1,1)从而所围的三角形的面积为 |2x
11、011| |2x02|2.12|x0 1x0 1 1| 12| 2x0 1|所围的三角形的面积为定值 2.1.3 导数在研究函数中的应用检测反馈：1 （3） ；2 ） ；3 ） ；0a,44(1)因为 ,所以()fx 22()3(1)0fxx因此 在 上单调递增, R（2)因为 ,所以2ff当 即 时,函数 单调递增;()012()当 即 时,函数 单调递减;fx3fx函数 的图象如上图右所示23(3)因为 ,()sin()所以 ，因此,函数 在 单调递减 co10f ()sinfx(0,)5(1)解: ，令 解得72xyy27x当 变化时, 的变化情况如下表:,7,2y 0+极小值 254当
12、 时, 有极小值,且27xy极 小 值y(2)解: )3(3 xy令 解得0,21当 变化时, 的变化情况如下表:xy,)3,( 3,y+ 0 0+ 极大值54 极小值 54当 时, 有极大值且3xy极 大 值y当 时, 有极小值且 极 小 值6-7； 7 ；90a或8解 : 先求导数,得 x43/令 即 解 得0y43x 1,0,132x导 数 的正负以及 , 如下表/ )2(ffx2)1,()0,()1,()2,(y- - 0345431从上表知,当 时,函数有最大值 ,当 时,函数有最小值 3x巩固练习：A 组1 （0，2） ； 2减； 3 ； 4 ; 5,0(,； 6 ； 7 3,18
13、; 9 1 个； 10 ； 11 2()ab1,212 ； 13 ; 14 9; 153- ln3 ,1； 1611； 1,017 ； 18 ； 19 （1）增区间： ，减区间： ；,2,（2）增区间不存在，减区间： ；,3（3）增区间： ，减区间 ；1,102（4）当 时增区间是 ；当 时减区间是 ； a,a,20 ；,2b21 2()fxx因为 在区间 上是增函数，所以 对 恒成立1, ()0fx1,即 对 恒成立 。解之得20aa所以实数 的取值范围为 ,22证明：设 ，则 ，()()Fxfgx()()Ffxg在区间上单调递增所以任取 ，,b即()0fgaf23 （1） ()15f极 大
14、（2） ， ；3fx极 小 ()1fxf极 大（3） ,令 ye21,ln2xyee对导函数 再求导，得 ，所以函数 在 上单调递增，从而0xy,当 时， ；当 时， 所以 有极小值，1ln2x01ln2 y极 小24 （1） ， 是函数的极值点， 是2()3faxbcx1x的两个根，有 ， ，又 ，所以2xc30ac320abc()f，1ab解得 ,02（2） ，312fxx23(1)fxx当 或 时， ；当 时， ，010f函数 在 和 上是增函数；在（-1，1）上是减函数因此，f,时，函数取得极大值 ；当 时，函数取得极小值 1xfx1f25解法一： （1）由图象可知，在（，1）上 ,在
15、(1,2)上 ,在()fx()0x上 , 故 在 , 上递增 ,在(1,2)上递减,因此 在 处(2,)(0f()x)(2取得极大值,所以 (2) 由23,fxabc0,1)5,fff得 140,5c解得 2,9,12.ab解法二:(1)同解法一(2)设 2()(3,fxmxmx 又 所以 23,c2,abc().f由 ,即 得 ,1525,36所以 29,1abc26(1) 令 ，解得 ，所以函数 的单调递6.fxx0f13x或 ()fx减区间为 ， 和 ，(2)因为 ，所以 因为在8,28fafa2ff上 ，所以 在 上单调递增，又由于 在 上单调递1,30x()x1()x,1减，因此 和
16、 分别是 在区间 上的最大值和最小值，于是有2f1ff,，解得 故 ，a329x因此 ，即函数 在区间 上的最小值为 97f()f,7B 组27a0; 28 ； 292; 30 ln2；2,31a6； 322； 33 ； 34(0,1) ； 35 ； 36 4272； 5337增区间 ，减区间 ； 38 ； 39 ； 5,350,357a40 （1） ；,2ab（2）增区间： ；减区间2,1,321,3极小值 ，极大值 40()7f()f41当 时，有 极大值 ；当 时， 有极小值 。所以0xxc2x()fx(2)4fc所求的极大值和极小值之差为 442 增区间为 和 ，减区间为 1,32ab
17、1,3.1,343由已知得 ，()6()fxa令 ，解得 0f12,（1）当 时， ， 在 上单调递增affx(,)当 时， ， 随 的变化情况如下表：()xfx,0 ,1a1a(,)()f+ 0 0A极大值 A极小值 A从上表可知，函数 在 上单调递增；在 上单调递减；在 上单()fx,)(0,)(,)调递增（2）由（1）知，当 时，函数 没有极值a()f当 时，函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值 x01xa31()a44 （1） ；2()34fxa（2） 的最大值为 ，最小值为 ；9(1)2f 450()327f（3） 的图象为开口向上且过点（0，4）的抛物线，有条件得2()fx，即
18、 ,()f80a，所以 的取值范围为 a45函数的极小值为-1，且为最小值；函数的极大值为 1，且为最大值 （图略） 46f(x ) x3x 23x 当 x1 时，f(x)取极大值 13 5347略48(1) f(x) 在(0，)上最小值是 f (1e) 1e(2) 当 m 时，原方程无解；当 m 或 m0 时，原方程有唯一解；1e 1eC 组49解：（1） ()2)(,0),()2axf ffa所以切线方程为 120y（2）()02,1fxa令则当 时， 22(),)(1,),1)faa在 和 上 单 调 递 减 在 上 单 调 递 增0xfR当 时 ,在 上 减 函 数当 2a时， (),
19、)(,)在 和 上 单 调 递 减 在 (,上 单 调 递 增（3）当 时，x32(,)a2(,1)a1 (,)()f+ 0 - 0 +增 极大值 减 极小值 增30,(1)ffa1()afe为 最 小 值3,exa对 恒 成 立0,ln350 和 ； 51。(1) (2),625,22,31a52 （1） ae（2） (0,)8增18181180,444aaaa 增 ， 减 ， 增 时 ， 减 ， 增102a时 ， 减 ， 增53 k5 3()6fx763m54(1) f(x) 在 上单调递增，在 上单调递减。10,2a1,2a(2)证明：不妨假设 x1x2由(1)知当 a2 时，f(x)在(0，)上单调减少，所以|f( x1)f(x 2)|4|x1x 2|等价于 f(x2)f (x1)4x14x 2，即 f(x2)4x 2f(x1)4x 1令 g(x)f(x) 4x ，
