1、1,第四章 分析模型,第一节 分析模型的概念 第二节系统建模原则与步骤 第三节 权重有向图 第四节 机理法 第五节 状态空间模型,2,第一节 分析模型的概念,模型两种基本形式 系统模型的主要特征和功能 数学模型与数学方法 建立模型的方法论原则和方法 建立模型的步骤,3,模型两种基本形式,模型的定义：在结构等重要方面和所研究的系统相似的，真实的或想象的系统模型。它往往能为大范围的观察事实提供解释。 物质形式的模型 思维形式的模型,4,物质形式的模型,实物模型：对要研究的客体，按照一定的研究目的，寻找一种天然存在的具有相似性的实物或者人工地制造一种具有相似形的实物，作为原形客体的实际模拟物，即实物
2、模型。运用这种实物模型，进行模拟实验或模型实验，以获取关于客体的某种规律性认识。 天然模型：以天然存在物作为模型。最为典型和运用得最多的就是生物模型。 人工模型，即以人工制作物作为模型,5,思维形式的模型,对要研究的对象，按照一定的研究目的，经过科学的分析而抽象出它的本质属性 特征，构造一种思维形式的模拟物，即思维模型，常表现为抽象的、数学的、理论的形 态。 （1）理想模型：是对研究对象的一种简化和理想化。 （2）数学模型： （3）理论模型： （4）半经验半理论模型：,6,系统模型的主要特征,一个通用的系统模型应具有如下的三个特征： （1）是实际系统的合理抽象和有效的模仿； （2）由反映系统本
3、质或特征的主要因素构成； （3）表明了有关因素之间的逻辑关系或定量关系,7,模型的多重功能,1）科学模型的研究纲领作用； 2）科学研究的间接方法； 3）思维模型可以起到思想实验的目的。思想实验实际上是思维操作亦即逻辑推理的结果。 是实际实验的逻辑补充。 4）模型是研究复杂系统的关键。 5）模型研究对实践的指导作用。,8,模型的多样性和有限性（模型构建）,1）多样性 2 ）局限性：过于简化,9,数学模型与数学方法,数学方法及其特点 数学方法在科学认识中的作用 数学方法的应用 数学模型的优点 数学模型方法,10,数学方法及其特点,1）数学方法概念：是指以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学语言表
4、达事物的状态、关系和过程，经推导、演算和分析，以形成解释、判断和预言的方法。 2）数学方法的特征： 高度的抽象性； 数学方法具有严密的逻辑性； 数学方法具有应用的广泛性。,11,数学方法在科学认识中的作用,1 ）为科学技术研究提供简洁精确的形式化语言 2）为科学技术研究提供数量分析和计算的方法 3 ）为科学研究提供逻辑推理的工具,12,数学方法的应用,数学模型方法 数学实验（计算机仿真）方法,13,数学模型的优点,（1）它是定量分析的基础。 （2）它是系统预测和决策的工具。 （3）它可变性好，适应性强，分析问题速度快，省时省力，而且便于使用计算机。,14,数学模型方法,数学模型是对于某个特定对
5、象或一定问题，采用形式化数学语言来描述其特征及数量相依关系的一种数学结构，它是一组数学关系式或一套具体的数学算法。 确定性数学模型； 随机性数学模型； 模糊性数学模型； 突变性数学模型。,15,数学实验（计算机仿真）方法,即这所要研究问题的数学模型，转换为能输入计算机进行数值运算的形式，或直接建立计算机仿真模型，在计算机上通过系统地变换参数作大量数值计算。,16,系统建模原则与步骤,系统建模原则 步骤,17,变量类型,对模型起作用但是不属于模型描述范围的因素,模型所研究的因素,18,系统建模要求,相似性与简单性的统一。要求具有本质上的相似性。 可验证性。 多种知识和方法的综合运用,19,系统建
6、模原则,1、现实性 2、简明性 3、标准化,20,数学模型建模程序,21,建立系统模型的方法,1、直接分析法 利用自然科学或社会科学的已知规律直接分析系统要素间的结构关系。 2、数据分析法 利用反映系统功能或特征的某些数据，经过分析后揭示系统要素间的未知结构关系，再进一步建立系统模型。 3、比拟思考法 寻找与所研究系统有本质共性的另一系统, 把后者作为模型的方法称比拟思考法。,22,系统建模所必需的素质,（1）对客观事物或过程能透过现象看本质，对问题有深刻的理解，有清楚的层次感和明确的轮廓。 （2）在数学方面应有基本的训练，具有一定的数学修养，并且掌握一套数学的方法。 （3）具有把实际问题与数
7、学联系起来的能力，善于把各种现象中的表面差异撇去，而将本质的共性提练出来。这种能力在书本上是很难学到的，应该从实践中学，边干边学，逐步积累和培养这种能力。,23,权重有向图模型,权重有向图模型是常用建模工具 有向图 权重有向图 邻接矩阵 可达矩阵,24,能源需求模型,1 能源供给 2 价格 3 能源需求 4 人口,25,预测城市人口流动状况及结果。5个节点分别代表5个城镇，节点i到节点j的权重为Pij（代表一年内i镇居民流向j镇的概率）。任何城镇居民不是继续留在本镇就是流向其他城镇。,26,传递矩阵P pij=p（j/i） 马尔可夫链 概率向量 概率矩阵,27,机理法,机理法是研究系统运行机理
8、的基础上提出假设，然后建构模型,28,连锁信,张三，北京 李四，上海 王二，天津 张龙，深圳 赵虎，厦门 王朝，杭州,李四，上海 王二，天津 张龙，深圳 赵虎，厦门 王朝，杭州 马汉，南京,5份,29,K=0 y(0)=1 马汉 1毛钱 K=1 y(1)=5 马汉的朋友 K=2 y(2)=5y(1) 马汉的朋友的朋友,y(6)=5y(5),1562.5元钱,y(k+1)=5y(k),通解,y(k)=y(0)5k,K=6,30,思考题：,The Da Vinci Code中提到的Fibonacci数列应该如何建模？Fibonacci数列为：1，1，2，3，5，8，13,31,连锁信模型的推广,手
9、机短信 邮件病毒的扩散 经济邪教：传销,32,安利的传销,理查狄维士，荷兰人后裔。二战期间服过兵役，年轻时创办飞行训练学校，经营租船公司、汽车快餐店等生意，积累了丰富的商业经验。后来成为纽崔莱营养食品公司成功的推销员领袖。理查.狄维士与杰.温安洛于1959年在温安洛家的地下室里创建了安利公司，研发了一系列具环保特性的家居日用品，利用原有的推销人员渠道获得成功。,33,传销模型,传销对象： 潜在期 传销期 脱离期,34,基本假设,4类人员 潜在传销者（S） 传销者（I） 脱离者（R） 非传销者（L）,35,在人口固定（N）的某区域有：,36,假定传销人数变化率正比于传销者和潜在传销者的接触机会。
10、其中 为接触率,37,假定非传销者L(t)是个常数。 假定脱离人数的变化率正比于I值。其中 为脱离率,38,对其中的参数进行分析,39,食者-被食者模型 （Predator-Prey Model ）,有一座孤岛：狼吃羊 羊吃草,40,初始条件:,41,状态空间模型（数学模型）,两类系统及其相应状态空间系统方程 离散系统 连续系统,42,状态空间模型（数学模型）,状态：表示系统运行的特征属性的量。系统的状态随时间变化的。 状态变量：指状态中的每个变量，即能够完整的确定系统状态所必须的一组最少的变量。是系统状态的一种数学描述。,43,系统状态方程,连续系统系统方程离散系统系统方程,44,（二） 状
11、态空间模型例题,某电话公司第t年增加u(t)百万元的新资金，0.75u(t)用于安装交换设备，0.25 u(t)用于装设新的传输电缆，以增加长途通讯服务。每年对每1元的交换设备的价值，公司要损失20分，对每1元价值的电缆，公司要收益15分。收益将用于下一年购买更多的交换设备。试计算公司在第t年的总价值。,45,（二） 状态空间描述,请用矩阵形式表示状态方程与输出方程。,46,离散系统建模实例,考虑企业人才系统。某企业基年有技术员600人，助工800人，工程师200人，高工20人。各类人员每年平均脱离率（包括退休、调离、自然死亡等）分别为0.05, 0.06, 0.1和0.09。晋升率分别为技术
12、员每年晋升助工30%，助工晋升工程师20%，工程师晋升高工5%。请建立该系统动态人力资源模型（假定每年新分配来的大学生直接转入技术员）。,47,定常系统的状态空间模型求解,特征向量 特征值,48,分组人口模型,考虑人口中年龄的分布 将人口按照相同的年限，分成年龄组。（以5年为一组） 分组人口模型本身是一个离散时间的动态系统，其一个时间周期的宽度对应于基本的分组间距。,49,假设男女人口在分布上是相同的。仅仅考虑女性人口即可。 令 是在时间周期k时第i个年龄组的女性人口。 i从0到n。 如果不考虑死亡因素，则一个时间周期内第i个年龄组的成员将会全部转移到第i+1个年龄组。考虑了在给定年龄组内的死
13、亡率，这个转移的过程由一个幸存因子所衰减。,50,其中不能由上述方程确定的唯一的年龄组是： 这个年龄组是上一个周期内出生的，是上一个周期内成员的后代。 因此，这个年龄组的成员取决于上一个周期内各组成员的数量及出生率。有：,51,联立方程，就可以得到怎样由 求得 的系统方程。 这是一个动态与多变量系统结构相组合的例子。,52,连续系统建模（牛顿定律）,考察一质量为M的电车，沿直线轨道运动。假设在t时刻，车子沿轨道的位置用y(t)来表示，而作用于车子上的力与轨道平行并用u(t)来表示。则牛顿第二定律指出：,53,转换为状态方程的形式,定义状态变量：,54,由此得到：,55,转化为状态空间的形式：,
14、56,思考逐渐废弃问题,考察一个国家内某类型商品例如洗衣机的使用年限。假定家庭购买新洗衣机并一直使用它们到致命损坏或报废为止。因而，在任一时刻，全国都有一个不同老化程度的洗衣机的分布。,57,Natchez印第安人的社会结构,密西西比河下游的Natchez印第安人确立了一种巧妙的婚配制度，企图建立一种“开放”的阶级结构。社会分为统治阶级和平民（下等人），统治阶级分为太阳、贵族、高级官员三个等级。统治阶级成员只能与平民结婚。统治阶级的女性成员与男性平民结婚的后代继承母亲的阶级地位，而统治阶级的男性成员与女性平民结婚的后代，其阶级地位下降一级。,58,假定 每一代中，每个阶级的男性和女性人数相同 每人结婚且仅一次，并且与同代中人结婚 每对夫妇刚好一个儿子一个女儿,59,作业,某市场销售啤酒有甲、乙、丙三种品牌。4月份的市场占有率各为0.3、0.45、0.25。据抽样调查5月份消费者消费意向有所变化，见表。请用马尔可夫预测法，预测5月份甲、乙、丙牌啤酒市场占有率各是多少？ 若预计5月份该市啤酒总需求量为1200吨，甲、乙、丙牌啤酒各销售多少？ 若上述条件不变，预测6月份啤酒的市场占有率。,
