1、第五章 控制系统的频域分析,1 频率特性 2 频率特性的极坐标图 3 频率特性的对数坐标图 4 乃奎斯特稳定判据和相对稳定性 5 闭环频率特性与系统动态性能的关系,5.4 乃奎斯特稳定判据和相对稳定性,一、乃奎斯特稳定判据基本原理,奈魁斯特稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。,设负反馈系统的开环传递函数为： ，其中： 为前向通道传递函数， 为反馈通道传递函数。,闭环传递函数为： ，如下图所示：,令：,显然，辅助方程即是闭环特征方程。其阶数为n阶，且分子分母同阶。则辅助方程可写成以下形
2、式：,。式中， 为F(s)的零、极点。,由上述公式可以看出： F(s)的极点为开环传递函数的极点； F(s)的零点为闭环传递函数的极点；,将闭环特征方程与开环特征方程之比构成一个辅助方程，得：,F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点 都可以在F(s)平面上找到一个相应的点 ， 称为 在F(s)平面上的映射。,同样，对于s平面上任意一条不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线 ，也可在F(s)平面上找到一条与之相对应的封闭曲线 （为 的映射）。,例辅助方程为： ，则s平面上 点（-1，j1），映射 到F(s)平面上的点 为（0，-j1
3、）,见下图：,同样我们还可以发现以下事实：s平面上 曲线 映射到F(s)平面的曲线为 ，如下图：,曲线 是顺时针运动的，且包围了F(s)的一个极点（0），不包围其零点（-2）；曲线 包围原点，且逆时针运动。,再进一步试探，发现：若 顺时针包围F(s)的一个极点（0）和一个零点（-2），则 不包围原点顺时针运动；若 顺时针只包围F(s)的一个零点（-2），则 包围原点且顺时针运动。,这里有一定的规律，就是下面介绍的柯西幅角定理。,柯西幅角定理：s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线 包围s平面上F(s)的z个零点和p个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线 移动一周时，在F(s)平面上相对应于封闭
4、曲线 将以顺时针方向绕原点旋转N圈。N，z，p的关系为：N= p-z 。,若N为正，表示 逆时针运动，包围原点；,若N为0，表示 不包围原点；,若N为负，表示 顺时针运动，包围原点。,二、乃奎斯特稳定判据：,对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的辅助方程 ，其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的的零点在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。,我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此开环频率特性是已知的。设想：,如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯西幅角定理知
5、：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次数应为：当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。,这里需要解决两个问题： 1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西幅角条件的？ 2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环频率特性 相联系？,它可分为三部分：部分是正虚轴， 部分是右半平面上半径为无穷大的半圆；从 ；部分是负虚轴， 。,第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线 包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈魁斯特路径。如下图：,F(s)平面上的映射是这样得到的：以 代入F(s)并令 从 变化，得第一部分的映射
6、；在F(s)中取 使角度由， 得第二部分的映射；令 从 ，得第三部分 的映射。稍后将介绍具体求法。,得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算 ，式中： 是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。确定了N，可求出 。当 时，系统稳定；否则不稳定。,第2个问题：辅助方程与开环频率特性的关系。我们所构造的的辅助方程为 ， 为开环频率特性。因此，有以下三点是明显的：,F(s)对原点的包围，相当于 对(-1,j0)的包围；因此映射曲线F(s)对原点的包围次数N与 对(-1,j0)点的包围的次数一样。,奈魁斯特路径的第部分的映射是 曲线向右移1；第部分的映射对应 ，即F(s)=1;第部分的映射是第部分映射的关
7、于实轴的对称。,F(s)的极点就是 的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就是 在右半平面的极点数。,由 可求得 ，而 是开环频率特性。一般在 中，分母阶数比分子阶数高，所以当 时， ，即F(s)=1。（对应于映射曲线第部分）,F(s)与 的关系图,根据上面的讨论，如果将柯西幅角定理中的封闭曲线取奈魁斯特路径，则可将柯西幅角定理用于判断闭环控制系统的稳定性。就是下面所述的乃奎斯特稳定判据。,乃奎斯特稳定判据：若系统的开环传递函数在右半平面上有 个极点，且开环频率特性曲线对(-1,j0)点包围的次数为N，（N0逆时针，N0顺时针），则闭环系统在右半平面的极点数为： 。若 ，则闭环系统稳定，否则不
8、稳定。,乃奎斯特稳定判据的另一种描述：设开环系统传递函数 在右半 s平面上的极点数为 ，则闭环系统稳定的充要条件为：在 平面上的开环频率特性曲线极其映射当 从 变化到 时，将以逆时针的方向围绕(-1,j0)点 圈。对于开环系统稳定的情况， ，则闭环系统稳定的充要条件是开环频率特性曲线极其映射不包围(-1,j0)点。不稳定的闭环系统在s右半平面的极点数为： 。,例5-1 设闭环系统的开环传递函数为：,的轨迹如图所示。,在右半s平面内没有任何极点，并且,的轨迹不包围 。,所以对于任何的值，该系统都是稳定的。,解：,例5-2 设开环系统传递函数为： ，试用乃氏判据判断闭环系统的稳定性。,解：开环极点
9、为-1， -1 j2，都在s左半平面，所以 。奈氏图如右。从图中可以看出：奈氏图顺时针围绕 (-1,j2)点2圈。所以闭环系统在s右半极点数为： ，闭环系统是不稳定的。,上面讨论的乃奎斯特判据和例子，都是假设虚轴上没有开环极点，即开环系统都是0型的，这是为了满足柯西幅角定理的条件。但是对于、型的开环系统，由于在虚轴上（原点）有极点，因此不能使用柯西幅角定理来判定闭环系统的稳定性。为了解决这一问题，需要重构乃奎斯特路径。,含有位于虚轴上极点和/或零点的特殊情况,运动到 。,在右半s平面内没有极点，并且对所有的正K值，轨迹包围,点两次。所以函数,在右半s平面内存,在两个零点。因此，系统是不稳定的。
10、,例5-3 (课本123页例题)判别具有如下开环传递函数的闭环,系统的稳定性:,(1),(2),例5-3(1) 开环对数频率特性,解：(2),分别取 和 两种情况绘制增补开环频率特性曲线如图所示。,（a),在图(a)中， 曲线没有包围（-1, j0）点(N=0)，而且开环系统在右半 s 平面无极点（P=0），所以闭环系统是稳定的。,在图(b)中， 曲线顺时针包围（-1, j0）点两次(N=-2)，开环系统在右半 s 平面无极点（P=0），根据 Z=P-N 得到 Z=2，即闭环系统有两个极点位于右半平面。,（b),练习,1、已知系统开环幅相频率特性如下图所示，试根据奈氏判据判别系统的 稳定性,并
11、说明闭环右半平面的极点个数。其中P为开环传递函数在s右半 平面极点数，Q为开环系统积分环节的个数。,三、相对稳定性,当频率特性曲线穿过(-1,j0)点时，系统处于临界稳定状态。这时： 。对于最小相位系统，可以用 和 来表示频率特性曲线接近(-1,j0)点的程度，或称为稳定裕度。稳定裕度越大，稳定性越好。,定义： 和 为幅值稳定裕度和相位稳定裕度。,在对数坐标图上，用 表示 的分贝值。即,课本126页例题对应的对数频率特性曲线,稳定裕度概念使用时的局限性： 1、在高阶系统中，奈氏图中幅值为的点或相角为-180度的点可能不止一个，这时使用幅值和相位稳定裕度可能会出现歧义； 2、非最小相位系统不能使
12、用该定义； 3、有时幅值和相位稳定裕度都满足，但仍有部分曲线很靠近(-1,j0)点，这时闭环系统的稳定性依然不好。如下图所示系统：,5.4 乃奎斯特稳定判据和相对稳定性,1、二阶系统阶跃瞬态响应与频率响应之间的关系,典型二阶系统方框图如下图所示,开环传递函数为：,开环频率特性为：,设截止频率为,则有,可求得增益交界频率为,根据相位裕度的定义,上式说明相位裕度仅仅与阻尼比有关。,即：,二阶系统的相位裕度与阻尼比之间的关系,相位裕度与阻尼比直接相关。上图表示了相位裕度与阻尼比的函数关系。对于标准二阶系统，相位裕度与阻尼比之间的关系近似地用直线表示如下：,因此，相位裕度相当于阻尼比。对于具有一对主导
13、极点的高阶系统，当根据频率响应估计瞬态响应中的相对稳定性（即阻尼比）时，根据经验，可以应用这个公式。,对于小的阻尼比，谐振频率与阻尼自然频率的值几乎是相同的。因此，对于小的阻尼比，谐振频率的值表征了系统瞬态响应的速度。,Mr,Mp,截止频率与系统带宽,参看右图，当闭环频率响应的幅值下降到零频率值以下3分贝时，对应的频率称为截止频率。,对应的,系统,2、截止频率带宽,闭环系统滤掉频率大于截止频率的信号分量，但是可以使频率低于截止频率的信号分量通过。闭环系统的幅值不低于-3分贝时，对应的频率范围称为系统的带宽。带宽表示了这样一个频率，从此频率开始，增益将从其低频时的幅值开始下降。,一阶系统的带宽为其时间常数的倒数。二阶系统，闭环传递函数为,因为,，由带宽的定义得,于是,带宽指标取决于下列因素：1、对输入信号的再现能力。大的带宽相应于小的上升时间，即相应于快速特性。粗略地说，带宽与响应速度成反比。2、对高频噪声必要的滤波特性。为了使系统能够精确地跟踪任意输入信号，系统必须具有大的带宽。但是，从噪声的观点来看，带宽不应当太大。因此，对带宽的要求是矛盾的，好的设计通常需要折衷考虑。具有大带宽的系统需要高性能的元件，因此，元件的成本通常随着带宽的增加而增大。,结束,第五章 完,
