1、 第七章 稳恒电流的磁场 风怡湘 辛卯年7-1 磁场 磁感应强度 磁力线 磁通量一、磁感应强度大小： ， 方向：沿 方向（规定为沿磁场方向） 。qVFBmaxVFmax二、磁力线（1）磁力线是闭合的。这与静电场情况是截然不同的。磁场为涡旋场。（2）磁力线不能相交，因为各个场点 的方向唯一。B三、磁通量定义：通过某一面的电力线数称为通过该面的磁通量，用 表示。m（7-sdsm1）磁通量单位：SI 制中为 Wb（韦伯） 。对于闭合曲面，因为磁力线是闭合的，所以穿入闭合面和穿出闭合面的磁力线条数相等，故 ，0m即闭合曲面 （7-2）0sdBs此式是表示磁场重要特性的公式，称为磁场中高斯定理。7-2
2、毕奥沙伐尔定律一、毕奥沙伐尔定律（矢量式）（7-304rlIdB3）说明：（1）毕奥沙伐尔定律是一条实验定律。 （2） 是矢量，方向沿电流流向。lId（3）在电流元延长线上 。 （4）实验表明：迭加原理对磁感应强度也适用。整个导线在 P 点产生的0d为B（7-4）30rlIdBl二、磁场计算1、直载流导线设有一段直载流导线，电流强度为 I，P 点距导线为 a，求 P 点 =？B解：如图所示，在 AB 上距 O 点为 处取电流元 ， 在 P 点产生的 的大小为llIdd20sin4rdB，方向垂直指向纸面（ 方向） 。同样可知，AB 上所有电流元在 P 点产生的 方向均相同，所以 PBdlI B
3、点 的大小即等于下面的代数积分 20sin4rdAB，统一变量，由图知sniar)si(， actgctgl)(daadadl 222sinc)cs(2121 i4sini4020 IIB)co(0aI， B垂直指向纸面。讨论：（1） AB时， 01， 2， aI0。（2）对无限长（A 在 O 处） ， 2，B40。强调：（1） 要记住，做题时关键找出 、 、 。210cos4aI 12（2） 、 是电流方向与 P 点用 A、B 连线间夹角。122、薄金属板如图所示，一宽为 a 的薄金属板，其电流强度为 I 并均匀分布。试求在板平面内距板一边为 b 的 P 点的 。B解：取 P 为原点，x 轴
4、过平板所在平面且与板边垂直，在 x 处取窄条，视为无限长载流导线，它在点产生的方向为：垂直纸面向外，大小为 BdxdaI200（均匀分布）所有这样窄条在 P 点的 方向均相同，所以求 的大小可用下面代数积分进行：BBabIaIdbln00。强调：（1）无限长载流导线产生磁场 。2（2）迭加方法要明确。3、载流圆线圈如图所示，半径为 R 的载流圆线圈，电流为 I，求轴线上任一点 P 的磁感应强度 。B解：取 x 轴为线圈轴线，O 在线圈中心，电流元 在 P 点产生的 大小为ldd)2(4sin4020 rIlrIdlB设 纸面，则 在纸面内。 分成平行 x 轴分量 与垂直 x 轴分量 。在与 在
5、同一直径上ldB/BdlI的电流元 在 P 点产生的 、 ，由对称性可知， 与 相抵消，可见，线圈在 P 点产生垂直I/dx 轴的分量由于两两抵消而为零，故只有平行 x 轴分量。，0B23)(244sin4cosco030202020/ RxIrIRrdlIrdlIlRR 的方向沿 x 轴正向。B讨论：（1）x=0 处， 。20IB（2）xR， 。3R（3）线圈左侧轴线上任一点 方向仍向右。强调：N 匝线圈： 。230xNIB4、载流螺线管的磁场已知导线中电流为 I，螺线管单位长度上有 n 匝线圈，并且线圈密绕，求螺线管轴线上任一点的 。B解：如图所示，螺线管的纵剖图。此剖面图设在纸面内。在距
6、 P 点为 x 处取长为 ， 上含线圈为 。dxndx因为螺线管上线圈饶得很密，所以， 段相当于一个圆电流，电流强度为 。因此宽为 的圆线圈产生dxIn的 大小为：Bd 2323 )()(00RInxRdI。所有线圈在 P 点产生的 均向右，所以 P 点 为BB，ABRxdInI2121)(2)(2020ctgs，)cos(2 sin12120 0322 2 In dRId讨论：螺线管无限长时， ， 2， costIB0。半无限长：如 B 在无穷远处，A 轴线上的一点有 ， ， 。102n15、如图所示，在纸面上有一闭合回路，它由半径为 R、 2的半圆及在直径上的二直线段组成，电流为 I。求（
7、1）c 圆心 O 处 ？ (2)若小半圆绕 AB 转 180，此时 O 处 ？0B 0解：由磁场的迭加性知，任一点 是由二半圆及直线段部分在该点产生的磁感应强度矢量和。此题中，因为O在直线段沿长线上，故直线段在 O 处不产生磁场。(1)小线圈在 O 处产生的磁场大小为： （每长度相等的圆弧在 O 处产生的磁场大小相同） ；1002RIB小方向：垂直纸面向外。大线圈在 O 处产生的磁场大小为： ；方向：垂直纸面向里。200I大14200RIB大小方向：垂直纸面向外。(2) ,可知大大 小小 0，、 均垂直纸面向里。小0B大方向：垂直纸面向里。1420 RI大小7-3 运动电荷的磁场运动电荷的磁场
8、 （7-5）304rVqB例、设电量为+q 的粒子，以角速度 做半径为 R 的匀速圆周运动，求在圆心处产生的 。B解：按 ，运动电荷产生的 为30 B，4rVqB大小为： 。 r=R， ， 。B302sinRRq40方向：垂直纸面向外。用圆电流产生 的公式，由电荷运动，则形成电流。在此，+q 形成的电流流线与+q 运动的轨迹（圆周）重合，且电流为逆时针方向，相当于一个平面圆形载流线圈。可知， 的方向垂直纸面向外。根据平面圆形载B流线圈在其中心产生 的大小公式，可求出 的大小。BB设运动频率为 f，可有2qIRqI40。7-4 安培环路定律安培环路定律（7-6）内LLIldB0表明： 沿一个回路
9、积分等于此回路内包围电流的代数和的 倍。 0说明：（1）如果 不是平面曲线，载流导线不是直线，上式也成立。l（2） ，说明了磁场为非保守场（涡旋场） 。内LLId0（3）安培环路定律只说明 仅与 L 内电流有关，而与 L 外电流无关。对于 B是 内外所有电ldB l流产生的共同结果。1、求如右图情况 =？ldBL解：由安培环路定律有：。00内LLIl )2(1I2、无限长均匀载流直导体有一无限长均匀载流直导体，半径为 R，电流为 I 均匀分布，求 分布。B解：由题意知，磁场是关于导体轴线对称的。磁力线是在垂直于该轴平面上以此轴上点为圆心的一系列同心圆周，在每一个圆周上 B的大小是相同的。（1）
10、导体内 P 处 =？B过 P 点做以 a 为圆心半径为 的圆周，aP 与轴垂直，ar安培环路定律为（取过 P 点的一电力线为回路 1L）内110LLIld可知 ,PLrBdllcosB21111 202001 RrIIPPL内20RI即 。Pr2方向如图所示（与轴及 P垂直） 。（2）导体外任一点 Q 处 =？B过 Q 点做以 O 为圆心， 为半径的圆周，圆周平面垂直导体轴线，安培环路定律为：r内220LLIld可有： ， ，Q2IL002内。 方向如图所示（与轴线及 垂直） 。QrIB0 Pr3、螺绕环如图所示，匀密地绕在圆环上的一组圆形线圈，形成螺线管。设环上导线共 N 匝，电流为 I，求
11、环内任一点=？解：如果螺线管上导线绕的很密，则全部磁场都集中在管内，磁力线是一系列圆周，圆心都在螺线管的对称轴上。由于对称之故，在同一磁力线上各点的 B的大小是相同的。下面给出了螺线管过中心的剖面图。取 P 所在磁力线为积分路径 ，l内ll IdB02可知： ，ldcoslll NIIl 000内即 lB，方向在纸面内垂直 OP. lNIBP0讨论：（1）因为 r 不同时， 不同，所以不同半径 r 处 大小不同。l B（2）当 L 表示环形螺线管中心线的周长时，则在此圆周上各点 B 的大小为 ，nILN00为单位长度上的匝数。n（3）如果环外半径与内半径之差0， 沿 方向；q0， 沿FBVF反
12、方向。B（2） 时， ； 时， 。/V0FBVmaxVqF（3）因为 ，所以， 对带电粒子不做功。（4）在均匀磁场中， ：做圆周运动； 与 既不平行，也不垂直：做螺旋运动。B（5）在电磁场中运动电荷受力公式为：，qEBVF即 。)(9-7 磁场对载流导体的作用一、安培定律实验表明，载流导体在磁场中受磁场的作用力，而磁场对载流导体的这种作用规律是安培以实验总结出来的，故该力称为安培力，该作用规律称为安培定律。二、安培定律的数学表述电流元受力（7-8）BlIdF此式为安培定律的数学表达式方 向沿方 向 ：大 小 ： lsinFd说明：（1） 。0IdB/l（2）对任意形状的载流导线和任意的磁场，
13、都成立。对于一段导线受力可表示为BlIdF。LlIF三、计算举例例 9-14：如图所示，一无限长载流直导线 AB，载电流为 I，在它的一侧有一长为 l 的有限长载流导线 CD，其电流为 ，AB 与 CD 共面，且 ，C 端距 AB 为 a。求 CD 受到的安培力。2I ABD解：取 x 轴与 CD 重合，原点在 AB 上。X 处电流元 ，在 x 处 方向垂直纸面向里，大小为：d2BB10dxIdxIF290sin2110方向：沿 方向。ABCD 上各电流元受到的安培力方向相同，CD 段受到安培力 可化为标量Fd积分，有 alIxIFla n210210方向：沿 方向。AB注意：因为本题 CD
14、处于非均匀磁场中，所以 CD 受到的磁场力不能用与磁场中的受力公式计算，即不能用Il计算。9-8 磁场对载流线圈的作用一、匀强磁场中情况（7-9） nISPm线圈磁矩（它只与线圈有关） ，由此可得出 的矢量式为：M（7-10） B说明：（1） ，大小 ，方向与线圈法向一致。 为磁矩（磁偶极矩）ImImmP（2）对 N 匝线圈， 。nS（3）由（3）知，线圈在磁力矩作用下，它是趋于磁通量最大位置，即 方向位置。Bn（4） 对任何平面线圈在匀强磁场中均成立。BPMm9-9 在磁介质时的安培环路定律1、回顾真空中 LlsIdBS内 环 路 定 律 )(02、有磁介质时安培环路定律（7-11） IHL（7-12）式（9-13）为磁介质中的安培环路定律（此积分仅与传导电流有关） ，式（9-14）中的 称为磁场强度。H说明： （1） 为辅助量，无直接的物理意义，有意义的是 。B（2）安培环路定律 利用与真空中 实验一样，求 时，先求 ，IldHL IldL0BH后求 。B
