1、第四章 导数的应用问题 罗必塔法则、函数的性质和图像,目录,1 微分中值定理局部与整体的纽带 2 罗必塔法则计算不定式极限的一般方法 3 用导数研究函数的性质单调性、极值和最大最小值,导数是函数在一点处的变化率，它反映函数在一点处的局部变化性态，而微分中值定理是在理论上给出函数在某区间的整体性质与该区间内部一点的导数之间的关系。 由此讨论函数极大值和极小值问题。,在前面我们介绍了导数与微分的概念及计算。为了用导数和微分去解决一些比较复杂的应用间题，并进一步研究函数的整体性质，将介绍微分学应用的理论基础微分中值定理。,在微分中值定理的基础上，通过求导数，还可以找到求若干特殊类型极限的方法洛必达法
2、则。,1中值定理局部与整体的纽带,1.1 费马定理,1 费马定理,定义1 设函数 f (x)在点 x0 的邻域 (x0, x0)内有定义，若对任何 x (x0, x0)，都有,f (x) f (x0)， ( f (x) f (x0),极值是一个局部性概念，它只是在与极值点邻近的所有点的函数值相比较而言，并不意味着它在函数的整个定义区间内最大或最小。,则称 f (x0)为函数 f (x)的极大值（极小值），而点 x0称为f (x)的极大值点（极小值点）。,函数的极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。,极值点的必要条件费马定理,费马定理 如果x0是函数f(x)的极值点，并且f(
3、x)在该点可导，那么 。,定义2 若 , 则点 x0称为函数 f (x)的驻点或稳定点。,如果 f (x)在点 x0不可导， x0也有可能是 f (x)的极值点。例如函数 它x0在处不可导，x0是它的极小值。以上事实告诉我们：f (x)的极值点只能是 f (x)的驻点或导数不存在的点，这两种点称为 f (x)的可能极值点。 但是，可能极值点未必一定是极值点，例如，对于函数 y x3 ，有 ， x0是函数的驻点，但函数在(,)内单调增加， x0不是函数的极值点。又如，函数 在处不可导，但由于函数单调增加，不是函数的极值点。,仅仅是极值点的必要条件,2 拉格朗日中值定理,由上述的讨论，我们可以得到
4、如下定理拉格朗日中值定理。,拉格朗日中值定理 设函数 f (x)满足条件：,（1）在闭区间a,b上连续；,（2）在开区间(a,b)内可导；,则在(a,b)内至少存在一点 ，使得,由拉格朗日定理可以得出两个重要的推论。,证 在(a,b)内任意取两点 x1，x2，不妨设 x1 x2，显然 f (x)在a,b上连续，在(x1，x2)内可导，由拉格朗日中定理可知，至少存在一点 (x1，x2) ，使得,推论1 若函数 f (x)在(a,b)内任意点的导数 ，则 f (x)在(a,b)内是一个常数。,由条件知 ，从而f (x2) f (x1) = 0。即 f (x2) = f (x1)。由 x1，x2是(
5、a,b)内的任意两点，于是我们就证明了 f (x)在(a,b)内恒为一个常数。,推论2 若函数 f (x)， g(x)在(a,b)内可导，且,则在(a,b)内， f (x)与g(x)最多相差一个常数，即,其中c为常数。,事实上，因为 ，由 推论1可知,推论2 若函数 f (x)， g(x)在(a,b)内可导，且,则在(a,b)内， f (x)与g(x)最多相差一个常数，即,其中c为常数。,事实上，因为 ，由 推论1可知,罗尔定理拉格朗日中值定理的特例,罗尔定理 设函数 f (x)满足条件：,（1）在闭区间a,b上连续；,（2）在开区间(a,b)内可导；,则在(a,b)内至少存在一点 ，使得,（
6、3）,在初等数学中证明这个不等式是很困难的，但是应用拉格朗 日中值定理就容易多了。,例1 试证：当 x 0时，有,证 令f (t) = ln(1t)，则 f (t)在0，x上满足拉格朗日定理条件，且 ，在0，x上应用拉格朗日定理，有,由于,所以有,从而有,证 考虑函数 f (x) = sinx，它在(,)上连续且可导，则对任意a,b (,) ，由拉格朗日中值定理有,例2 求证不等式,所以有,例3 设函数 f (x)在 a,b上连续，在(a,b)内可导。证明：在开 区间(a,b)内至少存在一点 ，使得,分析 利用微分中值定理证明某一命题时，关键问题是：对 哪个函数，在什么区间上，用哪个定理。解决
7、了这些问题，证明 命题成立就容易了。如从本题的结论看出，记 F (x) x f (x) ，则 本题结论即为 ，只需对辅助函数F (x) ，用 拉格朗日中值定理。,例4 证明：若函数 f (x)在 (,)内满足关系式 且 f (0)1 ，则 f (x) ex .,在前面介绍极限时，我们计算过两个无穷小量以及两个无穷大量之比的极限。在那里我们都是具体问题具体分析，属于特定方法，无一般法则可循，这里我们将用导数为工具，给出计算极限 的一般方法洛必达法则。,2 洛必达法则,定理1 如果函数 f (x) 和 g(x)满足：,(2)在点a的去心邻域内可导，即 存在，且,(3)极限 存在（或为无穷大）.,则
8、,f (a) = g (a) = 0,证 我们在点 x = a 处补充定义函数值,则 f (x) 与 g(x)在点 a 处连续。设 x为此邻域内任意一点，若 x a ， (或 x a )，则在区间a, x (或x, a ) 上， f (x) 和 g(x)满足柯西定理 的全部条件，因此有,注3 如果把定理中的a换为，其他条件不变，那么定理仍然成立，即,注2 如果 时， 仍为 型不定式，并且 和 像 f (x) 与 g(x)一样满足定理的条件，则可继续使用洛必达法则，即,注1 本定理的意义是：当满足定理的条件时， 型不定式 的极限可以化为导数之比 的极限。,用洛必达法则很容易验证第一个重要极限。,
9、定理2 如果函数 f (x) 和 g(x)满足：,(2)在点a的去心邻域内可导，即 存在，且,(3)极限 存在（或为无穷大）.,则,注1 定理证明从略。如果 和 像f (x) 和 g(x)一样满 足定理的条件，则可继续应用洛必达法则。,注2 如果定理中的a换为，其他条件不变，则定理仍然成立。,3. 其他类型不定式极限,在初等数学中我们用初等数学的方法研究过函数的单调性和某些简单函数的极值及最大值和最小值。但是这些方法使用范围小，并且有些需借助某些特殊技巧，讨论难度较大。本节我们以导数为工具,介绍解决上述问题的简便而又具有一般性的方法。,3 利用导数研究函数,根据拉格朗日中值定理，容易得到如下定
10、理。,定理 设函数 f (x)在开区间(a,b)内可导，那么,f (x)在 (a,b)内单调增加(单调减少)的充要条件是：,而 只在有限个点处成立。,1 函数单调性的判别法,推论 设函数 f (x)在(a,b)内可导，那么,（1）若在(a,b)内 ，则 f (x)在 (a,b)上单调增加；,（2）若在(a,b)内 ，则 f (x)在 (a,b)上单调减少。,证 我们只证(1)。,在闭区间(a,b)内任取两点 x1，x2，不妨设x1 x2 ，由条件知， f (x)在x1，x2内 可微，于是由拉格朗日中值定理知至少存在一点 (x1，x2) ，使得,因 ，所以f (x2) f (x1) 0。即 f
11、(x1) f (x2)。从而 f (x)在(a,b)上单调增加。,例17 讨论函数 f (x) = xsinx在0, 2上的单调性。,解 因为在(0, 2)内有,所以函数 f (x) = xsinx在0, 2上是单调增加的。,例18 讨论函数 f (x) = exx的单调性。,解 函数 f (x) 的定义域D(，)，因为,当x(, 0)时， ，所以函数 f (x) = exx在(, 0上是单调减少的；当x(0,)时， ，所以函数 f (x) = exx在0,)上是单调增加的。,这里函数 f (x) = exx在定义区间(,)上不具有单调性，它 的导数 在(,)不保持固定的符号。在点 x = 0
12、处 ， 这个导数等于零的点将定义区间划分成两个部分区间，而 在每 个部分区间分别保持固定符号，因而函数 f (x)在每个部分区间上是单 调的。,一般地，在将函数的定义区间划分为部分区间而分别讨论函数在 各部分区间的单调性时，除了要考虑使得 的点之外，还要 考虑 不存在的点。,例19 求函数 f (x) = (x1)24的单调区间。,可见，运用导数研究函数的单调性比用初等方法简单的多。,解 函数 f (x) 的定义域是(,)，由 可 得 x=1。当 x 1时 ，所以函数的单 调递减区间是(,1) ，单调递增区间是(1,) 。,ex 1x,此不等式告诉我们：除了点(0,1)之外，曲线 y = ex
13、 在其他点处始终位于直线 y = 1x的上方，如图。,先求出 ，那么使 的点是 x 0，当 x 0时 , 。由推论知，当 x 0时 f (x)单调增加，所以 f (0) 0是函数f (x) 的最小 值，并且当 x 0时，有 f (x) f (0) 0 ，即当 x 0时有,证 作辅助函数 f (x) = ex 1x ，因为 f (x) = 0 ，所以我们只需 证明：当 x 0时， f (x) 0。,例20 证明：当 x 0时，ex 1x。,例21 确定函数 f (x) = x33x的单调区间。,用这两个点把函数 f (x)的定义域分成三个区间：,解 函数 f (x) 的定义域 D(,)，因为,令
14、 ，解得,(, 1， 1, 1 ，1,),当 x(, 1)时， ，因此 函数 f (x)在(, 1上是单调增加的； 当 x(1, 1)时， ，因此函数 f (x) 在1, 1上是单调减少的；当 x(1,) 时， ，因此函数f (x)在1,) 上是单调增加的(如图)。,例22 证明不等式,x ln(1x) ( x 0),最后一个例子是利用函数的单调性来讨论方程在某区间内根的个数。,证 设 f (x) xln(1x) ，则在上连续，且,x ln(1x) ( x 0),当 x 0时， ，所以函数 f (x)在0,)上是单调增加的，又 f (0) 0，从而，当 x 0时，有 f (x) f (0)，即
15、,例23 证明方程 x3x22x10在区间(0, 1)内有且仅有一个实根。,3.2 函数极值的判别法,定义 设函数 f (x)在点 x0 的邻域 (x0, x0)内有定义，若对任何 x (x0, x0)，都有,f (x) f (x0)， ( f (x) f (x0),显然，极值是一个局部性概念，它只是在与极值点邻近的所有点的函数值相比较而言，并不意味着它在函数的整个定义区间内最大或最小。,则称 f (x0)为函数 f (x)的极大值（极小值），而点 x0称为f (x)的极大值点（极小值点）。,定义4 若 , 则点 x0称为函数 f (x)的驻点或稳定点。,函数的极大值、极小值统称为极值，极大值
16、点、极小值点统称为极值点。,如果 f (x)在点 x0不可导， x0也有可能是 f (x)的极值点。例如函数,，它x0在处不可导，x0是它的极小值。,既然定义4给出的只是极值点的必要条件，那么我们根据定义4或由函数的不可导点而求出一个函数的可能极值点之后，还必须进一步加以判定，这些点是不是极值点以及是极大值点还是极小值点。下面，给出极值点的两个充分条件。,判别法则I （第一充分条件）,（2） .,设函数满足：,（1）在点 x0邻域内可导；,那么,（2）若在 x0左侧附近 ，在 x0右侧附近 ，则f (x0)为极大值。,（3）如果 在 x0左右附近不变号，则 f (x)在点 x0处无极值。,同理
17、可证（2），而（3）是显然的。,证 （1）当 x (x0, x0)时 ，则f (x)在 (x0, x0)内 单调增加，所以 f (x0) f (x) 。当x (x0 , x0)时 ，则f (x)在 (x0, x0)内单调减少，所以 f (x0) f (x)即对x (x0, x0)(x0 , x0) ，总有 f (x0) f (x) ，所以 f (x0)为f (x)的极大值。,注 在证明中，并未要求 一定存在，例如，x = 0是函 数 的极小值点，但此时 并不存在。,例24 求 的极值。,于是得知 为极大值,为极小值。,例25 求 函数 的极值。,解 f (x) 的定义域 D(,)， 求导数，得
18、,因为 ， 不存在，所以 f (x)的可能极值点为 x0和 ，列表讨论如下：,因此存在点 x0的某个邻域，使在该邻域内恒有,判别法则II（第二充分条件）设 ， 存在，那么,（1）如果 ，则 f (x0)为 f (x)的极小值。,（2）如果 ，则 f (x0)为 f (x)的极大值。,证 由导数定义及 ，得,同理可证（2）。,所以，当 x x0时， , 由判别法则I知， 为极小值。,，所以 f (1) = 2为极大值。,例26 求函数 f (x) = x33 x 的极值。,解 令 得 x = 1，由于,，所以 f (1) = 2为极大值。,3.3 函数的最大值和最小值,前面我们已经讲过，闭区间a
19、,b上的连续函数 f (x)必存在最大值与最小值。如何求函数的最大值与最小值呢？一般说来，可以由区间端点处函数值 f (a) ， f (b)与区间内使 及 不存在的点处的函数值相比较，其中最大的就是函数在a,b上的最大值，最小的就是函数在a,b上的最小值。如图。,例27 求函数 在2, 1上的最值。,解 f (x)在 x0处不可导。,当0 x 1时， f (x) = xex，因此 f (x) 在 (0, 1)内无驻点。,在实际应用中，常会碰到求最大值和最小值的问题，如用料最省， 容量最大，花钱最少，效益最高等，顺而求最大、最小值问题在工程 技术、国民经济以及自然科学等领域有着广泛的应用。,当2
20、 x 0时， f (x) = xex， ，因此 f (x)在 (2 , 0)内有驻点 x = 1 。,由于,f (1) = e-1， f (0) = 0， f (2) = 2e-2， f (1) = e,比较这四个数的大小，可知 f (x)在2, 1上的最小值为 f (0) = 0 ， 最大值为 f (1) = e .,在以下两种特殊情况下，函数的最值的确定较为简便：,1) 如果函数 f (x)在区间a , b上具有单调性，则 f (x)的最值在区间 的端点a 和b取得。,2) 如果 x0是函数 f (x)在(a , b)内的唯一的极值点，则 f (x)的最值在 点 x0处取得。,解 （1）设
21、矩形的长为 x，宽为 y，周长为 l，则面积,（2）若所围土地是圆形，其面积是否要比矩形面积大？,例28 传说古代迦太基人建造城镇时，允许居民占有一天犁出 的一条沟所围成的土地。假定某人一天犁沟的长度为常数 l，试问：,（1）所围土地是怎样的矩形，其面积最大？,由,在实际问题中，通常遇到的函数大多数是某区间内只有一个极值点的连续且可导的函数，因而实际问题中的最大、最小值，就是函数的极大、极小值。,得惟一驻点 ，由 ，故知 为极大值点，因此 S 的,最大值是,例29 某工厂要做一批容积为v的有盖圆桶，如何选取圆桶的高和底面半径，其用料最省？,（2）设圆形土地面积为S 1，半径为 r 则,可见，犁
22、沟围成的矩形土地是正方形时面积最大，最大面积是,因为 ，故知圆形土地面积要比矩形的面积更大。,解 设圆桶的底面半径为 r ，高为h，如图，则表面积为,这样问题化为求 S 的最小值问题。由,代入（1）式得,由于体积 v 一定，则 v =r2 h，从而,解得,这时 。由此可知，圆桶的高与底面直径相等 时用料最省。,大家日常见到的有盖茶缸、汽油桶及某些罐头盒都是这种形状的。,解 设 x、y、s 如图所示， 以万元为单位，所花钱是,例30 B 在 A 东10千米， C 在 B 东3千米，现在要修一条从 A 到C 的公路，从A到B的报价是40.000元/千米，沿其他路线50.000元/千米，问 P 点落
23、在什么地方最省钱？,u = 4x5s,x、y、s 的关系是,xy = 10 , y2 9= s2 , y 0,10 .,由此可得,由此可得,依题意 y 0 ，所以取 y = 4，而 y 0,10,解得 25y216( y2 9)， y216， y4 .,y = 0时 u = 55,y = 4时 u = 49,y = 10时 u = 52,因此点 P 位于 B 以西4千米处时费用最小，最小费用是49万元。,例31 设有一块边长为a的正 方形铁皮，从其四角各截去同样的 小正方形做成一个无盖的方盒。问 截去的小正方形边长为多大时，所 得方盒的容积最大？,解 如图，设截去的小正方形边长为，则方盒的容积为,问题成为求函数V 在 上的最大值点。因为,令 ，解得函数V 在 内的唯一驻点。而,因此， 是函数V 在 内的唯一极大值点，从而也就是V 在上的最大值点。即当截去的小正方形边长为 时，所作成的 方盒的容积最大。,
