1、14.1.1 直角三角形三边的关系（1）课前知识管理1、勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.几何语言：如果直角三角形的两直角边分别是 ，斜边是 ，那么 .ba,c22cba图形说明：如图，正方形 A 中含有_个小方格，即 A 的面积是_个单位面积；正方形 B 中含有_个小方格，即 B 的面积是_个单位面积；正方形 C中含有_个小方格，即 C 的面积是_个单位面积.由此得出正方形 A 的面积+正方形 B 的面积=正方形 C 的面积.即若正方形 A 的边长为 则其面积为 ，正方形 B,a2a的边长为 ，其面积为 ，正方形 C 的边长为 ，其面积为 ，由此可推出：b2c2c.22c
2、a说明：我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，所以上述反映直角三角形三边关系的命题通常被称为勾股定理.2、勾股定理提示了直角三角形三边之间的数理关系，是直角三角形的一个重要性质，运用勾股定理进行计算时，一要注意勾股定理的适用条件，二要注意公式的灵活变形.适用条件：勾股定理适用的前提条件是 三角形；公式变形：根据公式 可知，在直角三角形中，已知任意两条边长，可求出第22cba三条边的长.在计算时要会灵活变形，还常常与平方差公式和完全平方公式结合使用，比如：， ， ，2bacabc22abbc222.b2注意事项：运用勾股定理求边长，要分清斜边和直角边，若没有告
3、诉斜边的情况下，经常有两解，勿漏解.名师导学互动典例精析：知识点 1：直接运用勾股定理例 1、在ABC 中，C=90，(1)若 a=8，b=6，则 c=_；(2)若 c=20，b=12，则a=_；(3) 若 ab=34，c =10，则 a=_，b=_.【解题思路】在ABC 中，C=90，所以有关系：a 2+b2=c2.在此关系式中，涉及到三个量，利用方程的思想，可“知二求一”.【解】根据题意可得 a2+b2=c2.(1)若 a=8，b=6，所以 82+62=c2.即 c2=100，c 0，所以 c=10；来源:学优高考网 gkstk(2)若 c=20，b=12，所以 a2+122=202，即
4、a2=20212 2=(20+12)(2012)=328=16 2，a0，所以 a=16；(3)若 ab=34，可设 a=3x，b=4 x，所以(3 x)2+(4x)2=102.化简，得9x2+16x2=100，25x 2=100，x 2=4，x=2(x 0) ，所以 a=3x=6；b=4 x=8.【方法归纳】综合上述解法可以发现，形(即ABC 为直角三角形)与数( a2+b2=c2)的统一，所以我们说勾股定理是形与数的结合.对应练习：在ABC 中，C=90，（1）若 a=3，b=4，则 c=_；（2）若a=6，c=10，则 b=_.知识点 2：勾股定理的简单应用例 2、智能机器猫从平面上的
5、O 点出发.按下列规律行走:由 O 向东走 12 厘米到 A1,由 A1向北走 24 厘米到 ,由 向西走 36 厘米到 ,由 向南走 48 厘米到 ,由 向东走 602A3A4厘米到 ,由 向北走 72 厘米到 ，问:智能机器猫到达 点与 O 点的距离是多少厘米?5 6 6【解题思路】如图所示,当智能机器猫到达 点时,相对 O 点,向东走了 12-36+60=36 厘米,6A向北走了 24-48+72=48 厘米【解】因 =362+482,即 =60所以, 点到 O 点的距离为 60 厘米6OA66【方法归纳】应用勾股定理要注意两点：一是前提条件为直角三角形，非直角三角形的三边之间没有这样的
6、关系；二是解题时要注意区分斜边与直角边，不可乱用.对应练习：如图，在水塔 O 的东北方向 32m 处有一抽水站 A,在水塔的东南方向 24m 处有一建筑工地 B，在 AB 间建一条直水管，则水管的长为（ ） A 45cm B 40cm C 50cm D 56cm知识点 3：利用勾股定理求线段和例 3、已知直角三角形 ABC 中，CAB=90，AC= AB= ，D 为 BC 中点，E 是 AB,mn上任意一点，且 EFAD，EPBD，试确定 EF+EP 的值.【解题思路】由 EFAD，EPBD，联想到连结 DE，从而将三角形 ABD 的面积分割为两部分，通过面积相等关系确定 EF+EP 的值.【
7、解】连结 ED，在直角三角形 ABC 中，CAB=90， AC= AB= ，故有 BC=,mn；D 为 BC 中点，所以 AD=BD= .因 ，2nm2n21EFSAD， ，故有 +,41SAB212mEPSB 2= ，EF+EP=. .来源:学优高考网2EPn2n【方法归纳】将三角形面积巧妙的分割为若干小三角形面积，从而求得相应线段之间的关系，这里体现出“割补”的数学思想方法.对应练习：在 RtABC 中，斜边 AB=2，则 = .22BCA知识点 4：利用勾股定理求面积例 4、如图，ABC 中，B90，AB7，BC=24，P 是A，C 的平分线的交点，PDAB 于 D，PEBC 于 E，求
8、 .BEDS四 边 形 FDB EPC【解题思路】显然四边形 BEPD 是矩形，作 PFAC 于 F，连结 PB，易证，所以四边形 BEPD 是正方形，它的边长可由三角形的面积求得.PFDE【解】设 PD=PE=PF=m，得 ，即ABCPBCPASSmBCAm2121 247由勾股定理知 ，所以， ， ，故547247)5(m3.932BEPDS四 边 形【方法归纳】求不规则四边形图形面积通常把四边形分割成三角形来求解.对应练习：如图，在四边形 ABCD 中，AB2，CD=1 ，A60，B=D=90 ，求四边形 ABCD 的面积.ADBCE知识点 5：利用勾股定理探究规律例 5、如图，设四边形
9、 ABCD 是边长为 1 的正方形，以对角线 AC 为边作第二个正方形ACEF，再以对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH，如此作下去，有：（1）若记正方形ABCD 的边长 a1=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为 a2，a 3，a 4，a n，则a2，a 3，a 4 的值各为多少？（2）根据以上规律写出 an 的表达式【解题思路】利用勾股定理求斜边的长，依次可求出 a2，a 3，a 4，再比较它们的值，即可写出 an【解】 （1）因为四边形 ABCD 是正方形， 所以 AB=BC=1，B=90，所以在 RtABC 中，AC= = ，21ABC2同样可求得 AE= =2，HE= ，即
10、a2= ，a 3= =2，a 4= ；488（2）a n= （n 为正整数） 1【方法归纳】将图形与数字有机结合，善于发现和总结规律，是解题的关键对应练习：细心观察图，认真分析各式，然后解答问题 （ ） 2+1=2，S 1= ；（ ）22+1=3， S2= ；（ ） 2+1=4，S 3= ；（1）请用含 n（n 是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出 OA10 的长；（3）求 S12+S22+S32+S102 的值来源:gkstk.Com易错警示例 6、在 RtABC 中，a=3，b=4，求 c错解：由勾股定理，得 .54322bac错解分析：这里默认了C 为直角其实，题目中没有明确哪
11、个角为直角，当 ba 时，B 可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况正解：若C 为直角，则有 ；若B 为直角，则有22c.73422abc例 7、已知 RtABC 中，B=90， ，求 .2,cab错解：由勾股定理，得 62cb错解分析：这里错在盲目地套用勾股定理“ ”，殊不知，只有当C=90时，22c才成立，而当B=90时，勾股定理的表达式应为 .22cba 22bca正解：B=90， ， .22bca102c课堂练习评测考点 1：利用勾股定理比较线段大小1、如图，每个小正方形的边长为 1， 的三边 的大小关系式：（ ABCcba,）A. B. C. D. bcacbaabc来源:学优高考网
12、考点 2：利用勾股定理计算线段长度2、如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC6 cm、BC8 cm，现将ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 BE 的长为（ ）A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 10 cm3、如图， 和 都是边长为 4 的等边三角形，点 、 、 在同一条直线上，ABCDEBCE连接 ，则 的长为（ ）A. B. C. D.3233434、如图，ABC 中， C=90，AC =3，点 P 是边 BC 上的动点，则 AP 长不可能是( )A2.5 B3 C4 D5 5、已知，在ABC 中，A= 45，AC = ，AB= +1，则边 BC
13、的长为 2 3考点 3：利用勾股定理作线段6、如图是由 4 个边长为 1 的正方形构成的“田字格” 只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为 的线段_条.5考点 4：勾股定理的简单应用7、假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往东走 8 千米， 又往北走 2 千米，遇到障碍后又往西走了 3 千米，再折向北走了 6 千米处往东一拐，仅走了 1 千米就找到宝藏，问登陆点 A 到宝藏埋藏点 B 的距离是多少千米？课后作业练习一、填空题：1在ABC 中，C=90（1）已知 a=24，b=32，则 c=_ （2）已知 c=17，b=15，则ABC 面积等于_ （
14、3）已知A=45，c=18，则 a2=_2直角三角形三边是连续偶数，则这三角形的各边分别为_来源:学优高考网 gkstk3ABC 的周长为 40cm，C=90，BC：AC=15：8，则它的斜边长为_4直角三角形的两直角边之和为 14，斜边为 10，则它的斜边上的高为_，两直角边分别为_二、选择题5在 RtABC 中，已知其两直角边长 a=1，b=3，那么斜边 c 的长为（ ） A2 B4 C2 D 106直角三角形的两直角边分别为 5cm，12cm，其中斜边上的高为（ ） A6cm B5cm C cm36.113cm7如图所示，ABC 中，CDAB 于 D，若 AD=2BD，AC=5，BC=4
15、，则 BD 的长为（ ） A B C1 D528如图，长方形 ABCD 中，AB=4，BC=3，将其沿直线 MN 折叠，使点 C 与点 A 重合，则 CN的长为（ ） A B C D725827154三、解答题9如图，每个小正方形的边长是 1，在图中画出一个面积是 2 的直角三角形；一个面积是 2 的正方形.10如图，等腰三角形 ABC 的腰为 10，底边上的高为 8（1）求底边 BC 的长；（2） SABC11在图中，BC 长为 3 厘米，AB 长为 4 厘米，AF 长为 12 厘米，求正方形 CDEF的面积12如图所示，为得到湖两岸 A 点和 B 点间的距离，一个观测者在 C 点设桩，使A
16、BC 为直角三角形，并测得 AC 长 20 米，BC 长 16 米，A、B 两点间距离是多少？四、探究题13小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为 48m2，其对角线长为 10m，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？14如图所示，长方形纸片 ABCD 的长 AD=9cm，宽 AB=3cm，将其折叠，使点 D 与点 B 重合求：（1）折叠后 DE 的长； （2）以折痕 EF 为边的正方形面积CDCBAFEDCBA15、铁路上 A、 B 两站（视为直线上两点）相距 25 km， C、 D 两村庄（视为两个点） DA AB于 A， CB AB 于 B，已知 DA15 km
17、， CB10 km，现在要在铁路上建一个土特产收购站 E使得 C、 D 两村到 E 站的距离相等，则 E 站应建在距 A 站多少千米处？16、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，ACB=90，AC=80米，BC=60 米，若线段 CD 是一条小渠，且 D 点在边 AB 上，已知水渠的造价为 10 元/米，问 D 点在距 A 点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？17、如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为 1 的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形.（1）直接写出单位正三角形的高与面积.（2）图中的平行四边形 ABCD 含有多少个单位正
18、三角形？平行四边形 ABCD 的面积是多少？（3）求出图中线段 AC 的长（可作辅助线）.（4）求出图中四边形 EFGH 的面积.14.1.1 对应练习答案：1.提示：（1） ；（2） .答案：（1）c=5；（2）b=8.cab2a2.答案：B.3.答案：84.解：延长 BC 交 AD 的延长线于 E，则ABE 和CDE 均为直角三角形.因为A=60，所以E=30.又 ，CD=1 ，所以 AE=2AB=4，CE=2CD=2，由勾股定理得2AB， ，所以32CDE322ABB.EABABSS四 边 形 1315.答案：（1） （ ） 2+1=n+1，S n= ；（2）OA 10= n 50;(3
19、)4课堂练习作业参考答案：1、答案：C 2、答案：B3、答案：D 4、答案：A 5、答案：26、答案：87、答案：10参考答案：一、1 （1）4 （2）60 （3）162 26 8 10 317cm 44.8 6 和 8 二、5D 6D 7A 8B 三、9提示：面积是 2 的直角三角形，两条直角边分别是 1 和 4，或 2 和 2；面积是 2 的正方形边长是 .答案：10答案：因为 AD BC 于 D所以在 Rt ABD 中，由勾股定理可得 AD2 BD2 AB2 ，即 BD21006436 所以 BD6，所以 BC BD212 (等腰三角形，底边上的高平分底边即“三线合一”)， SABC B
20、CAD 12848（平方单位）.121211169 厘米 2 1212 米 四、13解：矩形相邻两边分别为 am， bm，根据题意可得： ，( a+b)221048ab2=a2+b2+2ab=196，即 a+b=14，则矩形周长为 28 米.14提示：设 DE 长为 xcm，则 AE=（9-x）cm，BE=xcm，那么在 RtABE 中，A=90，x 2-（9-x） 2=32，故（x+9-x） （x-9+x）=9，即 2x=10，那么 x=5，即 DE 长为 5cm，连 BD即 BD 与 EF互相垂直平分，即可求得：EF 2=12cm2，以 EF 为边的正方形面积为 144cm215、答案：如
21、图，若设 AE x，则 BE25 x因为 DA AB 于 A， 在 Rt ADE 中，由勾股定理得AD2 AE2 DE2，因为 CB AB 于 B， 所以在 Rt ECB 中 EB2 BC2 CE2，因为 DE CE 所以DE2 CE2，所以 AD2 AE2 EB2 BC2 所以 152 x2(25 x)210 2 x10.答： E 站应建在距 A 站 10 km 处.16、当 CD 为斜边上的高时，CD 最短，从而水渠造价最价， CDAB=ACBC CD=48 米，AD= =64 米. 所以，D 点在距 A 点 64 米BCA 22480CD的地方，水渠的造价最低，其最低造价为 480 元17、解：（1）单位正三角形的高为 ，面积是 .234321（2）由图可直接得出平行四边形 ABCD 含有 24 个单位正三角形，因此其面积为24= .436（3）过 A 作 AKBC 于点 K（如图所示），则在 RtACK 中，故 .251,23CK 132KCA（4）过点 G、H、E、F 作矩形 MNPQ（如图）.，四边形 MNPQ 的面积= .1,6NPMN 2， ；839231EFS 8352FNGS， .四边形 EFGH 的面积=GPH 41EQH.3423815392
