1、一、导数与函数的交汇例 1 （2006 年山东卷）设函数 ,其中 ,求 的单()(1)lnfxax1a()fx调区间.解析：由已知得函数 的定义域为 ，且 （ ）()f,/()f（1）当 时， ，函数 在 上单调递减.0a/0x()fx1,（2）当 时， 由，解得 . 、 .随 的变化情况如下表:来源:学优高考网 GkStK/()fa/()fxx1,a ,a/()f 0x极小值从上表可知当 时， ，函数 在 上单调递减.1,xa/()0fx()fx1,a当 时， 函数 在 上单调递增.,/()f()f,综上所述:当 时，函数 在 上单调递减.10a()fx1,当 时，函数 在 上单调递减, 函
2、数 在 上单调递增.fa()fx1,a【评注】利用导数研究含参函数的单调性一直是高考的重点和热点,常考常新.主要有:根据对参数的讨论来确定函数的单调性;已知含参函数的单调性来求对应参数的取值范围.二、导数与数列的交汇例 2 （2006 年江苏卷）对正整数 ，设曲线 在 处的切线与 轴n1nyx2xy交点的纵坐标为 ，则数列 的前 项和的公式是 na1a解析： 曲线 在 处的切线的斜率为/1,nyxx1nyx2x又因为切点为 ，所以切线方程为 ，令12.nnk(2) (2).nykx得 ,令 .数列 的前 项和为0x(1)2.nna21nab1na23 12.nn【评注】本题考查应用导数求曲线切
3、线的斜率,数列通项公式以及等比数列的前项和的公式,应用导数求曲线切线的斜率时,要首先判断所经过的点是否为切点.否则容易出错.三、导数与三角的交汇例 3 （2005 年湖北）若 ，则 与 的大小关系 （ ）02xx3sinA B C D与 的取值有关2sinx3sinx解析：令 ,由 ，在2f/f/(i)23cos上的正负可知与 的取值有关。0,2xx故答案应选 D.例 4 （2005 年全国 1）设函数 ， 图象的一条对sin(2),0fx()yfx称轴是直线 .8x（1）求 ;（2）求函数 的单调区间()yfx（3）证明直线 与函数 的图象不相切.50xc()yfx解析：（1） 是函数 的图
4、象的对称轴,.8sin(2)1.83, .424kz （2）由（1）知 因此3,4sin2.yx由题意可得 .2,kxkz所以函数 的单调增区间为3sin.4y 5,.8kz（3）证明:/ 3i22cos2.4xx曲线 的切线斜率的取值范围为 .而直线 的斜率为 , ()yfx,50yc52直线 与函数 的图象不相切.520c()yfx【评注】 （1）例 3 若直接比较 与 的大小关系,则比较麻烦.而采用构造函数2x3sin,对函数进行求导,判断函数在所给区间的单调性,利用函数的单调性进行比较两个代数式,有事半功倍之效. （2）例 4.的第 3 小题利用导数的几何意义来证明直线 与函520xy
5、c数 的图象不相切.起到化繁为简的作用.()yfx四、导数与向量、方程的交汇例 5 （2001 年天津高考模拟试题）已知平面向量 ，13(3,)(,)2ab（1）证明 ;ab（2）若存在不同时为零的实数和，使 ，且 ，试求2(3);xatbykatbxy函数关系式 kft（3）据（2）的结论，议论关于 的方程 的解的情况。t0ftk解析：（1） 133().2abab（2） 即,0.xy()0.tbkt整理得 2 2233.katat上式化为0,4,1.bb240,kt21.kt（3）讨论方程 的解的情况，可以看作曲线 与直线23.04tk213.4ftt的交点个数。于是 ，yk/231.4f
6、tt令 解得 ，当 变化时， 的变化情况如下表： 来源:高考试题库 GkStK/0ft1,t /f来源:,GkStK.Com,1,/ft00极大值 1.2极小值 1.2来源:学优高考网 GkStK当 时， 有极大值，极大值为1tft1.2当 时， 有极小值，极小值为 而 时，得23.04ftt3,0.t所以 的图象大致如图所示：于是当 或 时，直线 与曲线 仅有一个交点，则方程有一解；12kykyft当 或 时，直线 与曲线 有两个交点，则方程有两解；当 时，直线 与曲线 有三个交点，但不同时为零，故此时方程也有两0kykyft解；当 或 时，直线 与曲线 有三个交点，则方程有三个解；1212
7、kyft【评注】本题考查了平面向量的数量积、导数的运算、函数和方程有关知识，同时又运用了转化化归思想，逻辑性强，是一道典型的融向量、导数、函数、方程为一体的综合性题目，符合高考在知识交汇处设计试题的原则。五、导数与不等式的交汇例 6.（2006 年四川）已知函数 , 的导函数是2()lnfxax0()fx,对任意两个不相等的正数 ,证明:/()fx12（1）当 时,0a12.fxfxf（2）当 时,4/1212.ff解析:（1）略.（2）证法一:由 ,得2()lnfxax/ 2(),afx 12/121212212 12. .xafxf x/1212.ffx2121.xax下面证明对任意两个不
8、相等的正数 ,有 恒成立,122121.ty122即证 成立.来源:GkStK.Com1212xa121212124,xx设 ,则,tutt/24.utt令 ，得 ，列表如下：/03t,233,/ut0极大值 343()4108.ut a1212.xa对任意两个不相等的正数 ,当 时,12x4/1212.ffx证法二:由 ,得2()lnfxa/ 2(),fx 12/121212212 12. .xaaff xxx 是两个不相等的正数12,x212()ax32124ax32124.x设 ，则 ，列表：312,()tutt0t/()uttt0,3232,3/ut0极大值 827即381,27u12
9、2()1.xax对任意两个不相等的正数 ,当 时,14/1212.fxfx【评注】本题是利用导数求函数的极值及运用比较法、放缩法证明不等式的综合问题，考查学生推理能力、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。六、导数与解析几何的交汇例 7 （2004 年福建高考模拟试题）设函数 分别在 、 处取得32fxx1x2极小值和极大值， 平面上点 、 的坐标分别为 ， ，该平面xoyAB1,f,f上动点 满足 ，点 是点 关于直线 的对称点。P4BQP24yx（1）求点 、 的坐标；A（2）求动点 的轨迹。解析：（1） 令 得 或/23,fx/0fx1x当 时， ；当 时， ；当 时， .x/01/
10、0fx函数在 处取得极小值，在 处取得极大值；故当 时，12,4.ff点 、 坐标分别为AB10AB（2）设 ,PmnQxy则 21,414.nmn又 ,.22PQkx又 的中点在 上， 4y24yx由、消去 ，得 ，其中动点 的轨迹是以 为圆,mn289xQ8,2心，半径为 的圆。3【评注】本题以函数的导数与极值为载体，利用向量设计点的轨迹，借助对称建立相关点间的联系，是典型的解析几何中求轨迹的问题。七、导数与立体几何的交汇例 8 （2005 年全国 3）用长为 90 cm、宽为 48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 90 角，再焊接而成（如
11、图） ，问该容器0的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解析：设容器高为 cm，容器的容积为 cm ，则xVx332()902)(48)7640Vx24x求 的导数， /1516301()36.Vxx x令 ，得 （舍去）/()x2,3当 时， ，那么 为增函数；01/()0x()Vx当 时， ，那么 为减函数；24x/因此，在定义域 内，函数 只有当 时取得最大值，(,)()x10其最大值为 （m ）10V92048963答：当容器的高为 10 cm 时，容器的容积最大, 最大容积是 19600 m .【评注】本题是利用导数知识判断容积函数 的单调性及最值问题来解决以立体几()Vx何中的翻折问题为背景的长方体容积最值问题。这种利用导数知识解决立体几何问题，体现高考在知识网络交汇点设计创新型能力题的命题新趋势。高考试!题库
