1、1导数知识点归纳及其应用知识点归纳一、相关概念1导数的概念函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 处有增量 ，那么函数 y 相应地有增量0x=f（ x + ）f（x ） ，比值 叫做函数 y=f（x）在 x 到 x + 之间的平均变化y0 y0率，即 = 。如果当 时， 有极限，我们就说函数 y=f(x)xf)(0y在点 x 处可导，并把这个极限叫做 f（x）在点 x 处的导数，记作 f（x ）或 y| 。0 000x即 f（x ）= = 。00limxy0lix)(说明：（1）函数 f（x）在点 x 处可导，是指 时， 有极限。如果 不存在极限，00xxyxy就说函数在点 x 处不可导，
2、或说无导数。0（2） 是自变量 x 在 x 处的改变量， 时，而 是函数值的改变量，可以是零。0xy由导数的定义可知，求函数 y=f（x）在点 x 处的导数的步骤：0 求函数的增量 =f（x + ）f（x ） ；y0 求平均变化率 = ；f)(0 取极限，得导数 f(x )= 。0xylim例：设 f(x)= x|x|, 则 f ( 0)= .解析： f ( 0)0|lim|li)(li)li 0000 xxfxxx=02导数的几何意义函数 y=f（x）在点 x 处的导数的几何意义是曲线 y=f（x）在点 p（x ，f（x ） ）处的切0 00线的斜率。也就是说，曲线 y=f（x）在点 p（x
3、 ，f（x ） ）处的切线的斜率是 f（x ） 。002相应地，切线方程为 yy =f/（x ） （xx ） 。00例：在函数 的图象上，其切线的倾斜角小于 的点中，坐标为整数的点的个x834数是 ( )A3 B2 C1 D0解析：切线的斜率为 832/xyk又切线的倾斜角小于 ，即40故 18302x解得： 383x或故没有坐标为整数的点3.导数的物理意义如果物体运动的规律是 s=s（t） ，那么该物体在时刻 t 的瞬间速度 v= （t） 。s如果物体运动的速度随时间的变化的规律是 v=v（t） ，则该物体在时刻 t 的加速度a=v（t） 。例。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后
4、停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 看作时间 的函数，其图像可能是（ ）ststOAstOstOstOB C D答：A。练习：已知质点 M 按规律 做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s） 。32ts（1） 当 t=2， 时，求 ；01.t（2） 当 t=2， 时，求 ；ts（3） 求质点 M 在 t=2 时的瞬时速度。答案：（1）8.02 （2）8.002 ；（3）8scmscscm二、导数的运算1基本函数的导数公式: （C 为常数）0;3 1;nx ; (si)cosx ;in ()xe ; la ; 1lnx .gloaae例 1：下列求导运算正确的是 ( )A(x+ B(log 2x
5、)= 21)x ln1xC(3 x)=3 xlog3e D (x 2cosx)=-2xsinx 例 2：设 f0(x) sinx， f1(x) f0( x)， f2(x) f1( x)， fn1 (x) fn( x)，nN，则 f2005(x) ( )A sinx B sinx Ccos x D cosx2导数的运算法则法则 1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ( .vu法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即： .)(uvv若 C 为常数,则 .即常数与函数的积的导数等于常数乘 0)( CuC
6、以函数的导数： .法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： （v 0） 。vu2例：设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x0 时,0.且 g(3)=0.则不等式 f(x)g(x)0 的解集是 ( )()(xgfxf4A (-3,0)(3,+) B (-3,0)(0, 3)C (-,- 3)(3,+) D (-,- 3)(0, 3)解析：当 x0 时, 0 ，即)()(xgfxf 0)(/xgf当 x0 时，f(x)g(x)为增函数，又 g(x)是偶函数且 g(3)=0，g(-3)=0，f(-3)g(-3)=
7、0故当 时， f(x)g(x) 0，又 f(x)g(x)是奇函数，3当 x0 时，f(x)g(x)为增函数，且 f(3)g(3)=0故当 时，f(x)g(x)0x故选 D3.复合函数的导数形如 y=f 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：x()分解求导回代。法则：y| = y| u| 或者 .XUX()*(fxfx练习：求下列各函数的导数：（1） （2）;sin25xy );3(2)1(xxy（3） （4）;co1i .三、导数的应用1.函数的单调性与导数（1）设函数 在某个区间（a，b）可导，如果 ，则 在此区间上为)(xfyf)(x0)(xf增函数；如果 ，则 在此区间上为减函数。0)(
8、xf（2）如果在某区间内恒有 ，则 为常数。)(f例：函数 是减函数的区间为 ( )13)(2xfA B C D （0，2） ,),()0,(2极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；例：函数 已知 时取得极值，则 = ( ),93)(23xaxf 3)(xf在 aA2 B3 C4 D553最值：在区间a，b上连续的函数 f 在a，b上必有最大值与最小值。但在开区间（a，b）内)(x连续函数 f（x）不一定有最大值，例如 。3(),(1,)fx求最值步骤：求函数 在(a，b)内的极
9、值； 求函数 在区间端点的值 (a)、(b)；)( )(将函数 的各极值与 (a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的)(x是最小值。说明：（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。例：函数 在闭区间-3，0上的最大值、最
10、小值分别是 .13)(xf经典例题选讲例 1. 已知函数 的图象如图所示（其中 是函数 的导函数） ，下面)(xfy)(xf)(xf四个图象中 的图象大致是 ( )6例 2.设 恰有三个单调区间，试确定 a 的取值范围，并求其单调区间。xaf3)(例 3. 已知函数 的图象过点 P（0,2）,且在点 M 处的dxbfc)(23 )1(,f切线方程为 .076yx（）求函数 的解析式；)(f（）求函数 的单调区间.xy例 4. 设函数 ，已知 是奇函数。32()fbcxR()()gxfx（）求 、 的值。 （）求 的单调区间与极值。c例 5. 已知 f（x）= 在 x=1，x= 时，都取得极值。
11、cxa23 32（1）求 a、b 的值。（2）若对 ，都有 恒成立，求 c 的取值范围。,1f1)(例 6. 已知 是函数 的一个极值点，其中x32()(1)fxmxn，,0mnR（I）求 与 的关系式；（II）求 的单调区间；()fx（III）当 时，函数 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3 ，求1,()yfxm的取值范围.m例 7：（2009 天津理 20）已知函数 其中22()3)(),xfxaeRa7（1） 当 时，求曲线 处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 0a()1,()yfxf在 点（2） 当 时，求函数 的单调区间与极值。w.w.w.k.s.5.u.c.o
12、.m 23本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分 12 分。参考答案：例 1 解析：由函数 的图象可知：)(xfy当 时， 0，此时 增x)(xf )(xf当 时， 0， 0， 0，此时 增，故选 C例 2.解： 13)(2axf若 ， 对 恒成立，此时 只有一个单调区间，矛盾0)(f ),(x)(xf若 ， ， 也只有一个单调区间，矛盾0,若 ，此时 恰有三个单调区间0a )|31()|31() axaxf )(xf 且单调减区间为 和 ，单调增区间为)|,(),|()|31,|(a例 3 .解：（）由 的图
13、象经过 P（0，2） ，知 d=2，)(xf所以 ,23cbf8.23)(cbxxf由在 处的切线方程是 ，知)1(,fM076yx.)1(,)(,076ff即 .3,032.11623cbcbcb解 得即故所求的解析式是 .2)(23xxf（） .012,036.6)(2 xxf 即令解得 当1,21 ;)(,1fxx时或当 .0)(,fx时故 内是增函数，)2,3)(23在f在 内是减函数，在 内是增函数.)1,1(例 4. 解：（） ， 。从而32fxbcx23fxbc 是 2()()()gx32()()xcbx一个奇函数，所以 得 ，由奇函数定义得 ；0g（）由（）知 ，从而 ，由此可
14、知，3626g和 是函数 是单调递增区间； 是函数 是单(,2)(,)()x(,)()g调递减区间；在 时，取得极大值，极大值为 ，gx4在 时，取得极小值，极小值为 。() 2例 5. 解：（1）由题意 f/（x）= 的两个根分别为 1 和bax233由韦达定理，得：1 = ，)3(1则 ，2ab（2）由（1） ，有 f（x）= ，f /（x）=cx23 2x当 时， ，当 时， ，当 时，),x0)(/)1,3(0)(/f,1(，0)(/f9当 时， 有极大值 ， ，32x)(xfc27cfcf 2)(,1)( 当 ， 的最大值为,1对 ，都有 恒成立， ，2xcxf1)(c解得 或,0c
15、,2例 6.解：(I) 因为 是函数 的一个极值点,2()36(1)fxmxn1()fx所以 ,即 ，所以0f()036nm（II）由（I）知， =2)361fxx2(1)x当 时，有 ，当 变化时， 与 的变化如下表：0m1m)ffx2,21,1 ,()f00 00 0x调调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减故有上表知，当 时， 在 单调递减，0m()fx2,1m在 单调递增，在 上单调递减.2(1,)1,（III）由已知得 ，即3fx2()20xx又 所以 即 0m2()m(1)0,1,xm设 ，其函数开口向上，由题意知式恒成立，1()gxx所以 解之得 又 200()1430所以
16、即 的取值范围为43m,例 7.10解：（I） .3)1()2()(02 efexxfexfa ， 故，时 ，当 .31,fy处 的 切 线 的 斜 率 为在 点所 以 曲 线 （II） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m .42)()(2 xeaxxf.2320 a知 ，由， 或， 解 得令以下分两种情况讨论。（1） ，则 .当 变化时， 的变化情况如下表：a若 32a2x)(xf，x， ， 2a，+ 0 0 + 极大值 极小值 .)2()2()() 内 是 减 函 数，内 是 增 函 数 ， 在，在所 以 aaxfw.w.w.k.s.5.u.c.o.m .3)(efaf， 且处 取 得 极 大 值在函 数 .)4()2)( 2axf ， 且处 取 得 极 小 值在函 数（2） ，则 ，当 变化时， 的变化情况如下表：a若 3a2x)xf，x， a， ，a2+ 0 0 + 极大值 极小值 内 是 减 函 数 。，内 是 增 函 数 ， 在，在所 以 )()2()()axf .342( 2 aeaff， 且处 取 得 极 大 值在函 数
