1、1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理问题导学一、二项式定理的直接应用活动与探究 1求 4 的展开式(3x 1x)迁移与应用1(x 1)55(x 1) 410(x 1) 310( x1) 25(x1)_2(2013 安徽合肥模拟)求 4 的展开式(x 12x)熟记二项式(ab) n的展开式，是解决此类问题的关键，我们在解较复杂的二项式问题时，可根据二项式的结构特征进行适当变形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便二、二项展开式中特定项、项的系数活动与探究 21若 6 展开式的常数项为 60，则常数 a 的值为_(x ax2)2在 6 的二项展开式中，x 2 的系数为( )(x2 2x)
2、A B C D154 154 38 38迁移与应用1(2012 天津高考，理 5)在 5 的二项展开式中，x 的系数为 ( )(2x2 1x)A10 B10 C40 D402求二项式 10 的展开式中的常数项来源:学优(x2 12x)求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项 Tk1 C ank bk的特点，一般需要建立方程kn求 k，再将 k 的值代回通项求解，注意 k 的取值范围(k0,1,2，n)(1)第 m 项：此时 k1m，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为 0 建立方程；(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程来源:学优特定项的系
3、数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解三、二项式定理的应用(整除问题)活动与探究 3试判断 77771 能否被 19 整除迁移与应用191 92 除以 100 的余数是_2证明：3 2n2 8n9 是 64 的倍数用二项式定理解决 anb 整除(或余数)问题时，一般需要将底数 a 写成除数 m 的整数倍加上或减去 r(1rm)的形式，利用二项展开式求解答案：课前预习导学【预习导引】1(2)n1 (3)C kn2C ank bkkn预习交流 (1)提示：项数：n1 项；指数：字母 a，b 的指数和为 n，字母 a 的指数由 n 递减到 0，同时 b 的指数由 0 递增到 n；通项公式 T
4、r 1C anr br指的是第 r1 项，不rn是第 r 项； 某项的二项式系数与该项的系数不是一个概念，C 叫做二项式系数，而某一项的rn系数是指此项中除字母外的部分，如(12x) 3 的二项展开式中第 3 项的二项式系数为 C 3，而23该项的系数为 C 221223(2)提示：B(3)提示：21 84 448x 5课堂合作探究【问题导学】活动与探究 1 思路分析：直接利用二项式定理处理是基本的方法但考虑到处理起来比较复杂，因此可以考虑将原式变形后再展开解法一： 4C (3 )4 0C (3 )3 C (3 )2 2C (3 ) 3C (3 )0(3x 1x) 04 x (1x) 14 x
5、 (1x) 24 x (1x) 34 x(1x) 4 x481 x2108x 54 (1x) 12x 1x2解法二： 4(3x 1x) (3x 1)4x2 (81x4108x 354x 212x 1)1x281x 2108x54 12x 1x2迁移与应用 1x 51 解析：原式C (x1) 5C (x1) 4C (x1) 3C (x1)05 15 25 352C (x1) C 1( x1) 1 51x 5145 52解法一： 4C ( )4C ( )3 C ( )2 2C 3C 4来源:gkstk.Com(x 12x) 04 x 14 x 12x 24 x ( 12x) 34x( 12x) 4
6、( 12x)x 22x 32 12x 116x2解法二： 4 4(x 12x) (2x 12x) (2x1) 4116x2 (16x432x 324x 28x 1)116x2x 22x 32 12x 116x2活动与探究 2 1思路分析：利用二项式定理的通项公式求出不含 x 的项即可4 解析：由二项式定理可知 6 63162CC()rr rraTaxx ，令 63r0，得 r2，T 3C ( )26026 a15a60a42思路分析：利用二项展开式的通项公式求C 解析：设含 x2 的项是二项展开式中第 r1 项，则 Tr1 C 6r rr6(x2) ( 2x)C 6r (2) rx3r r6(
7、12)令 3r2，得 r1x 2 的系数为 C 5(2) 16(12) 38迁移与应用 1D 解析：T r1 (2x2)5r r(1) r25r x103r ，C( 1x) C当 103r1 时，r3(1) 3253 C 40352解：设第 r1 项为常数项，则Tr1 C (x2)10r rC r(r0,1，10)r10 (12x) r10 52(12)令 20 r0，得 r8，T 9 C 8 52 810(12) 45256第 9 项为常数项，其值为 45256活动与探究 3 思路分析：由于 76 是 19 的倍数，可将 7777 转化为(761) 77 用二项式定理展开解：77 771(7
8、61) 77176 77C 7676C 7675C 76C 1177 277 767 7776(76 76C 7675C 7674C )177 277 767由于 76 能被 19 整除，因此 77771 能被 19 整除迁移与应用 181 解析：91 92(901)92C 9092C 9091C 902C 901，该式前面各项均能被 100 整除，只有末尾092 192 902 912两项不能被 100 整除又由于 C 9018 2818 20081，来源:GKSTK.Com91291 92 被 100 除余 812证明：3 2n2 8n99 n1 8n9(81) n1 8n98 n1 C
9、8nC 82C 818n91n 1 n 1 nn 18 n1 C 8nC 828(n1)18n91n 1 n 18 n1 C 8nC 821n 1 n 1(8 n1 C 8n2 C )64，1n 1 n 13 2n2 8n9 是 64 的倍数当堂检测1 的二项展开式中第 4 项是( )16xA B263106xC D31048C答案：C 解析：展开式的通项公式为 Tr1 x16r (1) r x162r ，6C1r16C第 4 项为 T4(1) 3 x10 163062(2013 江西高考，理 5) 展开式中的常数项为( )523A80 B80 C40 D40答案：C 解析：展开式的通项为 T
10、r1 x2(5r) (2) rx3r (2) rx105r 令55C105r 0，得 r2，所以 T2 1 (2) 240故选 C53在(x )20 的展开式中，系数为有理数的项共有 _项4y答案：6 解析：T r1 x20r yr(r0,1,2，20)的系数为有理数，4203Crr0,4,8,12,16,20，共 6 项4(1x) 4(1 )3 的展开式中 x2 的系数是_x答案：6 解析：展开式中的 x2 项为 (x) 1 ( )2 (x )2 6x 2423C403C5求证：(1)51 511 能被 7 整除；答案：证明：(1)51 511(49 2) 511 4951 49502 49
11、250 2511，051C550C5易知除( 2511) 以外各项都能被 7 整除，又 2511(2 3)171(7 1) 171 717 716 7 107767( 716 715 )，1117显然上式能被 7 整除，51 511 能被 7 整除(2)32n3 24n37 能被 64 整除答案：3 2n3 24n3739 n1 24n373(81) n1 24n373( 8n1 8n 81)24n370CC364( 8n1 8n2 )24 24n40111643( 8n1 8n2 )64，0 n显然上式是 64 的倍数，故原式可被 64 整除提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记 来源:学优 GKSTK
