1、第一节 时域数学模型 微分方程,第二章 控制系统的数学模型,第一节 控制系统的时域数学模型,项 目,内 容,教 学 目 的,如何从实际的物理系统过渡到数学系统，理解物理系统、控制系统、数学系统三者的统一；如何建立控制系统的时域数学模型。,教 学 重 点,如何建立控制系统的时域数学模型。,教 学 难 点及 其 处 理,关于数学模型的一些基本概念。从简单到复杂，逐步分层次讲解。,数学模型的基本概念,数学、工程、控制三者的统一 中学时的函数概念：在电路的学习中对函数概念的理解：自动控制系统对函数概念的理解：,一 引 言,同样的x和y，在不同的课程学习中，思维方式发生了变化：中学时的函数是一个纯数学的
2、概念；在电路和控制系统中增加了人的因素。可以用数学的方法来解决工程中遇到的实际问题，可以通过机械工程控制基础课程把数学、机械工程、控制三者联系统一起来。,学习机械工程控制基础的思维方式： 数学的方法，机械工程的意识，控制的语言。,数学模型的定义：能够描述控制系统输出量和输入量数量关系的表达形式。,实际物理系统,理想化,物理模型,数学化,数学模型,线性化,线性数学模型,无量纲化,可用数学模型,标准化,标准数学模型,按输入输出的表达形式,数学模型的分类,微分方程（时间域） 传递函数（复数域） 动态结构图（各元件传函的连接关系） 响应曲线（step、pulse） 频率特性（bode图、nyquist
3、图、nichols图）,状态变量形式,分析法:是根据组成系统各元件工作过程中所遵循的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。对于系统结构已知的常用此法。 试验法:对于复杂系统，需要通过实验，并根据实验数据，拟合出比较接近实际系统的数学模型。,数学模型建立（建模）的方法,无论是用分析法还是用实验法建立模型，都存在模型精度和复杂性之间的矛盾。即描述系统运动特性的数学模型越精确，则方程的阶次越高，对系统的分析与设计越困难。所以，在控制工程上总是在满足分析精度要求的前提下，尽量使数学模型简单，为此在建立数学模型时常做许多假设和简化，最后得到的是有一定精
4、度的近似模型。这点与其他课程不同。,单输入单输出线性定常集中参数连续系统微分方程的一般形式为：,式中，c(t)是输出量；r(t)是输入量。为了所表示系统的可实现性，一般限定 。,微分方程的一般形式,二 时域数学模型-微分方程,建立系统(或元件)的微分方程的一般步骤,1、根据系统(或元件)的工作原理，确定其输入量和输出量； 2、按照系统中元件所遵循的科学规律(物理或化学定律等)，围绕输入量、输出量及有关中间量，列写原始方程式，构成微分方程组； 3、消去中间变量，得到只含有输出量和输入量及其各阶导数的微分方程； 4、标准化。,例1 对下图RC无源网络，列写以ui(t)为输入量，uo(t)为输出量的
5、网络微分方程式。,电气系统,(1)由KVL，得,又因为,(2)消去中间变量 i(t),(3)标准化,解：,例2 对两级RC无源网络，列写以ui(t)为输入量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。,对L1，由KVL得,对L2，由KVL得,列出各元件的输入变量和输出变量的关系式,R1：,R2：,C1：,C2：,解：,或,式中：,提醒注意 上题中如果把第一级电路的输出看作是第二级电路的输入，直接利用例1的结论，可列方程如下：,消去中间变量uc1(t)，得：,原因：后级电路的电流i2影响前级电路的输出电压uc1(t)。,负载效应,机械系统,弹簧质量阻尼器系统图2-1表示一个弹簧质量阻尼器系统。当外力f
6、 (t)作用时，系统产生位移y(t)，要求写出系统在外力f (t)作用下的运动方程式。f(t)是系统的输入，y(t)是系统的输出。列出的步骤如下：（1）运动部件质量用M表示.（2）列出原始方程式。根据牛顿第二定律，有：,图2-1 弹簧质量阻尼器系统,（3）f1(t)和f2(t)为中间变量，找出它们与其它因素的关系。阻尼器阻力与运动方向相反，与运动速度成正比，故有：,式中 f 1(t)阻尼器阻力；f 2(t)弹簧力。,(2.2),式中B 阻尼系数。设弹簧为线性弹簧，则有：,f2 (t) = K y(t) (2.3),式中 K 弹性系数。,(2.1),（4）将式(2.2)和式(2.3)代入式(2.
7、1)，得系统的微分方程式 : 式中M、B、K均为常数，此机械位移系统为线性定常系统。式(2.4)还可写成:,(2.4),(2.4a),则有 (2.4b),令,机械力学系统的数学模型：,相似系统便于用一个简单的系统去研究与其相似的复杂系统，也为控制系统计算机仿真提供了基础。,提醒注意 两级滤波电路网络的数学模型：,相似系统,例 图示为电枢控制式直流电机原理图，设 为电枢两端的控制电压， 为电机旋转角速度， 为折合到电机轴上的总的负载力矩。当激磁不变时，用电枢控制的情况下， 为给定输入， 为干扰输入， 为输出。系统中ed为电动机旋转时电枢两端的反电势； 为电动机的电枢电流； 为电动机的电磁力矩。,
8、机电系统微分方程：,(1) 输入变量为电压 ；输出变量为电机旋转角速度 ;中间变量 ;(2)根据克希荷夫定律，电机电枢回路的方程为 式中，L，R分别为电感与电阻。当磁通固定不变时， 与转速 成正比，即式中， 为反电势常数。这样（2.1.5）式为根据刚体的转动定律，电动机转子的运动方程为,(2.1.5),(2.1.6),(2.1.7),式中，J为转动部分折合到电动机轴上的总的转动惯量。当激磁磁通固定不变时，电动机的电磁力矩与电枢电流成正比。即式中，km为电动机电磁力矩常数 （3）消除中间变量 将（2.1.8）式代入（2.1.7）式得上式略去了与转速成正比的阻尼力矩。 应用（2.1.6）式和（2.
9、1.9）式消去中间变量ia，可得令 ，则上式为 式（2.1.11）即为电枢控制式直流电动机的数学模型。由式可见，转速既由ua控制，又受ML影响。,(2.1.8),(2.1.9),(2.1.10),(2.1.11),二微分方程的增量化表示,前面从数学角度讨论了系统的模型。下面是考虑工程实际进一步讨论模型。(1)电动机处于平衡状态，变量各阶导数为零，微分方程变为代数方程：此时，对应输入输出量可表示为： 则有这就是系统的稳态。,（2.1.12）,（2.1.13）,（2）系统的稳态并不能长期稳定，闭环控制系统的任务就是要系统工作在稳态。当输入量发生变化时，输出量相应变化，输入输出量可以记为：则式（2.
10、1.11）可记为：考虑到 ，上式可变为2.14 式的意义是：对于定值控制系统，总是工作在设定值即稳态或平衡点附近，将变量的坐标原点设在该平衡点，则微分方程转换为增量方程，它同样描述了系统的动态特性，但它由于不考虑初始条件，求解及分析时方便了许多。,(2.1.14),三非线性微分方程的线性化,某些非线性系统，可以在一定条件下，进行线性化。图2.1.3是一个液压伺服系统，下面通过它讨论线性化问题。,(1)输入变量为阀心位移x；输出变量为活塞位移y;中间变量(2)按照液压原理建立动力学方程负载动力学方程为流量连续性方程为 q与p一般为非线性关系,(2.1.15),(2.1.16),(2.1.17),
11、（3）线性化处理将(2.17)在工作点领域做泰勒展开，当偏差很小时，可略去展开式的高阶项，保留一次项，并取增量关系，有：式中则(2.18)可以写成 当系统在预定工作条件 ， ， 下工作 即分别为q,x,p,故（2.1.19）可以写为,(2.1.18),(2.1.19),(2.1.20),（4）消除中间变量由(2.20)可得整理后可得线性化后的动力学方程为：,(2.1.21),(2.1.22),图2.1.4 q,p,x三者线性关系,小偏差线性化时要注意以下几点：（1）必须明确系统工作点，因为不同的工作点所得线性化方程的系数不同。本题中参数在预定工作点的值均为零 （2）如果变量在较大范围内变化，则
12、用这种线性化方法建立的数学模型，在除工作点外的其它工况势必有较大的误差。所以非线性模型线性化是有条件的，即变量偏离预定工作点很小。（3）如果非线性函数是不连续的（即非线性特性是不连续的），则在不连续点附近不能得到收敛的泰勒级数，这时就不能线性化。（4）线性化后的微分方程是以增量为基础的增量方程。,建立系统(或元件)的微分方程的一般步骤,1、根据系统(或元件)的工作原理，确定其输入量和输出量； 2、按照系统中元件所遵循的科学规律(物理或化学定律等)，围绕输入量、输出量及有关中间量，列写原始方程式，构成微分方程组； 3、消去中间变量，得到只含有输出量和输入量及其各阶导数的微分方程； 4、标准化。,小结,非线性数学模型线性化,严格地说实际的物理元件都存在一定的非线性，例如：弹簧系数是位移的函数,并非常值。电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关电动机本身的摩擦、死区,在平衡状态点运用台劳级数展开为,小偏差线性化法P27 设连续变化的非线性函数,平衡状态A为工作点,具有两个自变量的非线性函数的线性化,增量线性方程,P28例题2-7,
