1、第 28 课时 对数函数性质的运用【学习目标】1能根据对数函数的性质解决有关函数单调性、奇偶性的讨论问题；2能运用对数函数的概念和性质解决有关实际问题【课前导学】1.对数函数 有哪些性质？（完成下表）xyalog0,1对数函数的图象与性质a1 0a1图象xyal)( （0a1）xyalog（1 ）定义域为 ；），（ 0（2 ）值域为 R；（3 ）图象过点（1，0 ） ；性质 （4 ）在 是单调增函数），（ 在 是单调减函数），（ 02求下列函数的定义域值域： 12xy )52(logxy )54(log231la)10(a解：要使函数有意义，必须有：即： ，0421x 1212xx ， ， 从
2、而 ，012 ， ， .21x 412x0y定义域为-1,1，值域为 , 对一切实数都恒成立，4)1(522xx函数定义域为 R，从而 ，即函数值域为24log)5log2x ),2要使函数有意义，必须有：，5105405422 xxx由 ， 在此区间内 ，19)4(ma2 92x从而 即：值域为 ，log)54(log3131 2y定义域为-1,5，值域为 ),2要使函数有意义，必须有： )2(0)(log12xa由： ，01x由： 时 则须 ，a12xR综合得 当 时 ，01x4)(max24102x ， ，1log)(log2aalogay定义域为(-1,0)，值域为 )4l，a【课堂活
3、动】一建构数学：1.函数 y=log 的单调增区间是 ，单调减区间是 )3(12x1,1,3（若将底数改为 时，分别指出其单调区间）.2. 函数 f(x)=log -ax+3a)在2，+ 上是单调减函数，则 a 的取值范围是 .21(x解：由题意可知： ，可得 .40a4a【总结】复合函数单调性法则“同增异减” ，此类问题要注意优先考虑函数的定义域.二应用数学：例 1 （1 ）设 loga 1，则实数 a 的取值范围是 ；23（2 ）三个数 60.7，0.7 6，log 0.76 的大小顺序是 .解：（1）由 loga 1 log aa 得23(1)当 0a 1 时，由 ylog ax 是减函
4、数，得：0 a ；23(2)当 a 1 时，由 ylog ax 是增函数，得：a ，a1；23综合（1）(2) 得：0a 或 a1.23（2）由于 60.71 ，00.7 6 1，log 0.760 log0.760.7 66 0.7.例 2 设 0x1，a0 且 a1 ，试比较|log a(1x )|与|log a(1+x)|的大小.解法一：作差法|loga(1 x)|log a(1+x)| | |lg（ 1 x）lga lg（ 1+x）lga (|lg(1x )|lg(1+ x)|)，1|lga|0 x 1，01x 11+ x，上式 （lg(1x)+lg(1+x) lg(1x 2) ，1|
5、lga| 1|lga|由 0x1 ，得 lg(1x 2)0， lg(1x 2)0，1|lga|log a(1x)| |loga(1+x)| .解法二：作商法|log (1x )(1+x)|，lg(1+x)lg(1 x)0 x 1， 01x1+x，|log (1x )(1+x)|log (1x) (1+x)log (1x) ，11 x由 0x1 ， 1+ x1，0 1x 21，0 (1x)(1+x )1 ， 1x 0，11 x0 log(1x ) log (1x) (1x )1，11 x|log a(1x)| |loga(1x)| .解法三：平方后比较大小log a2（1 x ）log a2(1
6、x )log a(1x )log a(1x )loga（1 x）log a(1x )log a(1x 2)loga lg(1x 2)lg ，1 x1 x 1|lg2a| 1 x1 x0 x 1，01x 21，0 1 ，1 x1 xlg(1x 2)0，lg 0 ，1 x1 xlog a2(1x) log a2(1+x)，即|log a(1x)| |loga(1+x)| .解法四：分类讨论去掉绝对值当 a1 时，|log a（1x ）|log a(1+x)|log a(1x)log a(1+x)log a(1x 2)，0 1 x11+x，01x 21，log a(1x 2)0， log a(1x
7、2)0；当 0a1 时，由 0x 1，则有 loga（1 x）0 ，log a(1+x)0，|log a(1x)| |loga(1+x)|log a(1x )+loga(1+x)|log a(1x 2)0，当 a 0 且 a1 时，总有|log a（1x ）|log a(1+x)| .例 3 已知函数 f(x)lg（a 21）x 2(a1)x1 ，若 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围.解：依题意(a 21) x2(a1)x 10 对一切 xR 恒成立.当 a21 0 时，原命题等价于， 解得 a1 或 a ；a2 1 0 （ a 1） 2 4（ a2 1） 0) 53又 a 1，
8、f(x) 0 满足题意，a1 不合题意.所以 a 的取值范围是：（，1 （ ，+）.53例 4 已知 f(x)1log x3，g(x)2log x2，比较 f(x)与 g(x)的大小.解：易知 f(x) g(x)的定义域均是：（0，1 ）（1，+） ，f(x) g(x)1log x32log x2 logx( x) .34当 x1 时，若 x1，则 x ，这时 f(x)g( x)；34 43若 x1，则 1x ，这时 f(x)g( x) .34 43当 0x1 时，0 x1 ，log x x0，这时 f(x)g(x ) .34 34故由（1） （2 ）可知：当 x(0，1)（ ，+）时，f(x
9、)g( x)；43当 x（1，）时， f(x)g(x ) .43例 5 讨论函数 y=loga(ax1)的单调性，其中 a0 ，且 a1解：由对数函数性质，知 ax1 0，即 ax1 ，于是，当 0a1 时，函数的定义域为(，0)，当 a1 时，定义域为 (0，) 当 0a1 时， ua x1 在( ，0) 上是减函数，而 y=logau 也是减函数，y=log a(ax1)在(，0) 上是增函数当 a1 时，u a x1 在(0 ，)上是增函数，而 y=logau 也是增函数，ylog a(ax1) 在(0，)上是增函数综上所述，函数 y=loga(ax1)在其定义域上是增函数例 6 解方程
10、：2 (9x1 5) 4（3 x1 2 ） .4log2log解：原方程可化为(9x1 5) 4（3 x1 2 ），2log2log9 x1 54(3 x1 2) ， 即 9x1 4 3x1 +30，(3 x1 1)(3 x1 3)0 ， 3 x1 1 或 3x1 3，x1 或 x2， 经检验 x1 是增根，x2 是原方程的根 .例 7 解方程 log2（2 -x1 ） (2-x+12)2.1log解：原方程可化为：log2（2 -x1 ）(1)log 22（2 -x1）2 ，即：log 2(2-x1)log 2(2-x1)1 2 ，令 tlog 2(2-x 1)，则 t2t 2 0，解之得
11、t2 或 t1，log 2(2-x1)2 或 log2(2-x1) 1 ，解之得：x log2 或 x log23.54三理解数学：1比较 0.7 与 0.8 两值大小2log31l解：考查函数 y= x，2l21，函数 y= x 在（0，+）上是增函数，og又 0.71， 0.7 1=0；2l2l再考查函数 y= x，0 1，31log函数 y= x 在（0，+）上是减函数，l又 10.8， 0.8 1=0，31og31l 0.70 0.8， 0.7 0.82ll2og31l2已知下列不等式，比较正数 mn 的大小：（1） m n (2) m n 3log3l 3.0log3.0l(3) m
12、 n(0a1) (4) m n(a1) a aa解：（1）考查函数 y= x，3log31，函数 y= x 在（0，+）是增函数， m n，mn；3log3l(2)考查函数 y= x，3.0log00.31，函数 y= x 在（0，+）上是减函数，. m n，mn 3.0log3.0l(3)考查函数 y= x，0a1，函数 y= x 在（0，+）上是减函数，al m n，mnog(4)考查函数 y= x，a1，al函数 y= x 在（0，+）上是增函数， m n，mnalogal3已知函数 f(x)= ,则 ff( )的值是 2log03,x14194y= 在区间(-, )上是增函数，求实数
13、a 的取值范围.21log()xa2答案：a 的取值范围是 , .(1【课后提升】1判断函数 f（x）=ln （ 21xx）的奇偶性解： 12x 恒成立，故（x）的定义域为（ ，+） ，又f（x）=ln（ 2+x）=ln x21=ln 2)1(x=ln（ x）=f（x） ，f（x）为奇函数 .2（1）证明函数 f（x ）=log 2（x 2+1）在（0，+）上是增函数；（2）问：函数 f（x ）=log 2（x 2+1）在（，0）上是减函数还是增函数？【思路分析】此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法.（1）证明：任取 x1x 2（0，+）
14、 ，且 x1x 2，则 f（x 1）f（x 2）=log 2（x 12+1）log 2（x 22+1） ，0x 1x 2，x 12+1x 22+1.又y=log 2x 在（0，+ ）上是增函数，log 2（x 12+1）log 2（x 22+1） ，即 f（x 1）f（x 2）.函数 f（x）=log 2（x 2+1）在（0，+）上是增函数.（2）解：是减函数，证明可以仿照上述证明过程.【解后反思】用定义证明函数的单调性是研究单调性问题的重要方法.3 已知 f（log ax）= )1(2，其中 a0，且 a1.（1）求 f（x） ；（2）求证：f（x ）是奇函数；（3）求证：f（x ）在 R
15、上为增函数.【思路分析】利用换元法，可令 t=logax，求出 f（x） ，从而求出 f（x）.证明奇函数及增函数可运用定义.（1）解：设 t=logax，则 tR，x=a t（x0）.则 f（t）= )1(2t= 2（a ta t ）.（2）证明：f（x ）= 2（a x a x）= 12a（a xa x ）=f（x ） ，f（x）为奇函数 .（3）证明：设 x1x 2R，且 x1x 2，则 f（x 2）f （x 1）= 2a（a 2a ）（a a 1） = 1（a 2xa 1）+ a 1xa 2（a 2xa 1） = 2（a 2a 1） （1+ a 1a 2）.若 0a1，则 a210，a
16、 1xa 2，f（x 2）f（x 1）.y =f（x）在 R 上为增函数；若 a1，则 a210，a 1xa 2.f（x 2）f（x 1）.y =f（x）在 R 上为增函数.综上，a0，且 a1 时，y =f（x）是增函数.4求函数 y = log4 (7 + 6 x x2)的单调区间和值域.【思路分析】考虑函数的定义域，依据单调性的定义确定函数的单调区间，同时利用二次函数的基本理论求得函数的值域.解：由 7 + 6 x x20 ，得(x 7) (x + 1)0 ，解得1x 7.函数的定义域为x |1x 7.设 g (x) = 7 + 6x x2 = (x 3)2 + 16. 可知，x3 时
17、g (x)为增函数，x3 时，g (x)为减函数.因此，若1x 1x 23. 则 g (x1)g (x2)即 7 + 6x1 x127 + 6x2 x22，而 y = log4x 为增函数 . log4 (7 + 6 x1 x12)log 4 (7 + 6x2 x22)，即 y1y 2. 故函数 y = log4 (7 + 6x x2)的单调增区间为(1, 3)，同理可知函数 y = log4 (7 + 6x x2)的单调减区间为(3, 7).又 g (x) = (x 3)2 + 16 在( 1, 7)上的值域为 (0, 16 .所以函数 y = log4(7 + 6x x2)的值域为 (,
18、2 .【解后反思】我们应明白函数的单调区间必须使函数有意义. 因此求函数的单调区间时，必先求其定义域，然后在定义域内划分单调区间. 求函数最值与求函数的值域方法是相同的，应用函数的单调性是常用方法之一.5已知函数 y=loga（1a x） （a0，a1） ，（1）求函数的定义域与值域；（2）求函数的单调区间 【思路分析】有关于对数函数的定义域要注意真数大于 0；函数的值域取决于 1a x的范围，可应用换元法，令 t=1a x以减小思维难度；运用复合函数单调性的判定法求单调区间；函数图象关于 y=x 对称等价于原函数的反函数就是自身，本题要注意对字母参数 a 的范围讨论.解：（1）1a x0，即 ax 1，a1 时，定义域为（，0） ；0a1 时，定义域为（0，+）.令 t=1a x，则 0t1，而 y=loga（1a x）=log at.a1 时，值域为（，0） ；0a1 时，值域为（0，+）.（2）a1 时，t=1a x在（，0）上单调递减，y=log at 关于 t 单调递增，y=log a（1a x）在（，0）上单调递减.0a1 时，t=1a x在（0，+）上单调递增，而 y=logat 关于 t 单调递减，y=log a（1a x）在（0，+）上单调递减.
