1、随机数学基础,授课教师:贾新刚,2,课程简介,一。考试情况 二。课堂纪律及考勤 三。作业及批改 四。往年大致情况 五。答疑具体安排 六。本门课简介,3,4,5,6,7,8,9,10,11,祖国灿烂的随机数学文明,一。神秘的八卦图,12,二。迷信的六十四卦铜钱课?,13,三。丰富的语言智慧,1。燕赵之地多慷慨悲歌之士。 2。三个臭皮匠,顶个诸葛亮。 3。帝王将相,宁有种乎?,14,四。抵御外族入侵选用的冷兵器,1。杨家将抵御契丹:杨家枪 2。岳家军抵御金:岳家枪 3。戚家军抵御倭寇:戚家刀 4。为什么是大刀向鬼子头上砍去?,15,第一章 随机事件及概率,随机事件 随机事件的概率 等可能概型 条件
2、概率 事件的独立性,16,1.1 随机事件,1.1.1 随机试验,随机现象:在一定条件下,事先不能断言会出 现哪种结果,这种现象称为随机现象。,例:抛一枚硬币,观察出现正面或反面的情 况。,17,(3)试验中一切可能出现的结果可以预先知 道。必然性(统计规律性),随机试验必需满足:,(1)在相同条件下,可以进行大量次重复试验。可重复性,(2)每次试验中可以出现不同的结果,而不 能预先知道发生哪种结果。偶然性,随机试验一般用字母E表示。,18,例1 E1:掷一枚硬币,观察其正面(H)和反面(T)出现的情况。试验的条件是掷一枚硬币,条件实现(一枚硬币掷出)就完成一次试验。,例2 E2:将一枚硬币掷
3、2次,观察正、反面出现的情况。试验的条件就是把硬币掷2次,条件实现(硬币掷了2次)就完成一次试验。,19,例3 E3:从含有2个黑球 和3个白球 的盒子中任意的取出3个球,观察取出的球;条件实现(从5个球中取出3个)就完成试验。,例4 E4:把2个球a和b任意的放入3个盒子中(每个盒子可以放任意多个球),观察球在盒子中的放法。,20,例5 E5:记录某网站在1分钟内的点击次数。,例6 E6:观察某厂生产的灯泡的使用寿命t。,21,随机事件:一个随机试验E中可能发生也可能 不发生的事件称为该试验的随机事件(简称 事件)通常用字母A、B、C等表示。,基本事件:试验E的每一可能的结果叫做基本 事件
4、,一般用表示。,样本空间:基本事件的全体组成的集合称为 该试验的样本空间。,1.1.2 随机事件,22,必然事件:每次试验中必然发生的事件称为 必然事件,记为。,不可能事件:每次试验中不可能发生的事件 称为不可能事件,记为。,(1)样本空间的构成是由试验的条 件和观察的目的所决定。,注意,23,(2)基本事件是事件的一种,一般的事件是 由若干个基本事件共同组成的,因而是样本空 间的子集,通常又称其为复合事件。,(3)随机事件的另一个定义:样本空间的某个子集。事件A发生当且仅当试验中出现A的某个基本事件。,24,1.1.3 事件之间的关系及其运算,定义:若事件A发生必导致事件B发生,则称 事件B
5、包含事件A。记为:B A或A B。,(1)事件的包含关系,结论:若事件A B且A B,则称事件A和事 件B相等,记为AB。即:事件A、B所包含 的基本事件是一样的。,25,定义:事件A,B至少有一个发生,称为事件A与B的和(或称为并),记为AB,(2)事件的并,26,定义:在一次试验中,若事件A、B不能同时发生,即AB,则称事件A、B是互不相容的事件。,结论:从基本事件说,互不相容事件就是没有公有的基本事件。显然,在一次试验中,两个基本事件不能同时发生,所以任何两个基本事件都是互不相容事件。,(5)事件的互不相容性,27,定义:若AB ,AB,则称A、B为相互对立的事件(简称互逆),事件A的逆
6、事件又可记为 。,(6)逆事件,28,交换律:ABBA,ABBA 结合律:(AB)CA(BC),(AB)CA(BC) 分配律:(AB)C(AC)(BC) ,(AB)C(AC)(BC),(7)事件的运算规律,德摩根公式:,29,例1、在一个口袋里装有红、黄、白三种球, 每种球都不止一个,一次任取两个球,观察 它们的颜色。设A两个同色球,B至少 一个红色球,问AB由哪些基本事件组成?,例2、设A、B、C为三个事件,试将下 列事件用A、B、C表示出来。 (1)三个事件都发生; (2)三个事件都不发生;,30,(3)三个事件至少有一个发生; (4)A发生,B、C不发生; (5)A、B都发生,C不发生;
7、 (6)三个事件中至少有两个发生; (7)不多于一个事件发生 ; (8)不多于两个事件发生。,31,1.2 随机事件的概率,1.2.1 事件的频率,定义:如果在n次重复随机试验中,事件A发 生了nA次,那么就称比值 fn(A)为事件A发生 的频率,其中 , nA称为A在这n次试验中发生的频数。,对任意随机试验E,频率具有性质:,32,33,1.2.2 概率的定义,(1)概率的统计定义,定义1:在同一组条件下所作的大量重复试验 中,如果事件A发生的频率总是在一个确定的 常数 p 附近摆动,并且逐渐稳定于p,那末 数 p 就表示事件A发生的可能性大小,并称 它为事件A的概率,记作 。,34,(2)
8、概率的公理化定义,定义2:设E是随机试验,是E的样本空间, 对于E的每一个事件A对应一个实数值,记为,称为事件A的概率,如果集合函数 满足下列条件:,35,(3)可列可加性: 是两两互不相容的事件,则有:,这3条也是概率的三个基本性质,此外概率 还有一些其他性质:,36,37,38,概率的加法公式可推广到有限个事件的并的 情形。如:,这个式子称为“多除少补原理”.,39,1.3 等可能概型,等可能概型(古典概型):如果一个随机试 验E具有如下的特征,则称为等可能概型。,(1)基本事件的全集是由有限个基本事件 组成的;,(2)每一个基本事件在一次试验中发生的可 能性是相同的。,40,定义:在古典
9、概型中,若样本空间包含的基 本事件总个数为n,其中事件A包含的基本事 件个数为k,则事件A的概率为,古典概型中概率的计算,41,例1、 甲,乙两人各出8元赌注,采用抛硬币作为赌博手段。正面向上甲得1分,反面朝上乙得1分,谁先达到预先规定的分数就获得全部的16元赌注。当甲差2分,乙差3分时他们不愿意再赌下去,请问如何公平的分配这16元赌注?,例2、 盒中有a个黑球,b个白球,从中分不放回和有放回的抽取n个球,求事件A:“刚好取到k个黑球”的概率。,42,例3、n个球随机放到N个盒子中,求下列事件发生的概率(1)A:某指定的n个盒子中每盒有1球;(2)B:任意的n个盒子每个盒子刚好有1个球;(3)
10、C:第一个盒子刚好有k个球。,43,例4、(抽签的公平性) 盒中有a个黑球,b个白球,把球随机地一只只取出(不放回),求事件A:“第k(1 k ab)次取到黑球”的概率。,例5、一盒中含有N1个黑球,一个白球,每 次从盒中随机地取一只球,并还入一只黑球, 这样继续下去,求事件A:“第k次取到黑球” 的概率。,44,解:显然,这是一个古典概型的问题,样本 空间的大小为 ;而要求概率的事件A所包 含的基本事件个数就不容易计算了,但可考 虑其逆事件,包含的基本事件数为:,45,例6、 从1,2,9中有放回的取n个数,求取到的n个数的乘积能被10整除的概率。,46,1.4 条件概率与乘法公式,1.4.
11、1 条件概率,在实际问题中,除了要知道事件A的概率 外,有时还要考虑在“已知事件B发生”的条件 下,事件A发生的概率。一般情况下,两者的 概率是不相等的,为了区别所见,我们把后者 称为条件概率,记为 :,47,例1、设10件产品中有2件次品,8件正品。现 每次从中任取一件产品,且取后不放回,试求 下列事件的概率。 (1)前两次均取到次品 (2)第一次、第二次取到次品 (3)已知第一次取到次品的条件下第二次也取到次品,48,定义:A,B两个事件,P(A)0,称,为A发生的条件下,事件B发生的条件概率。,如:,注意:(1)条件概率也是概率,所以,它满足概率的一切性质 。,49,(2)一般的,概率与
12、条件概率之间没有大小关系,但是有一种情况例外。,(3)在古典概型中,设样本空间是由n个基本事件组成,若事件B包含m个基本事件 (m0),AB包含k个基本事件,则,50,例2:有10个产品,其中4个是次品,从中不放回的抽取2个,已知取出的一个是次品的条件下另外一个也是 次品的概率。,51,1.4.2 概率的乘法公式,定理:两个事件的交的概率等于其中一个事件 的概率与另一事件在前一事件发生下的条件概 率的乘积。即:,P(AB)=P(B) P(AB)P(A) P(BA),这是两个事件的交,我们可以推广到求有限多个事件的交:,52,例3:把3个球随机地放到4个盒子中,A表示有球盒子的最小号码为3,求P
13、(A)。,53,1.4.3 全概率公式、贝叶斯公式,54,设为随机试验E的样本空间, 为样本空间的一个划分。则:,2、全概率公式与贝叶斯公式,55,例4、 设有一箱同类型的产品是由三家工厂所生产的,已知其中有 的产品是由第一家工厂生产的,其它二厂各生产 ;又知第一第二两厂生产的有 2是次品,第三家工厂生产 的有4是次品,现从箱中任取一件产品,问拿到的是次品的概率为多少?,56,例5、产品整箱出售,每箱20个。各箱有0,1,2个次品的概率分别为0.7,0.2,0.1。一位顾客欲购买一箱产品,在购买时,营业员随机地取一箱,而顾客从中任取4只检查,若无次品,则买下该箱产品,否则退货,求(1)顾客买下
14、该箱产品的概率;(2)已知顾客买下一箱产品,则该箱都是正品的概率为多少?,57,例6、袋中N个球,其中红球个数从0N等可能,每次从中任取1球,观察其颜色后放回,如此重复了k次。结果k次都观察到红球,问袋中全是红球的概率。,58,1.5.1 两个事件的独立性,1.5 事件的独立性,例1、在20个产品中有2个次品,从中接连抽两 个产品,第一个产品抽得后放回,再抽第二个 产品,求 (1)已知第一次取得次品的情况下,第二次取 得次品的概率; (2)第二次取得次品的概率。,59,解: 设事件A第一次抽到次品,事件B第二次抽到次品,,(1)因是有放回的:P(B|A) ;,(2)因是有放回的:P(B)P(B
15、|A),所以, P(B|A) P(B) 。,60,定义:设事件A、B是某一随机试验的任意两个 事件,若满足 ,则称事件 A、B互相独立,记为i.d.。,定理:若事件A与B相互独立,且,61,62,1.5.2 多个事件的独立性,63,(1) 相互独立,则其中任取k个事件 也相互独立;反之不一定。,注意,64,例2、假若每个人的血清中含有肝炎病毒的概 率为0.004,混合100个人的血清,求此血清中 含有肝炎病毒的概率。,解:设Ai第i个人的血清中含有肝炎病毒, 可以认为它们是相互独立的。,65,设一电路由5个同样的电子元件组成(如下图所示),每个元件正常工作的概率(元件的可靠性)为p,元件损坏即
16、断路。每个元件工作状况互相独立,求此电路的可靠性(线路两端保持连通的概率)。,例3、(系统可靠性),66,例4、甲、乙、丙3人同时独立的对飞机进行射击,3人击中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7,飞机被1人击中而被击落的概率为0.2,被2人击中而被击落的概率为0.6,若3人都击中,飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。,67,例5、由以往记录的数据分析,某船只运输某种物品损坏2,损坏10,损坏90的概率分别为0.8,0.15,0.05。现从中任取3件,发现3件都是好的,求此次物品运输被损坏了2的概率。(假设运输的物品足够多,不放回抽取近似地看成有放回抽取),68,2、设 ,且,则 ( )。,
17、3、设A、B、C 为随机事件,且 , , 0.125,则A、B、C至少出现一个的概率是 。,1、已知 ,则 (A)0.4;(B)0.5;(C)0.3;(D)0.7。,69,4、设 , ,若 事件A与B互逆,则 ;若 事件A与B独立,则 。,70,7、有来自三个地区的考生报名表各10份,15份和25份,其中女生报名表分别为3份,7份,5份。现任取一个地区的报名表,再从中取一份,求:(1)该表为女生表的概率;(2)已知该表为男生表,它来自第二个地区的概率为多少?,71,第二章 随机变量及其分布,随机变量 随机变量的分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量函数的分布,72,从概率的定义我们
18、知道,概率是自变量为集合的特殊的函数;为了能用变量,函数及微积分等工具来得出事件发生的概率、研究随机现象,引进了概率论中的另一重要概念随机变量。,2.1 随机变量,73,例1、抛一枚硬币1次,观察正(H)、反(T)面朝上的情况。,例2、从含有2个黑球,3个白球的盒子中任取3个球,观察取出球的情况。,74,若令X表示取出的3个球中黑球的个数,例3、观察某网站在一段时间内被点击次数。,例4、观察某厂生产灯泡的使用寿命t.,75,定义:设E是一个随机试验, 是其样 本空间,如果对每一个 ,有唯一的实 数X()与之对应,则称X是E的一个随机变量。,76,(2)引进随机变量后,随机事件可以用随机变量在实
19、数轴上某一个集合中取的值来表示。,所以,研究随机事件的概率就转化为研究随机变量取值的概率。,77, 2.2 随机变量的分布函数,对于随机试验而言,仅仅知道它可能的出现的随机事件并不重要,重要的是这些事件出现的可能性有多大。 相对于随机变量X来说,就是X取什么值不重要,重要的是X取这些值的概率有多大。,78,定义:设X是一个随机变量, 是一个实 数,函数 就称为随机变量X的概率分布函数,简称分布函数。,79,分布函数的性质:,特别需要说明的是:随机变量的分布函数 具有上述3条性质;反之也成立。,80,例1、判断以下函数是否为分布函数:,81,关于分布函数还有一些常用公式:,(1),(2),(3)
20、,(4),82,2.3 离散型随机变量,离散型随机变量:随机变量的可取值范围,有 的可以排列出来,有的不能排列出来。把可取 值能按一定的次序一一列举出来的随机变量称 为离散型随机变量。,83,定义:如果离散型随机变量X的一切可能取值为 ,则称P(X=xk)pk为随机变量X的概率分布列,简称分布列或分布律。,2.3.1离散型随机变量的分布列,84,例1、一射手对某一目标进行射击,一次击中 的概率为0.8 (1) 求一次射击的分布列; (2) 求到击中目标为止所需的射击次数的 分布列。,解(1) 设X=0击不中目标, X=1击中目标,则:,85,p1P(X=0)0.2 ,p2P(X=1)0.8 所
21、以分布列为:,(2) 设射击到击中目标为止,射击的次数是 随机变量Y,则Y1,2,3,k,。,86,所以Y的分布律为: pkP(Y=k)0.2 k-10.8,k=1,2,87,例2、把3个球任意的放到4个盒子中,令X表示 落到第 1个盒中球的个数,求X的分布列。,解:,88,分布律的性质 :,反之,若数列 满足这两条性质,则一 定是某一离散型随机变量的分布律。,89,90,解:,91,对随机变量而言,除了要研究其分布列以外, 还要研究其分布函数 。根据上一节的内 容可得离散型随机变量X的分布函数为,从几何上来看,这个函数的图像应是阶梯型,92,例5、 求例2中的随机变量X的分布函数。,分布函数
22、为:,93,2.3.2 常见的离散型随机变量,(1)(0-1)分布:设随机变量X只可能取0和 1两个数值,它的分布律为,其中 ,则称 X 服从(0-1)分布。,94,(2)二项分布:若随机变量X的分布律为其中 ,则称X服从参数为n,p的二项分 布,记为 ,当 时,就是(0-1) 分布。,95,定义:把试验E在相同的条件下重复进行n次,各次试验的结果有限且互不影响,则称这n次试验为n次独立试验。,如果每次试验只有两个结果,则n次独立试验又称为n重贝努里试验。,96,定理:设X是n重贝努里试验中成功(A发生)的次数,则XB(n,p),其中p=P(A),例6、在正常情况下,家禽感染某种疾病的概率为0
23、.2,现发明了一种新药,把它注射到25只健康的鸭子身上,结果有1只鸭子感染了这种疾病,试评价这种药物的疗效。,97,定理:XB(n, p),则,此时X的取值即为事件A最可能成功的次数,当k为最可能成功的次数时,称P(X=k)为二项分布的中心项。,98,例7、为了保证设备正常工作,需配备适量的 维修工人。现有同类设备300台,各台工作是 相互独立的,发生故障的概率为0.001,在通常 情况下,一台设备的故障由一个工人来处理。 问至少要配备多少工人,才能保证设备发生故 障后但不能及时维修的概率小于0.01?,99,解:设需要配备N名工人。记同一时刻发生故 障的设备数为X,则 。问题 的实质是求最小
24、的N,使,此时我们用二项分布公式来计算,很难得出结果,因此必须找另外的方法。,100,查表得: N+1=3,即N=2。 因此,为满足要求,至少需配备2名工人。,定理:,101,(3)泊松(Poisson)分布:设随机变量X可能 取的一切值为0,1,2,而取各个值的概率 为 ,其中 是常数,则称X服从参数为的泊松(Poisson) 分布,记为 XP( )。,(4)超几何分布:若X的分布律为,102,(5)几何分布,定义:若随机变量X的分布律为,,则称X服从几何分布。,(6)负二项分布,特别的,当r=1时即为几何分布。,103,2.4.1 连续型随机变量的概念,如果随机变量的取值能充满实数轴上的某
25、个 区间,甚至于整个实数轴。这样的随机变量 称为连续型随机变量。,2-4 连续型随机变量,104,定义:设随机变量 X 的分布函数为 。若 存在非负可积函数 ,使得对于任一实数 x 有 则称 X 是连续型随机变量,其中函数 称 为 X 的概率密度函数,简称为概率密度。,105,反之,任何一个函数 满足了(1), (2),则由定义的 也一定是某个连 续型随机变量的分布函数。,106,解:由概率密度函数的性质知,例1:设连续型随机变量X的概率密度函数 为: , x +,求常 数C。,107,解:由分布函数的性质可知, 在 处是连续的,所以在 处其左、右极限 都应该是1,因此A1。,(3)若 在x处
26、连续,则,108,显然,而,109,我们还可以看 ,,它们也都满足概率密度函数的性质,所以,本 题的密度函数也可以取为 或 。,110,注意:一般的,同一个连续型随机变量X的概 率密度函数可以有许多,但它们除了在有限 个点或可数个点上不相等外,其它点都相等。 也即连续型随机变量X的概率密度函数是“几乎 处处”唯一的。,111,所以对连续型随机变量X而言,概率为0的事件未必是不可能事件;概率为1的事件也未必是必然事件。,(4)连续型随机变量X在一个点上取值的概率恒为0。,112,2.4.2 几个重要的连续型随机变量,1、均匀分布,113,分布函数:,例3、设随机变量K ,求方程 有实根的概率。,
27、114,2、指数分布,若随机变量X具有密度:,其中, 是常数,则称 X 服从参数为 的指数分布。记为:X 。 (指数分 布又常被称为寿命分布),分布函数:,115,指数分布有一个特性:无记忆性。 我们看下面的例子:,例6、某种电器元件的使用寿命X服从参数为 1/2000的指数分布(单位:小时) (1)任取一个元件,求能正常使用1000小时 以上的概率。 (2)求其正常使用1000小时后还能使用1000 小时的概率。,116,解:X的密度为,(1),(2),117,由本题可见,指数分布的无记忆性;其实, 不仅是指数分布有这样的性质,几何分布也 同样具有这样的性质。,118,3. 正态分布,定义:
28、连续型随机变量X的密度函数为:其中、都是常数(0), 则称X服从参数为、的正态分布,记 为:XN(,2) 。,119,正态曲线具有以下性质:,(1)曲线位于x轴的上方,以直线x=为对 称轴,它向左向右对称地无限延伸,并且以 x轴为渐近线;(2)当x=时曲线处于最高点,当x向左右 远离时,曲线逐渐降低,整条曲线呈现“中 间高、两边低”的形状;,120,(3)参数决定了正态曲线的形状,愈 大,曲线愈“矮胖”(即分布愈分散),愈小, 曲线愈“高瘦”(即分布愈集中于的附近)。,121,特殊的:当0、1时的分布称为标准正态分布,记为N(0,1),则其密度函数为:,分布函数为:,122,正态分布与标准正态
29、分布的联系:,重要公式:,123,例7、某科统考成绩近似服从正态分布在参加统考的人中,及格者 100人,(及格分数为60分)计算: (1)不及格人数。 (2)估计第10名的成绩。,解:(1)设考生的成绩为 X ,显然:,124,若参加考试人数是 n ,则有,125,(2)设第10名的成绩为 a 分,则,126,例8、测量某一目标的距离时,测量误差 X(cm)N(50,1002),求: (1)测量误差的绝对值不超过150厘米的概 率。 (2)在三次测量中至少有一次误差的绝对 值不超过150厘米的概率。,127,解:,(2)在3次测量中,令Y表示误差不超过 150(cm)的次数,则 YB(3,0.
30、8185),128, 分位点:给定常数 ,若存 在数 满足 ,则称 为,随机变量X的上 分位点;当 时, 称 为随机变量X的中位数。,129,一般的,上 分位点可查表得到 例:,在其它一些书上,也有将上 分位点称为临 界点。,130,2-5 随机变量函数的分布,问题的一般提法:已知随机变量 X 的分布, 是一连续函数,求 的分布。,2-5,131,132,(1)确定常数 a 的值;(2)求 的分布列。,133,解:根据分布列的性质得:,134,例2、设随机变量 XP(),求Y=X2的分布律。,135,2、X 是连续型随机变量:,设 X 的密度函数为 ,则随机变量 的分布函数为,再对 y 求导即
31、可得 Y 的密度函数。,例3、设随机变量 XU(0 , 1),求 的分布。,136,X 的密度为,解:X 是连续型的,而 Y 是离散型的。显然 Y 的可取值为1,2,N。,137,138,139,所以,XN(0,1)时,求Y=X2的分布。,140,解:由 知,141,142,所以,随机变量 Y 的密度为:,143,第三章 多维随机变量及其分布,二维随机变量的联合分布 边缘分布 条件分布 随机变量的独立性 n维随机向量简介 随机向量函数的分布,144,3.1.1二维随机变量及其分布,定义3.1:设 是随机试验 E 的样本空 间,X和Y是定义在 上的随机变量,由它们构 成的二维向量(X,Y)称为
32、E 的一个二维随机 变量。,3.1 多维随机变量及其分布,145,定义3.2:设(X,Y)是二维随机变量,对一切 (x,y),称二元函数 为(X,Y)的联合分布函数,或称为(X,Y) 的分布函数。,联合分布函数的性质: (1),146,147,性质( 4 )正是一维随机变量与二维随机变量 的不同之处。,148,如果,二维随机变量(X,Y)的一切可取值 为有限多对,或可列多对,则称(X,Y)为 二维离散型随机变量。,定义3.3:设二维离散型随机变量(X,Y)所有 可能取得值为(xi ,yj),i,j1,2,则 称:,3.1.2、二维离散型随机变量,149,为(X,Y)的联合分布律,或称为(X,Y
33、) 的分布律。,(X,Y)的分布律也可以用如下的表格表示:,150,例1(二维01分布)设一个袋中有2个黑球, 3个白球,从中任取2个球,X 表示第一次取出 的白球个数,Y 表示第二次取出的白球个数, 分别求出(1)有放回抽取,(2)不放回抽取 时,(X,Y)的联合分布律。,151,解:直接用表格表示为:,(1),Y,X,152,例2、抛一枚硬币3次,令X表示头两次出现正面的次数,Y表示3次总共出现正面的次数,求(X,Y)的联合分布律。,153,例3、把5个球任意的放到3个盒子中,令X表示落在第一个盒子中球的个数,Y落在第二个盒子中球的个数,求(X,Y)的联合分布律。,解: (X,Y)=(i
34、, j)( 其中i , j= 0,1,5;i+j5),154,155,3.1.3 二维连续型随机变量,定义3.4:设 是二维随机变量(X,Y) 的分布函数,若存在着非负可积函数 , 使对一切的 有,156,则称(X,Y)是二维连续型随机变量,函数 称为二维连续型随机变量的联合概 率密度函数。,157,(4)设 G 是 xy 平面上的一个区域,向量 落在G内的概率为:,其中(1),(2)为联合密度函数的基本性质。,158,159,160,例6(二维均匀分布)设G是xy平面上的区域,S是G的面积,定义二元函数:,显然该函数满足密度函数的性质(1),(2),故其是二维连续型随机向量的联合密度函数,并
35、称(X,Y)服从二维均匀分布。,161,3.2 边缘分布,3.2.1 边缘分布函数,定义:设 是(X,Y)的联合分布 函数,称 分别为(X,Y)关于X,Y的边缘分布函数。,定理:,162,3.2.2. 边缘分布律,定理:设(X,Y)是二维离散型随机向量,其联合分布律为:,163,例1:在3-1例1中,分别求出(X,Y)关于 X 和 Y的边缘分布。,164,165,求X,Y的边缘分布律。,166,例3、向一目标进行独立射击,每次击中目标 的概率为 p,令 X 表示首次击中目标所需的 射击次数,Y 表示第二次击中目标所需的射 击次数,求(X,Y)的联合分布律和边缘分 布律。,显然,(X,Y)可能取
36、的一切值为,167,设每次击中目标记为事件 A,由于射击是独立 的,所以,第 i 个,第 j 个,168,169,3.2.3 边缘概率密度函数,由3.2.1定理知:,而,由分布函数的定义知:,170,例2:在 0 , 1 区间上任意取两点,令 X 和 Y 分别表示这两点的坐标(设 XY),求 (X,Y)的联合概率密度及(X,Y)关于X 和Y 的边缘概率密度。,所以:,171,解:由题意可知, 其 面积为 S,则 另一方面, X、Y 是任取得两点,所以 (X,Y)在 G 上服从二维均 匀分布 ,故其联合概率密度为,172,那么,边缘密度为:,173,174,3.3.1 条件分布函数,3.3 条件
37、分布,175,176,3.3.2 离散型随机变量的条件分布律,设(X,Y)的联合分布律为,177,并称,为在 条件下随机变量 Y 的条件分布律。,求条件分布律P(Y=j |X=1),178,例2、向一目标进行独立射击,每次击中目标 的概率为 p,令 X 表示首次击中目标所需的 射击次数,Y 表示第二次击中目标所需的射 击次数,求(X,Y)的条件分布律。,解:由前面的解题过程可知,联合分布律为:,179,180,由条件分布律的定义得:,181,3.3.3 连续型随机变量的条件密度,182,同理可得:,183,例2、设二维随机变量(X,Y)在区域 上服从均匀分布,求条件概率密 度 。,184,解:
38、因为(X,Y)服从均匀分布,且圆面积 为。所以,联合概率密度为:,边缘分布为:,185,所以,当 时,条件分布为:,186,187,例3、设(X,Y)的联合密度为,求:,188,解:,即,从而,189,所以,190,3.4 随机变量的独立性,191,192,(2),解(1),193,194,相互独立的两个充要条件:,195,而且 (1)求 X 和 Y 的联合分布律; (2)问 X 和 Y 是否独立?,例2、已知随机变量 X 和 Y 的分布律为 :,196,197,3.5 n维随机变量简介,一、 n维联合分布,198,定义2 如果(X1,Xn)只取有限或可列无穷多组 向量值,则称(X1,Xn)为
39、n维离散型随机变量,,称为(X1,Xn)的联合分布律。,199,200,(3)对n维连续型变量(X1,Xn),落在n维 空间某区域G内的概率为,201,二、 k维边缘分布及条件分布,定义4 称(X1,Xn)中任意k个分量所构成的k 维随机变量的分布为(X1,Xn)的k维边缘分布。,202,三、 独立性,203,204,3.6 随机变量函数的分布,问题:已知 Z = g(X,Y) 以及 (X,Y) 的联合分布, 如何求出Z的分布?,1、 (X,Y)为二维离散型随机变量,205,试求:(1) Z1=X+Y;(2) Z2=XY; (3)Z3=max(X,Y) 的分布律。,206,207,208,20
40、9,2、 二维连续型随机变量的函数的分布,思路:设二维连续型随机变量的函数为Z=g(X,Y), 显然Z是一维随机变量,其分布函数为,如果设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),则,210,例5、设(X,Y)的联合概率密度函数为 求 的概率密度。,利用Z的分布函数与Z概率密度之间的关系, 可以最终求出Z=g(X,Y)的概率密度。,211,设 是 的分布函数,记区域:根据连续型随机变量在平 面上的一个区域内取值得概率等于其联合概率 密度在这个区域上的二重积分。有,212,(此时的积分区域就是右图的G*),交换积分次序有,213,214,例6、设 X、Y 是两个相互独立同服从标准正 态分布的随机变
41、量,求 的概率密度 函数。,解:X、Y 的密度为,215,由卷积公式得:,由 的密度可见,,更一般的结论,见教材P100 。,216,例7、设随机变量X,Y独立同分布于U(0,1), 求Z=X+Y的密度函数。,217,218,219,例9、设 X、Y 是两个相互独立同服从 分布的随机变量,求 的概率密 度函数。,例10、设随机变量X,Y独立同分布于U(0,1), 求Z=XY的密度函数。,220,例11、设 X1,X2,Xn 相互独立,分布函数分别为F1(x), F2(x),Fn(x) , 求 M = max(X1,X2,Xn),N = min(X1,X2,Xn) 的分布。,特别地, 当X1,X
42、2,Xn i.i.d.时, 分布函数为F(x),则 FM(z)=(F(z)n , FN(z)=1-(1-F(z)n.,221,离散型随机变量没有密度函数,但是对于上式的分布函数公式仍然成立。,222,第四章 数字特征,数学期望 方差 协方差和相关系数 矩与协方差矩阵,223,4.1 数学期望,4.1.1 概念,例1、盒子中有6个球(如图),,从中任取一球再放回,重复了三次,问三次抽到号码的平均值。,224,225,对连续型随机变量 X 的数学期望类似的可定 义如下:,226,注1、若 ,仍称X的 数学期望不存在。,2、离散型取有限个值,连续型密度函数只在有限区间上积分,则X的期望一定存在。,3
43、、离散型只取非负值,连续型只在x0时f(x)0,则只需直接计算期望。,227,4.1.2 常见随机变量的数学期望,228,(2)二项分布B(n,p),229,(3)泊松分布P(),230,(4)几何分布G(p),231,(5)均匀分布U(a , b),232,(6)指数分布,233,(7)正态分布 N(,2),234,4.1.3 随机变量函数的数学期望,定理4.1:设Y是随机变量X的函数,即 (g 是连续函数),(1)若X 是离散型随机变量,其分布律为而级数 绝对收敛,则有,235,(2)若 X 是连续型随机变量,其密 度函数为 ,若积分 绝对收敛,则有,236,(2)若(X,Y)是二维连续型
44、随机变量,有,237,例1:设 XB(n,p),求EX(X1)。,解:因XB(n,p),则X的分布律为,令 Yg(X) X(X1),238,239,例2、已知XN(0,1),求E(X4),240,解:,241,例5:设X、Y相互独立同服从标准正态分 布N(0,1),求 E(maxX,Y)。,解:由题设,(X,Y)的联合密度为,242,243,(1) ECC,(C为常数) (2) E(CX)CEX ,(C为常数) (3) E(X+Y)EXEYE(aX+b)aEXb, E( ) (4)若X、Y是相互独立的随机变量,则E(XY)EXEY 。,4.1.4 数学期望的性质,244,例6、设X的分布律为:
45、,例7、把r各球放到n个盒子中,令X表示有球盒子的个数,求EX.,求 EX,245,4.2 随机变量的方差,4.2.1 方差的定义,对随机变量的特征进行考察,除了数学期望外,还要考察X的可取值与EX的偏离情况,由于XEX可正可负,因此用XEX2 来考虑。,246,定义4.3:设X是一个随机变量,若(XEX)2 的数学期望存在,则称E(XEX)2为X的方差,记为DX或Var(X),即DXE(XEX)2,离散型随机变量:,连续型随机变量:,247,方差的计算公式:,4.2.2 几种常见的随机变量的方差,248,(2)二项分布:,(3)泊松分布:,(4)均匀分布:,249,(5)指数分布:,250,
46、(6)正态分布:,251,4.2.3 方差的性质,(1)D(C)0,(C为常数),(2)D(CX)C2DX ,(C为常数),(3)若X、Y是相互独立的随机变量,则D(X+Y)DXDY,(4)DX0,252,例1、已知 XN(1,22),YN(2,22),且X、Y相互独立,求:X-2Y+3的数学期望和方差 。,253,定理:切比雪夫不等式,254,4.3.1 协方差与相关系数的概念,我们在证明方差的性质时看到,当两个随机变量X和Y相互独立时,有,但当 X 和 Y 不相互独立时,它们之间的关系呢?,255,称 为 X、Y 的相关系数。,定义4.4:设 X、Y 是两个随机变量,称为随机变量 X、Y 的协方差,记为 即:,