1、第 7 章 静电场中的导体和电介质 习题及答案1. 半径分别为 和 的两个导体球，相距甚远。用细导线连接两球并使它带电，电荷Rr面密度分别为 和 。忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球上电荷12分布的影响。试证明： 。r21证明：因为两球相距甚远，半径为 的导体球在半径为 的导体球上产生的电势忽略Rr不计，半径为 的导体球在半径为 的导体球上产生的电势忽略不计，所以r半径为 的导体球的电势为RV021401半径为 的导体球的电势为rr0220用细导线连接两球，有 ，所以21VRr22. 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符
2、号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。证明: 如图所示，设两导体 、 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为 ，AB1， ，234（1）取与平面垂直且底面分别在 、 内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得SSdE)(1032故 23上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。（2）在 内部任取一点 ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带AP电平面产生的场强叠加而成的，即 02403201又 23故 143. 半径为 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为 处有R Rd3一点电荷+ ，试求：金属球上的感应电荷的电量。q解：如图所示，设金属球表面感应电荷为
3、，金属球接地时电势q 0V由电势叠加原理，球心电势为 OVRd34410000q故 q34半径为 的导体球，带有电量 ，球外有内外半径分别为 、 的同心导体球1Rq2R3壳，球壳带有电量 。Q（1）求导体球和球壳的电势 和 ；1V2（2）如果将球壳接地，求 和 ；（3）若导体球接地（设球壳离地面很远） ，求 和 。1V2解：（1）应用均匀带电球面产生的电势公式和电势叠加原理求解。半径为 、带电量为 的均匀带电球面产生的电势分布为 Rq)( 4 0RrrV导体球外表面均匀带电 ；导体球壳内表面均匀带电 ，外表面均匀带电 ，qqQq由电势叠加原理知，空间任一点的电势等于导体球外表面、导体球壳内表面
4、和外表面电荷在该点产生的电势的代数和。导体球是等势体，其上任一点电势为 )(41320RQqV球壳是等势体，其上任一点电势为 rq02030430（2）球壳接地 ，表明球壳外表面电荷 入地，球壳外表面不带0432RQqVQq电，导体球外表面、球壳内表面电量不变，所以 )1(201（3）导体球接地 ，设导体球表面的感应电荷为 ，则球壳内表面均匀带电1Vq、外表面均匀带电 ，所以qQq 0)(432101 Rq解得 2132Rq304QV)()21320RQ5. 两个半径分别为 和 （ )的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+ ，试求：11 q(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；(2)先把外球壳接地，
5、然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电量以及外球壳上的电势。解：(1)内球壳外表面带电 ；外球壳内表面带电为 ,外表面带电为 ，且均匀qqq分布，外球壳上电势为 22 2004dRRRdrrEV(2)外球壳接地时，外表面电荷 入地，外表面不带电，内表面电荷仍为 。所以qq球壳电势由内球 与外球壳内表面 产生，其电势为q04220RV(3)如图所示，设此时内球壳带电量为 ；则外壳内表面带电量为 ，外壳外表面q q带电量为 (电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且q044 22010 RqRqVA得 21外球壳的电势为 201202020 44 Rq
6、qRqVB 6. 设一半径为 的各向同性均匀电介质球体均匀带电，其自由电荷体密度为 ，球体内的介电常数为 ，球体外充满介电常数为 的各向同性均匀电介质。求球内外任一点的1 2场强大小和电势(设无穷远处为电势零点 )。 解：电场具有球对称分布，以 为半径作同心球面为高斯面。由介质中的高斯定理得rSdDiq24当 时， ，所以Rr3rqi， 11rE当 时， ，所以r34Rqi，2rD232r球内（ ）电势为rrdEV1Rr13dR23221)(6球外（ ）电势为RrrdEV2drr23237. 如图所示，一平行板电容器极板面积为 ，两极板相距为 ，其中放有一层厚度Sd为 的介质，相对介电常数为
7、，介质两边都是空气。设极板上面电荷密度分别为+ 和t r ，求：（1）极板间各处的电位移和电场强度大小；（2）两极板间的电势差 ；U（3）电容 。 C解：（1）取闭合圆柱面（圆柱面与极板垂直，两底面圆与极板平行，左底面圆在极板导体中，右底面圆在两极板之间）为高斯面，根据介质中的高斯定理，得SDSd （ 介 质 内 ）（ 空 气 中 ） 00rrE（2） BAldU ttr00）（3） USCtdrr)1(8. 如图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为 的电介质，设极r板面积为 ，两极板上分别带电荷为 和 ，略去边缘效应。试求：SQ（1）在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面
8、密度的比值；（2）两极板间的电势差 ；U（3）电容 。C解：（1）充满电介质部分场强为 ，真空部分场强为 ，有电介质部分和无电介质2E1E部分极板上自由电荷面密度分别为 和 。1取闭合圆柱面（圆柱面与极板垂直，两底面圆与极板平行，上底面圆在极板导体中，下底面圆在两极板之间）为高斯面，由 得0dqSD，1D2 dUE01 rr022由、解得 r12（2）由电荷守恒定律知， QS2)(1tr由 、 、 解得 SQdUr0)1(2（3） dCr29. 半径为 的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为 和 ，1R 2R3当内球带电荷 时，求：Q(1)整个电场储存的能量；(2)将导体壳接地
9、时整个电场储存的能量；(3)此电容器的电容值。解：如图所示，内球表面均匀带电 ，外球壳内表面均匀带电 ，外表面均匀带电QQQ(1)由高斯定理得当 和 时，1Rr32r0E当 时，21 2014rQ当 时，3Rr202E所以，在 区域21r21 d4)(20RrrQW21 )1(8d2020RR在 区域3Rr32 30202 18d4)(RQrrW总能量为 )1(832021 R(2)导体壳接地时，只有 时 ,其它区域 ，所以21Rr204rQE0E02W)(821021QW(3)电容器电容为)/(42210RC10. 一个圆柱形电容器，内圆柱面半径为 ，外圆柱面半径为 ，长为 (12RL，两圆
10、筒间充有两层相对介电常量分别为 和 的各向同性均匀电介质，)12RL r2其分界面半径为 ，如图所示。设内、外圆柱面单位长度上带电荷( 即电荷线密度)分别为和 ，求： （1）电容器的电容；（2）电容器储存的能量。解：（1）电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为 ，底面l圆半径为 。由介质中的高斯定理得 riSqrlD2d当 时， ，21Rrlqi两圆筒间场强大小为 )( 2 20110 RrrDErr两圆筒间的电势差为 21dRURr1d102d20Rr10lnrr2ln电容器的电容为 ULCRRLrr /l/l2210（2）电容器储存的能量 QW2121024lnlrr1
11、1如图所示，一充电量为 的平行板空气电容器，极板面积为 ，间距为 ，在SdR2 R R1 r1 r2 L 保持极板上电量 不变的条件下，平行地插入一厚度为 ，面积 ，相对电容率为Q2/dS的电介质平板，在插入电介质平板的过程中，外力需作多少功？r解：插入电介质平板之前， ，电容器储存的能量为dSC0QW0201插入电介质平板之后，由本章习题 7 的解法可得到dSCr)1(0电容器储存的能量为 SQr024)(由能量守恒定律知，在插入电介质平板的过程中，外力作的功为 0WAdr02)1(12. 一球形电容器，内球壳半径为 ，外球壳半径为 ，两球壳间充有两层各向同性1R2R均匀电介质，其界面半径为
12、 ，相对介电常数分别为 和 ，如图所示。设在两球壳间1r加上电势差 ，求： 12U(1) 电容器的电容； (2) 电容器储存的能量。 解：（1）设球内球壳和外球壳分别带电 、 ，电场具有球对称分布，以 为半径Qr作同心球面为高斯面。由介质中的高斯定理得SdDiqr24当 时， ，21Rrqi2内球壳和外球壳之间场强大小为 )( 4 220110 RrrQDErr内球壳和外球壳之间电势差为 21RdUdrR1210 drQR2204R R O R1 R2 r1 r2 Q2/drd)1(410RQr)1(4220RQr1012 rr电容为 12UC212124rrrRR（2）电容器储存的能量为 21W212120rrrU
