1、集 合 学 习 的 八 项 注 意集合是中学数学中的最基本的概念之一，然而由于其知识新、符号多、信息量大，初学者往往顾此失彼本文总结了集合学习中的八项注意，希望能够帮助同学们进一步理解集合的概念，从本质上把握集合的内涵，少走弯路、提高学习效率1注意集合的“三性”集合的“三性”指的是：确定性、互异性、无序性，它们是集合的最基本特征要注意弄清它们的含义，才能在解题时正确运用例 1 以方程 2560x和方程 20x的解为元素构成集合 M，则 中元素的个数为（ ）A1 B2 C3 D4解析：对于涉及集合元素的问题，首先应想到其确定性、互异性、无序性由集合元素的互异性可知，两个相同的对象中能算作集合中的
2、一个元素方程 2560x的解为 123x， ；方程 20x的解为 12x， ，所以 13M， ， ，故选（） 例 2 已知集合 A=a，a+b，a+2b，B=a，ac，ac 2，若 A=B，求实数 c 的值分析：集合 A=B，说明 A，B 中元素相同但顺序可以不同，因此要分两种情况讨论解：（1）若 ,022acacba=0 或 c=1当 a=0 时，集合 B 中三元素都是 0，舍去；当 c=1 时，集合 B 中三元素也都相同，舍去（2）若 2acacba0，2c2-c-1=0，(c-1)(2c-1)=0又c1，c= 21经检验，符合题意综上，c= 2注意 0，0，的关系数 0 是元素，0是含一
3、个元素 0 的集合， 是不含任何元素的集合，是以 作为元素的集合要注意它们的区别与联系例 3 下列关系错误的是（ ）A B 00 C 0 D 0 解：A、B、D 均正确，C 是错误的3注意空集的特殊性高考试题库 w.w.gkstk空集是不含有任何元素的集合，它是一种非常特殊的集合我们要注意“空集是任何集合的子集”这一重要结论的运用例 4 设集合 A=x|-2x5，B=x|m+1x2m-1，若 BA，求实数 m 的取值范围误解：依题意，B A， 512m 3即 3m剖析：以上解法忽视了 B= 的情形，此时 m+12m-1，m2，也符合 BA因此所求实数 m 的范围应为 m2 或 2m3，即 m3
4、例 5 已知 A=x|x2-3x+2=0，B=x|ax-2=0，并且 AB=A，求实数 a 组成的集合 C分析：因为 AB=A AB，可据此求 a 的值，但要注意 B= 的情形解：（1）当 a=0 时，B= 符合题意；（2）当 a0 时，B= a2，而 A=1，2，AB=A =1 或 a2=2 ，a=2 或 a=1综上，C=0，1，2 4注意符号“”与“ ”的区别高考试题库 w.w.gkstk符号“”用在元素和集合间表示从属关系；符号“ ”用在两集合间表示包含关系特别需要指出的是， “a，bA”与“a，b A”之间既有区别又有联系例 6 设 M=xR|x 10，a=3，则下列关系正确的是（ ）
5、A aM B a M C aM D a M解：a 是元素，a与 M 是集合，由于 3 10，故选（D） 例 7（1）若 a，b3，4，5，则函数 f(x)=ax2+bx 有多少条不同的对称轴？（2）若a，b 3，4，5，则函数 f(x)=ax2+bx 有多少条不同的对称轴？分析：二次函数图象的对称轴为 x=- ab2 ，故只要研究有多少个不同的 ab的值即可，但要注意两小题的区别第（1）小题中 a，b3，4，5，当 a，b 不同时有 6 个不同的ab的值，当 a，b 相同时 ab=1，因此共有 7 条不同的对称轴；第（2）小题中a，b3，4，5，说明 a，b 只能不相等，因此只有 6 条不同的
6、对称轴5注意数集与点集的区别高考试题库 w.w.gkstk容易出现两方面的错误一是书写上的错误，如把点集（2，3）误写为2，3或x=2，y=3等；二是理解上的错误，如把数集y|y=x 2+1，xR误为（x，y）|y=x2+1，xR或x|y=x 2+1，xR等例 8（1）已知 A=(x，y)|y=x 2-1，xR，B=(x，y)|y=7-x 2，xR， 则AB= _；（2）已知 A=y|y=x2-1，xR，B=y|y=7-x 2，xR ， 则 AB= _分析：解方程组 271y得， 3y或 ，曲线 y=x2-1 和 y=7-x2 的两交点为（-2，3）和（2，3） ，第（ 1）题中 A、B 为点
7、集，AB= （-2 ，3） ， （2，3）而第（2）题如果理解为 AB=3那就错了，因为 A、B 都表示数集，它们分别表示函数 y=x2-1，xR 和 y=7-x2，xR 的值域，从整体上把握，应该有 A=y|y-1 ，B=y|y 7，因此 AB=y|-1 y76注意求补集的前提全集在求补集时，不能忽略全集，因为同一集合在不同全集中补集是不相同的例 9 全集 U 是函数 7xy的定义域，A=x|x10，求 CUA 误解：C UA=x|x10剖析：误解将全集默认为实数集 R，显然不对其实 U=x|x7，故CUA=x|7x10注意选取集合的表示法当集合为有限集时，一般用列举法当集合为无限集时，一般
8、不采用列举法，因为不能将其一一列出，这时宜用描述法对于同一集合，有时既可用列举法又可用描述法，这时应择优选用例 10 已知集合 6|1CxZN，求集合 C解析：对于本题集合 中元素应是 ，而不是 x，满足的条件是 61xZ且xN， 1x ，又 6xZ， 1236， ， ， 6321， ， ，即 32C， ， ， 8注意用好容斥原理和 Venn 图高考试题库 w.w.gkstk与集合元素有关的计数问题牵涉因素较多，看上去错综复杂若能利用容斥原理和韦恩图，则可使问题具体化而顺利解决例 11 高一（1）班有 45 人其中有 30 人订阅了起跑线这种杂志，有 25 人订阅了数学专页这种报纸问这个班至少
9、有多少人这种杂志和这种报纸全订阅了？分析：集合 A 中元素的个数常记作 card(A)本题中设高一（1）班全体同学组成全集U，订阅了起跑线杂志的人组成集合 A，订阅了数学专页的人组成集合 B这样杂志和报纸都订阅的人就组成了 AB可借助容斥原理和韦恩图来解题解：依题意，card(A)=30，card(B)=25，而 card(U)=45，card(AB)30+25-45=10即至少有 10 人杂志和报纸都订阅了注：本题中 card(U)=45，card(AB)45根据容斥原理 card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)和韦恩图可得， 至少有 10 人杂志和报纸都订阅了注：容斥原理 card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)和韦恩图是解决“至多” 、“至少”问题的有力工具UA B高考试题库w.w.gkstk
