1、 第 1 章 解三角形1.1 正弦定理、余弦定理重难点：理解正、余弦定理的证明，并能解决一些简单的三角形度量问题考纲要求：掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题经典例题：半径为 R 的圆外接于ABC，且 2R(sin2A-sin2C)( a-b)sinB3(1)求角 C；(2)求ABC 面积的最大值当堂练习：1在ABC 中，已知 a=5 , c=10, A=30, 则B= ( )2(A) 105 (B) 60 (C) 15 (D) 105或 152在ABC 中，若 a=2, b=2 , c= + ,则A 的度数是 ( )2 6 2(A) 30 (B) 45 (C) 60 (D
2、) 753在ABC 中，已知三边 a、b、c 满足(a+b+c)(a+bc)=3ab, 则C=( )(A) 15 (B) 30 (C) 45 (D) 604边长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和为 ( )(A) 90 (B) 120 (C) 135 (D) 1505在ABC 中，A=60, a= , b=4, 那么满足条件的ABC ( )6(A) 有 一个解 (B) 有两个解 (C) 无解 (D)不能确定6在平行四边形 ABCD 中，AC= BD, 那么锐角 A 的最大值为 ( )3(A) 30 (B) 45 (C) 60 (D) 757. 在ABC 中，若 = = ，则ABC 的形
3、状是 ( )cos2aAbBcos2C(A) 等腰三角形 (B) 等边三角形 (C) 直角三角形 (D) 等腰直角三角形8如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定9在ABC 中，若 a=50，b=25 , A=45则 B= .610若平行四边形两条邻边的长度分别是 4 cm 和 4 cm，它们的夹角是 45，则这个6 3平行四边形的两条对角线的长度分别为 .11.在等腰三角形 ABC 中，已知 sinAsinB=12，底边 BC=10，则ABC 的周长是 。12在ABC 中，若B=
4、30, AB=2 , AC=2, 则ABC 的面积是 .313在锐角三角形中，边 a、b 是方程 x22 x+2=0 的两根，角 A、B 满足 2sin(A+B)3=0，求角 C 的度数，边 c 的长度及ABC 的面积。314在ABC 中，已知边 c=10, 又知 = = ，求 a、b 及ABC 的内切圆的半径。cosAcosBba4315已知在四边形 ABCD 中，BCa，DC=2a，四个角 A、B、C、D 度数的比为37410，求 AB 的长。16在ABC 中，已知角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，边 c= ，且72tanA+tanB= tanAtanB ，又ABC 的面积为 S
5、ABC = ，求 a+b 的值。3 33 32必修 5 第 1 章 解三角形1.2 正弦定理、余弦定理及其应用考纲要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题1. 有一长为 1 公里的斜坡，它的倾斜角为 20，现要将倾斜角改为 10，则坡底要伸长（ ）A. 1 公里 B. sin10公里 C. cos10公里 D. cos20公里2. 已知三角形的三边长分别为 x2+x+1,x21 和 2x+1(x1)，则最大角为 （ ）A. 150 B. 120 C. 60 D. 753在ABC 中， ，那么ABC 一定是 （ ）ABAsintasintaA锐角三角形
6、B直角三角形C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形4在ABC 中，一定成立的等式是 ( )A.asinA=bsinB B.acosA=bcosB C.asinB=bsinA D.acosB=bcosA5在ABC 中，A 为锐角，lgb+lg( )=lgsinA=lg , 则ABC 为 （ ）c12A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形6在ABC 中， ，则ABC 的面积为 （ ）70,5sin2,0si4CbaA. B. C. D. 1811217若 则ABC 为 （ ）cCbBaAosinA等边三角形 B等腰三角形C有一个内角为 30的直角三角形 D有一个
7、内角为 30的等腰三角形8边长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和的 （ ）A. 90 B. 120 C. 135 D. 1509在ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （ ）Ab = 10，A = 45，B = 70 Ba = 60，c = 48，B = 100Ca = 7，b = 5，A = 80 Da = 14，b = 16，A = 4510在三角形 ABC 中,已知 A ,b=1,其面积为 ,则 为 ( )603sinsinabcA. B. C. D. 32392639211某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车
8、与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离 与第二辆车与1d第三辆车的距离 之间的关系为 （ 2d） A. B. 121dC. D. 不能确定大小212在 200 米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30、60，则塔高为（ ） A. 米 B. 米340 340C. 200 米 D. 200 米13. 在ABC 中，若 ， ， ，则 210c6C2aA14. 在ABC 中，B=135 0，C=15 0，a=5，则此三角形的最大边长为 .15. 在锐角ABC 中，已知 ，则的 取值范围是 BA2ba16. 在ABC 中，已知 AB=4，AC=7，BC 边的中线 ，那么 BC= .7
9、2AD17. 已知锐角三角形的三边长分别为 2、3、 ，则 的取值范围是 x18. 在ABC 中，已知 ， ，则其最长边与最短边的比为 1tan1tan19为了测量上海东方明珠的高度，某人站在 A 处测得塔尖的仰角为 ，前进 38.5m 后，75.到达 B 处测得塔尖的仰角为 .试计算东方明珠塔的高度（精确到 1m）.8020在 中，已知 ，判定 的形ABC )sin()()sin()( 22 BAbaBAba C状21.在ABC 中，最大角 A 为最小角 C 的 2 倍 ，且三边 a、b、c 为三个连续整数，求a、b、c 的值.22.在ABC 中，若 ，试求 的值22910abctan()t
10、ABC23 如图，已知 的半径为 1，点 C 在直径 AB 的延长线上，BC1，点 P 是 上半圆OA OA上的一个动点，以 PC 为边作正三角形 PCD，且点 D与圆心分别在 PC 两侧.（1）若 ，试将四边形 OPDC 的面积PBy 表示成 的函数；（2）求四边形 OPDC 面积的最大值.第 1 章 解三角形1.1 正弦定理、余弦定理经典例题：解：(1) RCcBbAa2sinisin 2R(sin 2A-sin2C)( ab)sinBRcCA,)2(,)2(sin 3 2R( )2-( )2( a-b) a 2-c2 ab-b2Ra33 cosC ， C302bc(2) S absinC
11、 2RsinA2RsinBsinCR 2sinAsinB12- cos(AB)-cos(A-B) cos(A-B)cosC2R2 cos(A-B) 当 cos(A-B)1 时，S 有最大23值 ，24)1(RR当堂练习：1.D; 2.A; 3.D; 4.B; 5.C; 6.C; 7.B; 8.A; 9. 60或 120; 10. 4 cm 和 4 cm; 15 311.50; 12. 2 或 ; 3 313、解：由 2sin(A+B) =0，得 sin(A+B)= , ABC 为锐角三角形332A+B=120, C=60, 又a、b 是方程 x22 x+2=0 的两根，a+b=2 ,3 3ab
12、=2, c 2=a2+b22abcosC=(a+b) 23ab=126=6, c= , SABC = absinC= 2 = .612 12 32 3214解：由 = ， = ,可得 = ，变形为 sinAcosA=sinBcosBcosAcosBba sinBsinAba cosAcosBsinBsinAsin2A=sin2B, 又ab, 2A=2B, A+B= . ABC 为直角三角形.由 a2+b2=102和 = ，解得 a=6, b=8, 内切圆的半径为 r= = =2ba43 a+b-c2 6+8-10215、解：设四个角 A、B、C、D 的度数分别为 3x、7x、4x、10x，根据
13、四边形的内角和有3x+7x+4x+10x=360.解得 x=15 A=45, B=105, C=60, D=150连结 BD，得两个三角形BCD 和ABD在BCD 中，由余弦定理得BD2=BC2+DC22BCDCcosC=a 2+4a22a2a =3a2,12BD= a.这时 DC2=BD2+BC2，可得BCD 是以 DC 为斜边的直角三角形.CDB=30, 于3是ADB=120在ABD 中，由正弦定理有 AB= sinBDA3sin12045a32a32aAB 的长为16、解：由 tanA+tanB= tanAtanB 可得 ，即 tan(A+B)3 3 tant1AB3= 3tan(C)=
14、 , tanC= , tanC= C(0, ), C=3 3 3 又ABC 的面积为 SABC = ， absinC= 即 ab = , ab=63 32 12 3 32 12 32 3 32又由余弦定理可得 c2=a2+b22abcosC( )2= a2+b22abcos ( )2= a2+b2ab=(a+b)72 7223ab(a+b) 2= , a+b0, a+b=1214 112又 ，解之 m=2 或 m=,0812cosin43,)(62m182)43(m.910而 2 和 不满足上式. 故这样的 m 不存在.9101.2 正弦定理、余弦定理及其应用1.A; 2.B; 3.D; 4.C; 5.D; 6.C; 7.B; 8.B; 9.D; 10.B; 11.C; 12.A; 13 14 15 169 17 1845522,3(5,13)5:319.468m 20.等腰三角形或直角三角形 21.a6，b5，c422. 23. (1) (2)259sin3os534
