1、,第二章 控制系统的数学模型,2.1 引 言2.2 线性系统的数学模型2.3 线性系统的传递函数2.4 控制系统的结构图2.5 信号流图与梅森公式,1.数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。,2.1 引言,2.建模方法：,3.常用数学模型,微分方程（或差分方程）传递函数（或结构图）频率特性 状态空间表达式（或状态模型）（现代控制理论课程 ）,解析法（理论推倒法） 实验法（实验辨识法）,4.由数学模型求取系统性能指标的主要途径,2. 2线性系统的数学模型,能用线性微分方程描述其输入输出关系的系统为线性系统。 大多数控制系统在一定的限制条件下，用线性微分方程来描述。
2、线性系统的研究具有重要的实用价值。 本节要点：用微分方程的方法建立系统数学模型，其实质是根据系统内部机理建模，并由此了解常用数学模型的特点。,1）确定系统的输入、输出变量；2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定理写出各微分方程；3）联立方程，消去中间变量，写出系统输入、输出变量的微分方程； 4）将系统方程变换成标准形式。,微分方程的列写步骤：,2.2.1 电路系统,消去中间变量i(t)，系统的微分方程为,例2.3弹簧质量阻尼器系统，求质量m在外力F作用下位移y(t)的运动方程。,Ff为阻尼器的阻尼力, Fk为弹簧的弹性力，Fm为质量的质量力，可表示为,代入式（2-1）整
3、理得,线性定常二阶微分方程,解: 输入量 ，输出量为位移 y(t) ，由牛顿定律得力平衡方式,（2-1）,2.2.2 机械系统,基本元件是质量、弹簧和阻尼器，基本定律是牛顿运动定律和力矩平衡定律。,2.2.3 其他系统,机电、热工和化工对象等系统都可以通过物理、化学机理建立数学模型。,解： 为输入量，电机转速 为输出,线性二阶微分方程,位置随动系统原理图,位置随动系统结构图绘制,3),1),2),4),5),6),7),8),电动机输出转角,线性系统输入量与输出量之间的数学表达式可以用一个线性常系数微分方程表述，具有以下特点：物理、化学过程不同的系统，但数学模型的推导过程和建立的数学模型却很相
4、似。微分方程的阶次与系统中储能元件的个数和要求的精度有关，方程中的系数是与系统的结构和参数有关,具有一定的物理意义。上述系统是按线性系统理论建立的微分方程,为线性系统或非本质非线性系统。本质非线性在第八章中介绍。,说明,2.2.4 线性系统微分方程的通用形式,输出信号、输入信号的最高求导次数,T1、T2、，Tn 为时间常数，反映惯性的大小 K0 为传递系数（或静态放大系数）,微分方程: 1）描述时间域系统动态性能的数学模型，2）系统参数、结构变化，必须重新求微分方程，3）分析和设计系统不够方便。 传递函数：1）复数域输入输出关系的数学模型，2）仅用于线性定常系统，也表征系统的动态特 性，3）当
5、系统参数、结构变化时，不必重新建立数学模型。传递函数是经典控制理论中最基本、最重要的概念。,2.3 线性系统的传递函数,2.3.1 传递函数的定义,零初始条件时，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换的比。,传递函数的标准形式,微分方程一般形式：,拉氏变换：, 首1标准型：, 尾1标准型：,传递函数：,定义：,(1) 输入 u r (t),(2) 初始条件,(3) 系统的结构参数, 一般规定 r(t) = 1(t), 规定0 初始条件, 自身特性决定系统性能,影响系统响应的因素,传递函数的性质,1) G(s)是复变量s的有理真分式函数，且nm； 2) G(s)只与系统自身的结构参数有关,与
6、 输入信号无关； 3) G(s)与系统微分方程直接关联， 置换即可； 4) G(s)的拉氏反变换是系统的脉冲响应，即G(s) = L g(t) ；,5) G(s) 与 s 平面上的零极点图相对应。(后面介绍),零初始条件定义的G(s) 反应系统的零状态特性有两方面的含义: 零输入作用是指t= 0 以后,输入才作用于系统，系统输入量及各阶导数在t= 0 时的值均为零； 输入作用加入之前，系统相对静止，系统输出量及各阶导数在T=0时的值也为零。,说明,例2.5 试列写RLC电路的传递函数 Uc(s)/Ur(s).,参见例2-1（）,已知:,例2.6 求例2.4直流电动机控制系统的传递函数。 解：
7、已知系统的微分方程,设初始条件为零，对上式拉氏变换,传递函数,传递函数为,忽略电枢电路电阻R和转动惯量J，微分方程为,3）,2）,传递函数的零点和极点,零点用“”表示，极点用“”表示。,分子多项式的根zi为传递函数的零点；分母多项式的根pj为极点。K*称为传递系数或根轨迹增益。,传递函数的首1标准型(零极点式),传递函数的尾1标准型(时间常数式),系统增益,（1）原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息（2）适合于描述单输入/单输出系统； （3）只能用于表示线性定常系统。,线性/非线性，定常/时变系统的辨析,传递函数的局限性,例2.8 某系统在0初条件下的阶跃响应为试求：（1） 系统的传递
8、函数； （2） 系统的增益； （3） 系统的特征根及相应的模态； （4） 画出对应的零极点图； （5） 求系统的单位脉冲响应； （6） 求系统微分方程； （7） 当 c(0)=-1, c(0)=0; r(t)=1(t) 时，求系统的响应。,解.（1）,(2),(3),(5),(6),(4)零极点图如图示,（7）,其中初始条件引起的自由响应部分,2.3.2 典型环节的传递函数,典型环节： 任意一个系统是由许多元件、以不同结构和不同的运动原理构成的。研究各元件运动规律和数学模型，并将它们划分成几种典型的数学模型，这些典型的数学模型即典型环节。,常见典型环节比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振
9、荡环节、迟后环节, 比例环节（放大环节）,输出量等于输入量乘以比例系数,传递函数,传递函数：,2.惯性环节 特点：有储能元件，对突变的输入信号不能立即复现 微分方程：,输出量的拉氏变换：,T为时间常数，, 积分环节（无差环节）,特点：输入量输出量之间呈积分关系,初始值为零，上式的解为,T为时间常数，传递函数：,微分方程：,分为理论微分环节和实际微分环节 理论微分环节：仅理论上存在，实际中不能单独实现如纯微分环节，一阶微分和二阶微分环节,T为时间常数，传递函数：,微分方程：, 微分环节（超前环节）,一阶微分、二阶微分环节的传递函数不满足nm的条件，实际工程中不会单独存在。如下式,实际微分环节（复
10、合微分环节）,满足nm的基本条件，可以付诸实际使用。,如图示, 振荡环节（二阶环节） 微分方程:,T为时间常数, 为阻尼比。传递函数为,有两个贮能元件的系统 弹簧阻尼系统, 机械旋转系统, RLC电路,常见物理系统：,为无阻尼振荡频率。, 滞后环节（延迟环节）输出量输入量之间关系满足下列方程,为滞后时间，其传递函数为,常见物理系统：传输延迟、测量点与混合点之间信号延迟轧钢板的厚度控制系统晶闸管整流装置流体管传输和热交换系统等,小 结,传递函数的性质,传递函数的定义,传递函数的标准形式,传递函数的局限性,(1) G(s) 是复函数； (2) G(s) 只与系统自身的结构参数有关； (3) G(s
11、) 与系统微分方程直接关联； (4) G(s) = L g(t) ；(5) G(s)与s平面上的零极点图相对应。,结构图（方框图）是描述元部件或系统动态特性的图示模型。,1.信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。,2.4 控制系统的结构图,3. 方框(环节) 方框具有运算功能。,注意量纲和符号!,相邻比较点可以互换、合并、分解; 服从代数运算的交换律、结合律和分配律。,求和点可以有多个输入，但输出是唯一的!,例2.9 绘图示双RC网络的结构图。,如果将图变成两个RC网络的串联，会得到不同的效果。,一阶RC网络的传递函数,电子放大器（输入阻抗无穷大）,
12、结构图是系统原理图与数学方程两者的结合，具有以下特性：是系统动态特性的一种数学模型，描述系统中各元件间的相互关系、系统中信号的传递和变换。脱离了物理系统的模型!是系统数学模型的图解形式!只能进行加减乘除运算。微分方程则要通过拉氏变换成代数方程，才能用结构图描述系统的动态特性。可以将复杂原理图简化，了解每个元部件对系统性能的影响。,说明,2.4.2 结构图的简化,复杂系统的方框图也复杂，结构图的简化可以将多环节，互相交叉的结构图转化为简单形式，简化前后系统传递函数不变。以下五种典型情况最常使用。,1、串联方框的简化,2、并联方框的简化,3、反馈连接方框的简化,5、引出点移动,4、比较点的移动,2
13、、并联方框的简化,多个方框并联，总传递函数等于各方框传递函数之代数和。,3、反馈连接方框的简化,C(s)=G(s)E(s) E(s)=R(s) H(s) C(s) C(s)=G(s)R(s) H(s)C(s) = G(s) R(s) G(s) H(s)C(s),4 比较点移动,比较点后移,C(s)=G(s)R(s)-B(s),移动前,5、引出点移动：,引出点前移：,移动前,C1(s)=G(s)R(s) C2(s)=G(s)R(s),移动前后输出是等效的,交换或合并相加点,C(s)=E1(s)+V2(s)= R(s)-V1(s)+V2(s)= R(s)+V2(s)-V1(s),动画演示,结构图的
14、基本形式,串 联,并 联,反 馈,结构图的基本形式,结构图等效变换方法,1 三种典型结构可直接用公式,2 相邻比较点可互换位置、可合并,3 相邻引出点可互换位置、可合并,注意事项：,1 不是典型结构不可直接用公式,2 引出点比较点相邻，不可互换位置,G1,G2,G3,H1,错！,无用功,G2,向同类移动,比较点移动,G1,引出点移动,G1,G2,G3,G4,H3,H2,H1,a,b,请你写出结果,行吗？,作用分解,例2.10 结构图化简。,(1) 结构图化简(例),动画,(2) 结构图化简例,等效为单位反馈系统,(4)其它等价法则,例2.11 双RC网络的结构图简化。,2.5信号流图与梅森公式
15、,2.5.1 信号流图信号流图源于梅逊（S. J. MASON），是利用图示法描述线性代数方程组的方法。根据统一的公式，可以比结构图更容易求得系统的传递函数。 组成: 信号流图由节点和支路组成 节点: 表示系统的变量或信号 支路: 连接两个节点的定向线段，用支路增益表示两个变量的关系。信号沿箭头单向传递。,通路：沿箭头方向穿过各相连支路的路径；,输入节点：只有输出节点，代表系统的输入量；,输出节点：只有输入节点，代表系统的输出量；,混合节点：有输入又有输出的节点；,基本性质,前向通路：输入到输出通路上通过任何节点仅一次的通路；,回路：起点终点重合，过任何节点仅一次的闭合通路；,不接触回路：相互
16、间没有任何公共节点的回路。,信号流图与结构图的对应关系 信号流图 结构图 源节点 输入信号 阱节点 输出信号 混合节点 比较点支路 环节 支路增益 环节传递函数 前向通路 回路 互不接回路,2.5.1 信号流图的绘制,小圆圈标出传递的信号，得到节点； 线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。,1. 结构图信号流图(信号流图结构图),节点只表示变量的相加。,例2.12 绘制结构图对应的信号流图(1) 。,系统信号流图,例2.13结构图 信号流图,控制系统结构图,例2.14信号流图结构图,将微分方程通过拉氏变换，得到S的代数方程；每个变量指定一个节点； 将方程按照变量的因果关系排列； 连接
17、各节点，并标明支路增益。,2. 由系统微分方程绘制信号流图,例2.15,绘制图示信号流图。,解：微分方程, 第k条前向通路的余子式(把与第i条前向通路接 触的回路去除，剩余回路构成的子特征式,2.5.3 梅森公式,Mason公式:, 特征式, 前向通路的条数, 第k条前向通路的总增益, 所有单独回路的回路增益之和, 两两互不接触回路的回路增益乘积之和, 互不接触回路中，每次取其中三个的回路增益乘积之和,解：三个回路,例2.16 已知系统信号流图，求传递函数。,两条前向通路,例 2.17 求C(s)/R(s),例 2.18 求C(s)/R(s),例 2.19 求C(s)/R(s),e,1,a,b
18、,c,d,f,g,h,C(s),R(s),C(s),R(s),=,1,+,+,信号流图,例 2.20,例 2.21 求C(s)/R(s),例 2.22 求C(s)/R(s),求R/C,例 2.23,例2.24 求 C(s)/R(s), C(s)/N(s),L1L2= (G1H1)(-G 2 H2 ),L1= G1H1,L2= G2H2,L3= G1G2H3,G1(s),G3(s),H1(s),G2(s),H3(s),H2(s),E(S),C(s)=,1,G3G2,+G1G2,+ G2,R(s) ,N(s),例2.25求C(s),(1-G1H1),+ G2H2,+ G1G2H3,- G1H1G2 H2,- G1H1,（1-G1H1）,控制系统的数学模型(第二章小结),本章内容到此 请同学们课下 好好复习！,
