1、1体验数学的乐趣记一节用含 30的三角板拼多边形的活动课【案例背景】 龙湾区海城中学 钱宜锋现在的学生处在传统的数学教学中，他们除了看、听和思考，过多的是坐冷板凳，没有机会或者很少有机会参与实践与综合应用的过程。而数学课程标准明确指出实践与综合应用“将帮助学生综合运用已有的知识和经验，经过自己探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的具有一定挑战性和综合性的问题，以发展他们解决问题的能力，加深对“数与代数” 、 “空间与图形”的理解，体会各部分内容的联系。 ”面对这种矛盾现象，我陷入了思考：怎样让学生运用已有的知识和经验，经过自己探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的具有一定挑战性和综合性的问
2、题，以发展他们解决问题的能力呢？能否让学生利用最熟悉的学习用品-三角板，拼成不同度数的角，但这种做法已“星罗棋布” ，没有新意，我的思绪飞扬-能否借助三角板拼出形状不同的凸多边形呢？为了让我的学生们体验一下数学活动课的别样风采，并用数学的眼光看待周围的事物。于是笔者基于这样的问题驱动，在“领雁班”课堂教学的研讨活动时，进行如下数学活动课的教学尝试。【案例描述与分析】（一）问题提出出示三角板教具，启发学生回顾三角板的功能，从中导出用三角板“拼”角（约定“拼”的含义是既不重叠也不留空隙） ，利用一个或二个的含 30的直角三角板最多能画（或“拼” ）出哪几个小于平角的角（要求标出角度）？归纳利用一个
3、或二个的含 30的直角三角板最多能画（或“拼” ）出 5 个小于平角的角，即 30、60、90、120、150，接着让学生开始探索活动。（本节中所指的含 30的三角板都是全等的直角三角板，以下不再赘述） 如果用来拼图形，可以拼成哪些凸多边形？（二）问题分解为了帮助学生找到解决问题的突破口，笔者鼓励学生积极思考、交流、探讨，教师通过不断地否定和修正，把上述的复杂问题有序地分解为以下简单的2问题：问题 1：用若干块全等的含 30的直角三角板能拼出哪些内角度数不同的三角形？问题 2：用若干块全等的含 30的直角三角板能拼出哪些内角度数不同的四边形？【用含 30的三角板拼成的多边形种类繁多，引导学生先
4、从最简单的拼三角形问题入手探究规律，再把这种规律推广到边数更多的多边形问题。让学生在问题分解的过程中获得解决问题的基本策略和经验，感悟转化的数学思想。】（三）问题解决1、从实验到论证活动一：用两块含 30的三角板拼成三角形 （三个内角中有一个不同即可）（教师巡视课堂，示意学生把拼成的三角形展示在黑板上.）师：只有这 3 种内角度数不同的三角形吗？如果使用更多的三角板是否可能拼出其他内角度数的三角形呢？生 1：（很肯定地）不可能有其他内角度数的三角形了！因为用含 30的三角板能拼成的不小于平角的角只有 30、60、90、120、150这 5种.但 150不可能作为三角形的内角，否则另两个内角的和
5、为 30.所以，拼成的三角形的内角度数只能是 30、60、90、120中的角度.如果选定120为最大内角，那么其他 2 个角都是 30；如果选定 90为最大内角，那么其他 2 个角是 60和 30；如果选定 60为最大内角，那么其他 2 个角都是 60，所以只有这 3 种情况.师：很好！刚才生 1 用列举法把所有可能的情况都一一列举，说明肯定只有 3 种情况！30303030303教师引导用列表法再次直观说明只有 3 种情况。每个内角的度数相 应 内 角 的 个 数150120 190 160 1 330 2 1师：太棒了！以列表法为工具，非常完整、直观地说明了只有 3 种情况！在这里，我们先
6、用三角板实验，然后运用数学知识和方法进行严格论证，这种从实验到论证的方法正是我们研究数学常用的方法！ 【在探索拼三角形的过程中，先让学生实验，再运用列表法、三角形内角和、平面图形镶嵌等知识论证，感受从实验到论证的解决问题策略，同时为后续拼四边形问题的解决提供方法。】2、从猜想到验证活动二：用含 30的直角三角板拼四边形。 （要求：本节中所指的四边形都是指凸四边形，以下不再赘述）在学生小组合作交流讨论的基础上，教师提出问题.师：用含 30的三角板能拼成哪些内角度数不同的四边形呢？生 2：符合条件的对应内角度数有以下 8 组：（整理如下）每个内角的度数相 应 内 角 的 个 数150 2 1 1
7、1120 1 2 2 190 2 1 1 2 460 1 2 2 1430 2 1 1 1师：（惊喜地）你是怎样想到的？生 2：受刚才拼三角形问题的启迪，我就试了试！师：看来，数学确实能使人聪明！因为我们学过数学，所以我们不会盲目地拼，而是先进行了类比分析，然后有目的地去执行！现在，我们通过理论分析猜想出内角度数不同的四边形有 8 种！那么，是不是这 8种四边形都能拼出来呢？请大家以小组为单位，合作拼图。众生：（拼图，并展示结果.）（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）师：刚才，我们运用拼三角形得到的方法，先猜想了拼四边形的可能情况，并对猜想进行验证，从猜想到验证，体现数学作
8、为工具的魅力！【从拼三角形到四边形，学生自主探索、合作交流，经历了实验-论证- 猜想验证等过程，积累了活动的经验， 获得了成功的体验.通过拼图活动让学生初步30，60，120，15030，90，90，15060，60，90，15030，90，120，12060，90，90，12090，90，90，9060，60，120，12030，30，150，1505感性地认识到用含 30的直角三角板可以拼成多 边形这样的事实，并顺势提出本节活动课探究的主题.同时也让学生积累了一些“拼图” 的经验，为后续问题“用含 30的直角三角板能拼成最大边数为 12 的凸多边形”埋下伏笔，做好充分的铺垫】（四）问题拓展
9、在经历了以上的数学活动后，学生思维高涨，很自然地进行了问题联想：还能拼成哪些内角度数不同的多边形呢？活动三：用含 30的直角三角板拼成边数最大的凸多边形。生 1：（不假思索地）既然能拼成三角形、四边形，也应该能拼成五边形、六边形、七边形，-师：那是不是能拼成任意边数的多边形呢？生 2：困惑？师：那推翻一个结论，需要几个反例？生 3：一个。师：那我们不妨取 n=20 试试看！因为能拼出的最大内角是 150，说明外角最小为 30，若每个外角都是 30，此时最小外角和为 2030=600，而任意边数的多边形的外角和为 360，所以是不能拼成任意边数的多边形。师：这个反例说明用含 30的直角三角板不能
10、拼成任意边数的凸多边形！那么，我们能拼出的凸多边形最大边数是多少呢？ 生 4：我们能拼成的凸多边形最大边数是 12 边形！因为能拼出的最大内角是150，说明外角最小为 30，要使边数最大，外角的个数也要达到最多，所以要让每个外角都是 30，此时有 36030=12 个外角，所以理论上应该能拼成 12 边形！(全场响起了热烈的掌声，我也为学生的发现喝彩！)师：好，刚才我们综合运用数学知识用两种不同的方法分析可拼成 12 边形.右图是老师用 66 块全等的含 30的直角三角板拼出的 12 边形，虽然它的各边并不相等，但它的每一个内角都是150！生：哇！（全班不约而同地齐声赞叹着-）6下课铃声响起，
11、学生还意犹未尽-【学生不仅运用多边形外角和及举反例等知识解决问题，体验数学知识的交织与融合，而且经历了问题、困 难、挑战、挫折、取胜的过程，获得了成功的体验。】【案例反思】美国教育家布鲁纳指出：“我们教一门科目，并不是希望学生成为该科目的一个小型书库，而是要他们参与获得知识的过程。学习是一种过程，而不是结果。”本节活动课，以问题为载体，创设民主、宽松的教学氛围，让学生经历实验-猜想-探究-分析-验证的全过程，在解决问题的过程中，获取知识，学会研究，发展创新能力。反思活动课的实施过程，有以下体会：基于教材准备的角度，备教材不如“悟”素材数学活动课需要教师能从活动中提炼出有利于学生数学思考的素材。
12、教师要抓住学生从感性直觉-理性认识过程。因为拼图活动是动态、开放的，学生在拼图过程中，从“含 30的三角板拼 150”开始，便不断地观察、实验、猜想、验证、推理与交流、组织。于是笔者加以揣摩并提出问题 1：用若干块全等的含 30的直角三角板能拼出哪些内角度数不同的三角形？问题 2：用若干块全等的含 30的直角三角板能拼出哪些内角度数不同的四边形？从物（三角板） ，到探究有问题（拼成内角度数不同的多边形） ，再到思考有基础（学生已学过多边形概念、平面镶嵌、列表法等相关知识） ，促使学生在活动中有价值地思考，主动构建知识，积累解决问题的经验，体验数学思想，提升数学素养。更可喜的是，活动还激发了学生
13、新的探索欲望：在课外，学生继续用类似的方法研究了含 45的直角三角板拼多边形，用两种直角三角板拼多边形，达到了“在活动中获取知识，在活动中学会研究”的目的。那么，什么样的活动内容才具有思考性呢？1、活动内容能动手操作学生在操作中动手动脑，探索知识，发现规律，掌握探索方法，发展探索能力。72、活动过程能培养能力在灵活运用知识中，培养学生的分析、综合、比较、抽象、概括、判断、推理等能力，以及思维的灵活性与敏捷性。3、活动内容要创新活动内容没有现成的公式、方法可以套用，需要学生自行探索才能解决问题。基于教学手段的角度，领着“动”不如“动”中“用”数学活动课的设置突出了两个字：一个是“动” ，一个是“
14、用” 。 “动”就是有具体的活动，有实际的操作，有动手的体验；“用”就是思考，就是能从中感受到知识的价值，就是强化用数学知识与方法解决问题的意识。数学活动课的最后归宿就是解决问题。该课一共设置了三个活动，活动一：用两块含 30的三角板拼成三角形. （三个内角中有一个不同即可）活动二：用含 30的直角三角板拼四边形。活动三：用含 30的直角三角板拼成边数最大的凸多边形。第一个活动是这节课的关键；第二个活动是对思考的猜想和验证，第三个归宿活动是拓展性的，它是这节课的点睛之笔，也是这节课的归宿：运用数学思想与方法解决问题。由于初中生的数学活动课，本身就体现了不同年级的层次要求，其目的就是为了让学生能
15、够用所学过的知识和方法解决问题。如：这个活动实际上就是让学生通过之前的探索，解决“用含 30的直角三角板拼成边数最大的凸多边形。学生运用多边形外角和及举反例等知识解决问题，从能拼出的最大内角是150，说明外角最小为 30，要使边数最大，外角的个数也要达到最多，所以要让每个外角都是 30，此时有 36030=12 个外角，所以理论上应该能拼成 12 边形！全场响起了热烈的掌声，下课铃声响起，学生还意犹未尽-这应该是这堂课的高潮，因而活动课上的问题解决是不能缺失的基于课堂驾驭的角度，师有“鱼”不如师能“渔”师有“鱼”就是教师有许多教学方法，师能“渔”就是要灵活驾驭学生，8能做到师能“渔”须基于学生
16、的数学知识。因为学生的数学知识是外来信息与学生原有的认知结构相互作用的结果，学生的数学能力是在这种过程中形成和发展的。活动中，应让学生作为活动的主体，以问题激发学生思考，以活动引发学生动手操作，以评价促进学生积极思考。本节课在活动过程中，学生在探索“拼内角为60，60，90，150的四边形”时受挫，在解决“能不能用三角板拼成任意边数的凸多边形”问题时先后用两种不同的方法解决都出乎意料，教师自始自终围绕学生的思维，通过类比、举反例等手段不断地鼓励和修正，教师驾驭课堂使学生在探索的过程中学会了运用结果性的知识经验，获得了过程性的策略经验，积累了丰富的数学活动经验，养成严谨思维的习惯。参考文献：1、 章飞 ， 刘黔昉 初中数学课题学习的实践与探索M.北京：北京师范大学出版社，2008.82、 李兴贵 ，陈出 新课标数学教材课题学习教学设计 M.上海：华东师范大学出版社，2009.33、 李士元 数学活动课内容的思考性 . 湖南教育J, 2001年第5期4、 潘小梅 中学数学教学参考J, 陕西师范大学出版社，92010年第8期
