1、第二章 离散控制系统,张秦艳,主要内容,2.1 离散系统基本概念 2.2 离散系统的差分方程描述 2.3 Z变换及反变换 2.4 线性离散系统的Z传递函数描述 2.5 线性离散系统的性能分析,2019/5/29,2,张秦艳,2.1 基本概念,离散系统 采样过程 量化过程 采样控制系统,2019/5/29,3,张秦艳,离散系统,离散量：在时间上不连续的物理量。 离散系统：只要有一个以上的物理量是离散量的控制系统。,H,G,2019/5/29,4,张秦艳,模拟量输入通道组成,工业装置,I/O 接 口 电 路,CPU,2019/5/29,5,张秦艳,采样过程,把时间连续的信号变成一连串不连续的脉冲时
2、间序列的过程称为采样过程或离散化过程。,2019/5/29,6,张秦艳,续,f(t）是时间上连续且幅值上也连续的信号; f*(t)是时间上离散而幅值上连续的离散模拟信号，因它是一连串的脉冲信号，又称为采样信号。 采样开关两次采样（闭合）的间隔时间T，称为采样周期，采样开关闭合的时间，称为采样时间。0,T,2T各时间点为采样时刻。采样后的f*(t)可描述为,2019/5/29,7,张秦艳,采样保持电路工作原理,2019/5/29,8,张秦艳,A/D转换引起的不确定误差,孔径时间 ：A/D转换器完成一次A/D转换所需的时间 。,2019/5/29,9,张秦艳,续1,令式中， 为正弦模拟信号的幅值；
3、f为信号频率。 A/D转换起始时刻: ; 结束时刻 ; 转换延迟所引起的误差是 。,2019/5/29,10,张秦艳,续2,可见， 时， 最大，孔径时间 一定，这时 就最大。 则有取 ，则得 时转换的不确定电压误差为 相对误差为,2019/5/29,11,张秦艳,结论,一个10位的AD转换器，若要求:转换精度为 孔径时间 则允许转换的正弦波模拟信号的最大频率为,2019/5/29,12,张秦艳,香农(Shannon)采样定理,其中 为信号所含的最高频率， 为采样频率。 工程上，一般取 ，过程惯量越大，系数越大。,2019/5/29,13,张秦艳,量化过程,所谓量化，就是采用一组数码(如二进制码
4、)来逼近离散模拟信号的幅值，并将其转换为数字信号。,2019/5/29,14,张秦艳,续,量化单位q是指量化后二进制数的最低位所对应的模拟量的值。设 和 分别为转换信号的最大值和最小值，则量化单位为式中：i转换后二进制数的位数。 例如，模拟信号 16V、 =0V，取i=4， 则q=1V,量化误差最大值 = 0.5V。,2019/5/29,15,张秦艳,量化值和编码的对应关系,2019/5/29,16,张秦艳,D/A转换器,D/A转换器,. ,通路1,通路n,模拟量输出通道,一个输出通路一个D/A转换器形式,共用D/A转换器形式,2019/5/29,17,张秦艳,r(t),+,-,b(t),负反
5、馈,测量元件,采样控制系统,计算机控制系统框图,系统中传递的信息既有数字的也有模拟的，称之为采样控制系统，以区别传递信息全为数字量的离散时间系统。,2019/5/29,18,张秦艳,2.2 离散系统的差分方程描述,差分方程 用差分方程描述离散系统 差分方程的解法,2019/5/29,19,张秦艳,差分方程,差分方程：用t时刻变量差值来代替微分方程中的变量微分所得到的方程。 当系统的微分方程为n阶时，则差分方程可写为一般形式：,式中,2019/5/29,20,张秦艳,举例,线性非时变离散系统 非线性定常离散系统 线性时变离散系统,2019/5/29,21,张秦艳,用差分方程描述离散系统,用差分方
6、程描述离散系统的过程就是建立该离散系统数学模型的过程。建立数学模型一般有两种方法：系统模型化系统辨识,2019/5/29,22,张秦艳,本息支付问题,开始时借人资金c(0)，欠款支付利息的利率每期为100%,现打算每期付相同款项r，N期还清本息。试建立欠款本息支付过程的数学模型，用以计算r设c(k)为第k期时的欠款。根据要求，第一期欠款为,第二期欠款为 。,第k期欠款为 这样，已知c(0)、N及c(N)=0，可从上式求解出r。,2019/5/29,23,张秦艳,例1,有两种解法： 1. 积分 2. 差分,2019/5/29,24,张秦艳,解法1,将上式两边分别从k到(k+1) 进行积分，可得:
7、,左右同除 ，等式右边换元 得:,左右同乘以 得:,2019/5/29,25,张秦艳,续1,有时为了强调是序列，而不是作为时间的变量则上式可改写为当 时， .#,设在 上 相当于在采样开关后记了一个一阶保持器，则,2019/5/29,26,张秦艳,解法2,令,则 整理得,2019/5/29,27,张秦艳,2.3 Z变换,Z变换的定义式 Z变换性质 Z反变换 用Z变换解差分方程,2019/5/29,28,张秦艳,已知 有拉氏变换定义式由广义脉冲函数 的性质：令 把 记作E(z) 定义Z变换为,Z变换的定义式,2019/5/29,29,张秦艳,Z变换与拉氏变换对比,2019/5/29,30,张秦艳
8、,Z变换方法,级数求和法 部分分式展开法 留数计算法,2019/5/29,31,张秦艳,级数求和法,级数求和法是根据z变换的定义式求函数e(t)的z变换。,2019/5/29,32,张秦艳,(1)单位脉冲函数,设 ，求z变换E(z)。因为 只有在t=0处值为1，其余均为零，所以有(4-28),2019/5/29,33,张秦艳,(2)单位阶跃信号,设e(t)=1(t)，求z变换E(z)。 (4-29)这是一个公比为 的等比级数，当 即 时，级数收敛,则式(4-29)可写成闭合形式 (4-30),2019/5/29,34,张秦艳,(3)单位理想脉冲序列,设 ，求z变换E(z)。（4-31）,201
9、9/5/29,35,张秦艳,(4)单位斜坡信号,设e(t)=t，求z变换E(z)。,由式(4-29),式(4-30)有(4-32),将式(4-32)两边对z求导数，并将和式与导数交换得,两边同乘(-Tz)得单位斜坡信号的z变换(4-33),2019/5/29,36,张秦艳,(5)指数函数,设 ,求z变换E(z)，a 为实常数。这是一个公比为 的等比级数，当 时，级数收敛，可写成闭合形式（4-35）,（4-34）,2019/5/29,37,张秦艳,(6)正弦信号,设 ，求z变换E(z) 因为 所以,2019/5/29,38,张秦艳,求取z变换的部分分式法,设 ，求 的z变换。此时可将E(s)进行
10、部分分式展开：,再求其拉氏反变换,再利用式(4-30)和式(4-35)得,(4-41),2019/5/29,39,张秦艳,Z变换表,2019/5/29,40,张秦艳,Z变换的主要运算定理,线性性质 初值定理 终值定理 脉冲序列平移定理1）右位移（延迟）定理2）左位移（超前）定理像函数位移定理,2019/5/29,41,张秦艳,续,脉冲序列加权的Z变换定理 像函数微分定理 差分的Z变换定理 求和的z变换定理 脉冲列的卷积定理,2019/5/29,42,张秦艳,Z反变换,定义常用方法： 综合除法:例4-7 部分分式展开法:例4-5，例4-6 留数计算法,2019/5/29,43,张秦艳,例4-7,
11、已知,试求其z反变换。 解,应用综合除法得,所以,2019/5/29,44,张秦艳,例4-6,已知Z变换 试利用部分分式法求其z反变换。,解： 的特征方程式为解得 为两重根。设可得为求 ，先将方程两边同乘 ，得,2019/5/29,45,张秦艳,再将上式两边对z求导，得所以 设T=1，查表得采样函数,2019/5/29,46,张秦艳,用Z变换法解差分方程,步骤：举例：例4-11,差分方程,以z为变量的代数方程,查表,X(z),Z反变换,X(k),代入初始值，整理,2019/5/29,47,张秦艳,用z变换法解下列差分方程：已知初始条件 。求解： 对方程两边进行z变换化简代入初始条件,例4-11
12、,2019/5/29,48,张秦艳,所以 查z反变换表得,2019/5/29,49,张秦艳,2.4 Z传递函数描述,1.Z传递函数定义 2.开环系统（或环节）的Z传递函数 3.闭环系统的Z传递函数 4.z变换的局限性和扩展Z变换 5.脉冲传递函数的求取,2019/5/29,50,张秦艳,1.Z传递函数定义,脉冲传递函数在零初始条件下，系统（或环节）输出离散信号的z变换式 与输入离散信号的z变换式 之比。,2019/5/29,51,张秦艳,1）Z传递函数的推导,推导思路是：先求出连续部分之理想脉冲序列作用下的连续输出，即从r*(t)求出c(t)，然后再对c(t)采样求出c*(t)及其z变换，最后
13、得出,2019/5/29,52,张秦艳,因为则取任意时刻 t=kT,则上式成为两边同乘 ，并k对取和式得式（4-79）,2019/5/29,53,张秦艳,上式右端各项可分别写为 第一项：第二项：因为当时t0，g(t)=0，所以g(-T)=0，由此同理第三项为,2019/5/29,54,张秦艳,下面各项以此类推，将上面各项代回式（4-79）并整理后得,由z变换定义式得,即,这就是开环系统的Z传递函数，由式（4-80）知,（4-80）,所以Z传递函数 ,就是连续系统脉冲响应函数 经采样后 的z变换。,2019/5/29,55,张秦艳,2）求Z传递函数的步骤,1）先求出系统连续部分的传递函数 。 2
14、）对 进行拉氏反变换，求出连续系统脉冲响应函数 。 3）对 采样，求出离散系统脉冲响应函数4)求离散系统脉冲响应函数 的 变换，即求出 传递函数,2019/5/29,56,张秦艳,例4-13,设计算机控制系统的被控对象的传递函数是试求连续部分的 传递函数。有两种解法：1. 先求模拟传函，然用部分分式法，查表求每一部分的z变换。2. 由模拟传函求脉冲响应函数，再由位移定理求出每一部分的时间函数，再由z变换定义式进行z变换。,2019/5/29,57,张秦艳,解法1 系统的连续部分应包括零阶保持器，因此传递函数为求其z传递函数根据z变换的线性定理和实位移（延迟）定理 有,2019/5/29,58,
15、张秦艳,由此可见， 可简单地提到z变换符号之外，变换成 将 展开成部分分式，在查z变换表得,2019/5/29,59,张秦艳,解法2 先求出 的连续脉冲响应函数 。,利用位移定理求出,所以,2019/5/29,60,张秦艳,求 的z变换，并应用延迟定理，得,2019/5/29,61,张秦艳,3）串联环节的z传递函数,G1(s),G2(s),4-4a （相隔）,2019/5/29,62,张秦艳,G1(s),G2(s),4-4b （相联）,2019/5/29,63,张秦艳,例（P111）,设,对于图4-4a所示开环系统，其z传递函数而图4-4b所示开环系统，其z传递函数很明显,2019/5/29,
16、64,张秦艳,4）有零阶保持器的开环系统Z传递函数,结论：G(z)的极点数及其分布情况只决定于GP(s)而和零阶保持器无关。,2019/5/29,65,张秦艳,所以，开环系统z传递函数,在控制系统中常见的情况为 是s的有理分式，无重极点，且含有一个s = 0的极点，即,证明：,2019/5/29,66,张秦艳,式中,从z变换表可找出相应的z变换,于是，开环系统的z传递函数为,2019/5/29,67,张秦艳,3.闭环系统的z传递函数,推导 d306, d307,2019/5/29,68,张秦艳,推导,对上式进行z变换有：,于是由闭环脉冲传递函数定义式有：,2019/5/29,69,张秦艳,典型
17、闭环离散系统方块图P117表4-3,1. 系统的环节相同，但采样开关的个数或位置不同，则系统的闭环脉冲传递函数(或C(z)将是不同的。如表中的插图1、3及插图 6、7。 2. 表中图2,5和6所示系统的输出信号C(z)中不包含R(z)，因此，该系统得不出闭环传递函数，只能以C(z)表示。,2019/5/29,70,张秦艳,4.Z变换的局限性和扩展z变换,1）z变换的局限性实际的开环或闭环采样系统，其输出大多是连续信号c(t)而不是采样信号c*(t)。而用一般的z变换只能求出采样输出c*(t)，它不能反映采样间隔内的c(t)值。,2019/5/29,71,张秦艳,例4-18,设开环采样系统如图所
18、示， ，采样周期 ，试比较 与 。,2019/5/29,72,张秦艳,所以,代入 得,用幂级数法求得,于是,2019/5/29,73,张秦艳,作出c*(t)曲线如图所示,2019/5/29,74,张秦艳,现在我们用拉氏变换法，求环节1/(s+1)在理想脉冲序列 作用下的连续输出c(t)。因为所以 而 对上式进行拉氏反变换，并考虑到延迟定理有,2019/5/29,75,张秦艳,作出c(t)曲线如图所示,2019/5/29,76,张秦艳,比较图4-14和图4-15，看出连续信号c(t)在采样瞬时呈现跳跃，即,其原因是由于连续环节1/(s+1)只能平滑阶跃输入，而不能平滑脉冲输入，所以在采样点处出现
19、跳变。如果连续环节改为1/s(s+1)，那么就能平滑冲击输入，或在1/(s+1)前面加一零阶保持器，使脉冲输入转换为矩形脉冲输入，这样1/(s+1)的输出就不会产生跳变。由此得出结论，当连续部分的输入直接为理想脉冲串(即冲击序列)时，其传递函数必须满足极点数比零点数多两个以上，即满足条件,2019/5/29,77,张秦艳,2）扩展z变换,扩展z变换法由于能够计算区间(k-1)TtkT之间的e(t)值，因而缓和了在z变换中的限制。1)对象具有延迟环节的系统的z变换： 这里是指延迟环节的延迟时间不是采样周期的整数倍的系统。,2019/5/29,78,张秦艳,设某系统的传递函数为G(s)，其单位脉冲
20、响应为g(t)。显然,当系统含有延迟环节时，如图4-16b所示，系统的传递函数记为,其中0l1,为方便计算，令m=1-,(4-99),，则式(4-99)成为,2019/5/29,79,张秦艳,g(t-(1-m)T)的采样序列应为,当k=0时，(mT-T)0，g(m T-T)=0，故,对上式进行拉氏变换，得延迟系统的传递函数,令,，则系统的z传递函数为,该式即为系统具有时间为(1-m)T的延迟环节的扩展z变换。,2019/5/29,80,张秦艳,2)若假设延迟环节具有负延迟(超前)，则,按照求G(z，m)相同的方法，可求得,2019/5/29,81,张秦艳,解,现在求,例4-19 求图4-17所
21、示系统的闭环z传递函数。,2019/5/29,82,张秦艳,由于,，所以,，因此是求,，,的扩展z变换，不难得出,所以,2019/5/29,83,张秦艳,5.脉冲传递函数的求取,1.由差分方程求取用Z变换，补充例1d301 2.由微分方程求取先转化为差分方程，照1做,补充例2d303 3.由G(s)求取(两种方法)1)先转换为微分方程，照2做2)G(s) g(t)G(z),补充例3d304,2019/5/29,84,张秦艳,例1,已知某离散系统的差分方程为且 ， ，求 解：对上式进行z变换将上两式代入原式有,2019/5/29,85,张秦艳,以初始条件 ， 代入上式有由上式有查表得所以,201
22、9/5/29,86,张秦艳,例2,求数字PID调节器的脉冲传递函数 已知PID调节器的微分方程为其传递函数为现将它离散化，并求取对应的脉冲传递函数便可将微分方程 写成如下的差分方程,2019/5/29,87,张秦艳,对上式进行z变换有于是积分环节的脉冲传递函数可写成于是PID调节器的积分部分的脉冲传递函数,2019/5/29,88,张秦艳,微分部分e(t)在t=KT时刻的导数可近似用下列差分方程来代替对上式进行z变换，即可得微分部分的脉冲传递函数PID调节器的脉冲传递函数，根据线性定理可写成,2019/5/29,89,张秦艳,例3,求系统连续部分的脉冲传递函数G(z) 设被控对象的传递函数解：
23、连续部分的传递函数,2019/5/29,90,张秦艳,由z变换的线性定理和延迟定理，可得将代入前式有,2019/5/29,91,张秦艳,(一)S平面到Z平面的变换1.S平面上的 在Z平面上的映射 图4-212.S域主副频带在Z域的映射关系(1)主频带在Z域的映射 图4-22(2)副频带在Z域的映射 图4-233.S左半平面在Z域的映射 图4-244.S右半平面在Z域的映射 图4-25 (二)朱利-阿斯特隆姆稳定判据 例4-29 (三)二阶离散系统的稳定判据 例4-32 (四)离散系统稳定性的劳斯-霍尔维茨稳定判据例4-33,2.5 线性离散系统的稳定性分析,2019/5/29,92,张秦艳,1
24、.S平面上的 在Z平面上的映射,2019/5/29,93,张秦艳,2. (1)主频带在Z域的映射,2019/5/29,94,张秦艳,2. (2)副频带在Z域的映射,2019/5/29,95,张秦艳,3.S左半平面在Z域的映射,2019/5/29,96,张秦艳,4.S右半平面在Z域的映射,2019/5/29,97,张秦艳,设线性定常离散系统的特征方程为:,第一行系数，用特征方程的高次幂系数到低次幂系数顺序排列； 第二行系数，是将上行系数倒序排列而成； 第三行系数，采用以下公式求得(4-150) 即表中第三行系数为,朱利-阿斯特隆姆稳定判据,2019/5/29,98,张秦艳,显然，算至最后一个系数
25、 必定为零，即这样，每经过一次这样的运算，系数就少掉一个。第四行系数，是第三行系数的倒序排列，也即所有偶数行的系数都是上一奇数行系数的倒序排列。第五行系数的算法又类似于第三行，即采用如下公式(4-151),2019/5/29,99,张秦艳,即即最后一个系数为零，又少掉了一个系数。,2019/5/29,100,张秦艳,2019/5/29,101,张秦艳,朱利-阿斯特隆姆稳定判据：离散系统特征方程（4-149）的所有根都在Z平面单位圆内的充分必要条件为，朱利表中所有奇数行第一列系数均大于零。即如果有小于零的系数，其个数表明特征方程的根在Z平面单位圆外的个数,2019/5/29,102,张秦艳,例4
26、-29,离散系统的特征方程,试判别系统的稳定性。解： 按前述方法构造朱利表1 -3 +2.25 -0.5 -) -0.5 2.25 -3 1 0.75 -1.875 0.75 0.75 -1.875 0.750 当算到第5行，发现首列系数已为零，已不满足朱利判据，可断定系统不稳定。,2019/5/29,103,张秦艳,例4-32,二阶离散系统稳定的充分必要条件为：,设线性定常离散系统的结构如图，若取开环增益K=1，试比较T=1s和T=4s时系统的稳定性,2019/5/29,104,张秦艳,解： 在例4-31开环传递函数G(z)的公式中代入K=1，并考虑到闭环特征方程A(z)=1+G(z)=0,
27、经整理得闭环特征方程,即或T=1时，闭环系统的特征方程为,直接解上式，得一对特征根为,2019/5/29,105,张秦艳,所以 可见， 和 位于单位圆内，所以系统是稳定的。 由稳定判据：A(0)=0.6320,A(-1)=2.6320,也能判定该系统是稳定的。T=4时，闭环系统的特征方程为直接解上式，得特征根为 显然 ，即 位于单位圆外，所以系统不稳定。由稳定判据：A(0)=0.927,A(1)=3.927A(-1)=-0.0730，可知该系统不稳定。由上例可见，当采样周期大到一定程度后，系统就可能出现不稳定,2019/5/29,106,张秦艳,步骤如下： 1）求出离散系统的闭环特征方程 2）
28、进行 变换，求出3）应用劳斯-霍尔维茨稳定判据，判别稳定性 若系数 的符号不相同，则系统不稳定 建立劳斯-霍尔维茨计算表,劳斯-霍尔维茨稳定判据,2019/5/29,107,张秦艳,其中,2019/5/29,108,张秦艳,若上述计算表中第一列各元素均为正，则所有特征根均在 平面的左半平面，闭环系统稳定。若上述计算表中第一列出现负数，则闭环系统不稳定，第一列元素符号变化的次数，表示右半平面上特征根的个数。,2019/5/29,109,张秦艳,例4-33,用劳斯-霍尔维茨判据确定图中系统增益k的范围,解 已得闭环系统的特征方程，即,令 代入方程并整理得,2019/5/29,110,张秦艳,建立劳斯-霍尔维茨计算表2.736-0.104K 0.632K1.264-0.528K 00.632K 要使系统稳定，必须使该计算表中第一列各元素均为正，故有取三者的公共区，即0K2.39，则可保证系统稳定。,2019/5/29,111,张秦艳,作业2,自动控制原理与系统(第2版)孔凡才 d316 （12-7）已知,，试求F(z).,(12-13）已知采样周期T=0.05，试判断此离散系统的稳定性。,T=0.05s,C(s),+-,2019/5/29,112,张秦艳,
