1、课时训练 10 双曲线的简单几何性质一、综合题1.双曲线 x2-y2= 2( 0)的离心率 e=( ) .A.2 B. C. D.1答案:C解析:由双曲线方程知 a=, c=,故 e=.2.与曲线 =1 共焦点,而与曲线 =1 共渐近线的双曲线的方程为( ) .A.=1 B.=1C.=1 D.=1答案:A解析:根据椭圆方程可知焦点为(0, -5),(0,5).设所求双曲线方程为 =(0),即 =1.由 -64 +(-36) =25,得 =-.故所求双曲线的方程为 =1.3.已知双曲线 =1(a0,b0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲线的离心率 e为( ) .A.2 B.3 C. D.
2、答案:D解析:根据题意,得 2a+2c=22b,所以 a2+2ac+c2=4(c2-a2),即 3c2-2ac-5a2=0.所以 3e2-2e-5=0,解得 e=或 e=-1(舍) .来源 :学优 4.已知双曲线 9y2-m2x2=1(m0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为,则 m 等于( ) .A.1 B.2 C.3 D.4来源:学优 gkstk答案:D解析:双曲线 9y2-m2x2=1(m0)化为标准方程是 =1(m0), a2=,b2=.取一个顶点为,一条渐近线的方程为 mx-3y=0, . m=4.5.双曲线的焦点在 y 轴上,且它的一个焦点在直线 5x-2y+20=0 上, e=,
3、则双曲线的标准方程为( ) .A.=1 B.=1C.=1 D.=1答案:D解析:依题意可得一焦点为(0,10),故 c=10.又 e=,解得 a=6,b2=c2-a2=64,故方程为 =1.6.已知点 F1,F2分别是双曲线的两个焦点, P 为该双曲线上一点,若 PF1F2为等腰直角三角形,则该双曲线的离心率为 . 答案: +1来源:学优 gkstk解析:不妨设双曲线方程是 =1(a0,b0).设点 P 在该双曲线的右支上,点 F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,则有 |PF1|-|PF2|=2a.由 PF1F2为等腰直角三角形得 =2c,c2-a2=2ac,=2,e-=2,即 e2-2e-1
4、=0,解得 e=1.又 e1,于是 e=+1.7.若双曲线的离心率为,焦点在 x 轴上,则其渐近线方程为 . 答案: y=2x解析:由于 e=,所以 =5,=4,=2,故渐近线方程为 y=2x.来源 :学优 GKSTK8.已知双曲线 C 的方程为 =1(a0,b0),离心率 e=,顶点到渐近线的距离为,求双曲线 C的方程 .解:依题意,双曲线焦点在 y 轴上,顶点坐标为(0, a),渐近线方程为 y=x,即 axby=0,所以 .又 e=,所以 b=1,即 c2-a2=1,-a2=1,解得 a2=4,故双曲线方程为 -x2=1.9.过双曲线 M:x2-=1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线
5、l,若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分别相交于点 B,C,且 |AB|=|BC|,求双曲线 M 的离心率 .解:双曲线 M 的方程为 x2-=1,左顶点 A 为( -1,0),渐近线方程为 y=bx.又直线 l 的斜率为 1, l 的方程为 y=x+1.从而可求得直线 l:y=x+1 与渐近线 y=bx 的交点为 C,AC 的中点为,且在渐近线 y=-bx 上,则 =-b,得 b=3,c=,e=.双曲线的离心率为 .10.已知双曲线 C:x2-y2=1 及直线 l:y=kx-1.(1)若 l 与 C 有两个不同交点,求实数 k 的取值范围;(2)若 l 与 C 交于 A,B 两点, O 是坐
6、标原点,且 AOB 的面积为,求实数 k 的值 .解:(1)联立方程组消去 y 并整理得(1 -k2)x2+2kx-2=0.直线与双曲线有两个不同的交点,则满足条件解得 -k,且 k 1.若直线 l 与曲线 C 有两个不同交点,实数 k 的取值范围为( -,-1)( -1,1)(1,) .(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),对于(1)中的方程(1 -k2)x2+2kx-2=0,由韦达定理,得 x1+x2=-,x1x2=-,故 |AB|=|x1-x2|=.点 O 到直线 l 的距离 d=, S AOB=|AB|d=,即 2k4-3k2=0.解得 k=0 或 k=.来源 :GKSTK.Com故实数 k 的值为 或 0.
