1、第十三章 振动131 一质点按如下规律沿x轴作简谐振动：x = 0.1 cos (8t +2/3 ) (SI)，求此振动的周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值。解：周期 T = 2 / = 0.25 s 振幅 A = 0.1m 初相位 = 2 / 3 Vmay = A = 0.8 m / s ( = 2.5 m / s ) amay = 2 A = 6.4 2m / s ( = 63 m / s 2) 132 一质量为 0.02kg 的质点作谐振动，其运动方程为：x = 0.60 cos( 5 t /2) (SI)。求：（1）质点的初速度；（2）质点在正向最大位移一半处所受的力。解：（1
2、） )( 2sin(0.3 SItdtv0xax（2） mF5.13.5.,2/ 2NA时133 如本题图所示，有一水平弹簧振子，弹簧的倔强系数 k = 24N/m，重物的质量m = 6kg，重物静止在平衡位置上，设以一水平恒力 F = 10 N 向左作用于物体（不计摩擦） ，使之由平衡位置向左运动了 0.05m，此时撤去力 F，当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。解：设物体的运动方程为：x = A c o s ( t + )恒外力所做的功即为弹簧振子的能量：F 0.05 = 0.5 J当物体运动到左方最位置时，弹簧的最大弹性势能为0.5J，即：1 / 2 kA2 = 0.5
3、 J A = 0.204 mA 即振幅 2 = k / m = 4 ( r a d / s )2 = 2 r a d / s 按题目所述时刻计时，初相为 = 物体运动方程为x = 0.204 c o s (2 t + ) ( SI ) 134 一水平放置的弹簧系一小球。已知球经平衡位置向右运动时，v =100cms1，周期 T =1.0s，求再经过 1/3 秒时间，小球的动能是原来的多少倍？弹簧的质量不计。解：设小球的速度方程为：v = vm c o s (2 / Tt + )以经平衡位置的时刻为 t = 0根据题意 t = o 时 v = v0 = 100 c m s-1 且 v0v m =
4、 v0 = 0小球的动能 Ek0 = 1 / 2 m v02过 1 / 3 秒后，速度为 v = v0 c o s ( 2/T. 1/ 3) = - V0 / 2 mFOx习题 133 图动能 Ek = 1 / 2 m v2 = 1 / 2m 1/ 4v02 E K / E0 = 1/ 4 动能是原来的 1/ 4 倍 135 设地球是一个半径为 R 的均匀球体，密度 5.5 103 kgm3 。现假定沿直径凿一条隧道。若有一质量为 m 的质点在此隧道内做无摩擦运动。 （1）证明此质点的运动是简谐振动；（2）计算其周期。解：（l）取图所示坐标。当质量为 m 的质点位于 x 处时，它受地球的引力为
5、2GF式中 G 为引力常量，m x 是以 x 为半径的球体质量，即 3/4xm。令3/4k，则质点受力kxF/因此，质点作简谐运动。 （2）质点振动的周期为 s107.5/3/GkmT136 在一块平板下装有弹簧，平板上放一质量为 1.0kg 的重物。现使平板沿竖直方向做上下简谐运动，周期为 0.50s，振幅为 2.0102 m。求：（1）平板到最低点时，重物对平板的作用力；（2）若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物会跳离平板？（3）若振幅不变，则平板以多大的频率振动时，重物会跳离平板？分析：按题意作示意图，如图所示。物体在平衡位置附近随板作简谐运动，其间受重力 P和板支持力 FN 作用
6、，F N 是一个变力。按牛顿定律，有2dtymg（l）由于物体是随板一起作简谐运动，因而有 )cos(d22 tAtya，则式（l）可改写为)cs(2NtmgF（2）(1）根据板运动的位置，确定此刻振动的相位 t，由式（2）可求板与物体之间的作用力。 （2）由式（2）可知支持力 FN 的值与振幅 A、角频率 和相位 t有关。 在振动过程中，当 t时 FN 最小。而重物恰好跳离平板的条件为 FN = 0，因此由式（2）可分别求出重物跳离平板所需的频率或振幅。 解：（l）由分析可知，重物在最低点时，相位 0t，物体受板的支持力为 N96.12)2(2NTmAgAmgF重物对木块的作用力 与 FN
7、大小相等，方向相反。（2）当频率不变时，设振幅变为 A。 根据分析中所述，将 FN = 0 及 t代入分析中式（2） ，可得 m12.64/ 222 gTmgA（3）当振幅不变时，设频率变为 。 同样将 FN =0 及 t代入分析中式（2） ，可得 Hz52.3/21mAgv137 一物体沿 x 轴做简谐运动，振幅为 0.06m，周期为 2.0s，当 t = 0 时位移为0.03m，且向 x 轴正方向运动。求：（1）t = 0.5s 时，物体的位移、速度和加速度；（2）物体从 x = 0.03m 处向 x 轴负向运动开始，到平衡位置，至少需要多少时间？解：（1）由题意知 A = 0.06m、
8、1s/2T由旋转矢量图可确定初相则 30，振动方程为)3cos(06.tx当 t = 0.5s 时质点的位移、速度、加速度分别为 m052.)2(./s 943sin06 dtxv 222 / 51.0)co(.ta （2）质点从 x = 0.03 m 运动到平衡位置的过程中，旋转矢量从图中的位置 M 转至位置N，矢量转过的角度(即相位差) 6/。该过程所需时间为 s83.0t138 有一密度均匀的金属 T 字形细尺，如本题图所示，它由两根金属米尺组成。若它可绕通过点 O 的垂直纸面的水平轴转动，求其微小振动的周期。解：T 字形尺的微小振动是复摆振动。 T 字形尺绕轴 O 的转动惯量 J。 由
9、两部分组成，其中尺 D对该轴的转动惯量为231mlJ尺 AB 对轴 O 的转动惯量为 J2，根据平行轴定理可得 2112 ll故有 21O72mlJ图中 T 字形尺的质心 C 至点 O 的距离为 Cl，由质心定义可得 ll75.0C。 则 T 字形尺的振动周期为 s9.181722COglmglJ139 如本题图所示，一劲度系数为 k 的轻弹簧，其下挂有一质量为 m1 的空盘.现有一质量为 m2 的物体从盘上方高为 处自由落到盘中，并和盘粘在一起振动.问：h（1）此时的振动周期与空盘作振动的周期有何不同？（2）此时的振幅为多大？分析：原有空盘振动系统由于下落物体的加入，振子质量由 m1 变为
10、m1 +m2，因此新系统的角频率（或周期）要改变。 由于 202)(vxA因此，确定初始速度 0v和初始位移 0x是求解振幅 A 的关键。 物体落到盘中，与盘作完全非弹性碰撞，由动量守恒定律可确定盘与物体的共同初速度 0v，这也是该振动系统的初始速度。 在确定初始时刻的位移0x时，应注意新振动系统的平衡位置应是盘和物体悬挂在弹簧上的平衡位置。 因此，本题中初始位移 0x，也就是空盘时的平衡位置相对新系统的平衡位置的位移。解：（l）空盘时和物体落入盘中后的振动周期分别为kmT)(221可见 ，即振动周期变大了。 （2）如图所示，取新系统的平衡位置为坐标原点 O。 则根据分析中所述，初始位移为空盘
11、时的平衡位置相对粘上物体后新系统平衡位置的位移，即kgmkgmlx 2211210 式中 kl1为空盘静止时弹簧的伸长量， kgl)(212为物体粘在盘上后，静止时弹簧的伸长量。 由动量守恒定律可得振动系统的初始速度，即盘与物体相碰后的速度习题 138 图习题 139 图ghmvmv 21210 式中 ghv2是物体由 h 高下落至盘时的速度。故系统振动的振幅为 gmkhkgvxA )(21)(2022本题也可用机械能守恒定律求振幅 A。1310 一质量 M 的物体在光滑水平上作谐振动，振幅是 12cm，在距平衡位置 6cm 处速度是 24cm / s，求（1） 周期 T；（2）当速度是 12
12、cm / s 时的位移。解：设振动方程为 x = A c o st ，则= Asin tx（1） 在 x = 6 c m， = 24 c m / s 状态下有6 = 12 c o s t ， 24 = 12sin t，解以上两式得 = 4 / , T= 2 / = / 2 = 2.72 s 33（2） 设对应于 = 12 c m / s 的时刻为 l 2，则由x= - A sin t得12 = - 124 / sin l 2，3解得上式得 sin2 l2 = 0.1875相应的位移为x = A co s t 2 = A 11082sin. tcm1311 若在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧
13、被拉长 l 0 = 1.2cm 而平衡，经推动后，该小球在竖直方向作振幅为 A = 2cm 的振动，试证明此振动为谐振动；若选小球在正最大位移处开始计时，写出此振动的数值表达式。解：设小球的质量为 m，由弹簧的倔强系数 k = m g / l 0选平衡位置为原点，向下为正方向，小球在 x 处，根据牛顿定律得m g k ( l 0 + x ) = m d2 x / d t2将倔强系数 k = m g / l 0 代入整理后得d 2 x / d t 2 + g x / l 0 = 0此振动为谐振动令 l/.091解得x = A c o s ( t + ) A = 210 -2由题意： t = 0
14、时，x 0 = A， v0 = 0， = 0x = 210 -2 c o s (9.1 t ) (SI)1312 一台摆钟的等效摆长 l=0.995m，摆锤可上、下移动以调节其周期，该钟每天快 1 分 27 秒，假如将此摆当作质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑，则应将摆锤向下移动多少距离，才能使钟走得准确？解：钟摆周期的相对误差T / T = 钟的相对误差t / t ，等效单摆的周期Tlg2 /设重力加速度 g 不变，则有 2 d T / T = d l / l 令 T = d T ，t = d l，并考虑到 T / T = t / t，则摆锤向下移动的距离 l = 2 l t / t = 2
15、.00 mm摆锤应向下移 2.00mm，才能使钟走得准确。1313 一质点作简谐振动，其振动方程为：x = 6.010 -2 cos (t / 3 / 4) （SI）（1） 当 x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？（2）质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少？解：（1）势能 Wp= k x 2 / 2 ，总能 E = k A2 / 2 由题意k x 2 / 2 = k A2 / 4，x = 4.2410 -2 m(2) 周期 T = 2/ = 6 s 从平衡位置运动到 的最短时间为 T / 8 /6 / 8 = 0.75 s1314 试证明：（1）在一个周期中，简谐运动的动能和势能
16、对时间的平均值都等于kA2/4；（ 2）在一个周期中，简谐运动的动能和势能对位置的平均值分别等于 kA2/3 和kA2/6。证：（1）简谐运动的动能和势能分别为 )(sin212ktAEco2pt则在一个周期中，动能与势能对时间的平均值分别为 4/d)(sin21202k kAtkATE/co202p t（2）因简谐运动势能 /2kx，则势能在一个周期中对位置的平均值为22p 61d21kAxkAE则动能在一个周期中对位置的平均值为 322PK1315 一物体同时参与两个同方向的简谐振动：x 1= 0.04 cos (2t +/2) (SI)；x 2 = 0.03 cos (2t +) (SI
17、)。求此物体的振动方程。解：设合成运动（简谐振动）的振动方程为：x = A c o s ( t + ) （1）则A 2 = A 12 +A 22 +2 A 1A 2 cos( 2 - 1)， 2 1 = 1 / 2代入（1）式，得534cm又)3/4(= )2(oscsini21artgA 7. 2d(SI).o05.x1316 有两个同方向同频率的简谐运动，其合振动的振幅为 0.20m，合振动的相位与第一个振动的相位差为 /6，第一个振动的振幅为 0.173m。求第二个振动的振幅及两振动的相位差。解：采用旋转矢量合成图求解。如图所示，取第一个振动的旋转矢量 A1 沿 Ox 轴，即令其初相为零
18、；按题意，合振动的旋转矢量 A 与 A1 之间的夹角 6/。根据矢量合成，可得第二个振动的旋转矢量的大小（即振幅）为m0.cos21212 AA由于 A1、A 2、A 的量值恰好满足勾股定理，故 A1 与 A2垂直，即第二个振动与第一个振动的相位差为 21317 求 5 个同方向、同频率简谐振动的合成，合振动方程： 。40)cos(kktax解：采用矢量合成法，如图所示，有 )2cos(2tax1318 将频率为 348 Hz 的标准音叉振动和一个待测频率的音叉振动合成，测得拍频为 3.0Hz 。若在待测频率音叉的一端上加上一小块物体，则拍频将减小，求待测频率的固A1A2A3A4A5A有频率。
19、分析：这是利用拍现象来测定振动频率的一种方法。 在频率 1和拍频数12已知的情况下，待测频率 2可取两个值，即 12。式中 前正、负号的选取应根据待测音叉系统质量改变时，拍频数变化的情况来决定。 解：根据分析可知，待测频率的可能值为 Hz)348(12 因振动系统的固有频率 mk，即质量 m 增加时，频率 减小。 从题意知，当待测音叉质量增加时拍频减少，即 12变小。 因此，在满足 2与 均变小的情况下，式中只能取正号，故待测频率 Hz351121319 示波管的电子束受到两个互相垂直的电场的作用。电子在两个方向上的位移分别为 和 。求在 、 和 各种情况下，电tAxcos)cos(ty090
20、子在荧光屏上的轨迹方程。解：这是两个振动方向互相垂直的同频率简谐运动的合成问题。 合振动的轨迹方程为21221 sin/cos/ AxyAyx式中 A1、A 2 为两振动的振幅， 为两个振动的初相差。 本题中 A1 = A2 = A，故有 22sincoAxyx（1）当 0时，有 x = y，轨迹为一直线方程。 （2）当 03时，有 4/322xy，轨迹为椭圆方程。（3）当 09时，有 22Ax，轨迹为圆方程。1320 一物体悬挂在弹簧下作阻尼振动，开始时其振幅为 0.12m，经 144s 后振幅减为0.06m。问：（1）阻尼系数是多少？（ 2）如振幅减至 0.03m，需再经历多长时间？分析：
21、在小阻尼条件下，阻尼振动方程为 )cos(00teAxt ，其振幅teA0是随时间变化的，其中 为阻尼系数（通常规为常量） 。利用上述公式即可求解。 解：(1) 由阻尼震动振幅 teA0得 131s08.4lnt（2） 两不同时刻的振幅比 21021teAt，则振幅由 A1 改变为 A2 所经历的时间 s14ln2112tt1321 一质量为 2.5 kg 的物体与一劲度系数为 1250 N/m 的弹簧连接作阻尼振动，阻力系数为 50.0 kg/s。求阻尼振动的角频率。分析：阻尼振动的角频率 与无阻尼时系统的固有角频率 0及阻尼系数 有关，有20。在振动系统的固有角频率 0和阻尼系数 均可确定的情况下，阻尼振动角频率即可求出。 解：系统的固有角频率 mk0，阻尼系数 mC2，则阻尼振动角频率为 1220 s0)()(
