1、高考三角函数题型归类三角函数除了具有一般函数的各种性质外，它的周期性和独特的对称性，再加上系统的丰富的三角公式，使其产生的的各种问题丰富多彩，层次分明，变化多端，围绕三角函数的考题总是以新颖的形式出现，在高考试题中占据重要的位置，成为高考命题的热点。2006 年高考从三角函数的图象、周期性、奇偶然性、单调性、最值、求值及综合应用等各个方面全面考查三角知识。一。2005 年高考三角函数题型归类1。直接考查三角函数的基本公式与基本运算。例 1、 （1） （2006 年湖北卷）若 的内角 满足 ，则ABC32sinA=（A）sincoA. B. C. D. 3531535517解 A 。 ， 。si
2、n2icos0cos0 ， =sinco0A2(in)A121i。53（2） （2006 年安徽卷）已知 310,tancot43（）求 的值；tan（）求 的值。2 25si8icos18n解：()由 得 ，即0tact32ta0tn3，又 ，所以 为所求。1tan3或 41（） =2 25si8incos18-cos1+cos54in822= = = 。cosics62osincos8ta62252。考查三角函数的图象与性质。例 2（2006 年福建卷）已知函数 ()si3sis,.fxxxR（I）求函数 的最小正周期和单调增区间；()fx（II）函数 的图象可以由函数 的图象经过怎样的变
3、换得到？n2()yR分析：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。满分 12 分。解：（I） 1cos23()in(1cos2)xfxxxis3sn(2).6x的最小正周期()fxT由题意得 ,22kxkZ即 ,.36的单调增区间为()fx ,.36kk（II）方法一：先把 图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图象，sin2y12sin(2)6yx再把所得图象上所有的点向上平移 个单位长度，就得到 的图象。3方法二：把 图象上所有的点按向量 平移，就得到sin2yx3(,)12a的图象。3()6（2006 年辽宁卷）已知函数 ,
4、则 的值域是()sinco)sinco22fxxx()f(A) (B) (C) (D) 1,1,1,【解析】 cos(incs)()sinco)sin22xxfxx即等价于 ，故选择答案 C。mini,【点评】本题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识，同时考查了简单的转化和估算能力。3。考查三角恒等变形与解三角形的知识。例 3。 （2006 年湖南卷）如图 3,D 是直角ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,记CAD= ,ABC= .(1) 证明 ： ;sinco20(2) 若 AC= DC,求 的值.3解析：（1） (2),sin2)cos2incos20;2BAD如 图 ,=i(即
5、() ,(), )30333.222DC 22CA在 C中 由 正 弦 定 理 得 :=即 .所 以 iisinii由 1,sin-co所 以 -co-(1s即 sii解 得 或 i.因 为 0,所 以 in,从 而评注：本题考查运用三角变换及三角形正余弦定理求解三角形中的有关问题。其中第一问的证明突破口是如何找到 的角的大小关系；第二问题求解关键是如何利用题设条件建,立关于 的三角方程，注意角的大小范围讨论，以免产生错解。例 4。 （2006 年四川卷）已知 是三角形 三内角，向量,ABCAB，且1,3cosinm1m（）求角 ；（）若 ，求22i3sta本小题主要考察三角函数概念、同角三角
6、函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。满分 12 分。解：（） 即1mn,3cos,in1A3sinco1A, 12si2A62 50,63（）由题知 ，整理得221sinco3B22sinicos0BB cotat0 或ta1而 使 ，舍去 22csita tntCABtnABtnAB231851例 5（2006 年江西卷）如图，已知ABC 是边长为 1 的正三角形，M、N 分别是边 AB、AC 上的点，线段 MN 经过ABC 的中心 G，设 MGA（ ）23（1） 试将AGM、AGN 的面积（分别记为 S1与 S2）表示为的函数（2） 求 y 的最大
7、值与最小值21S DAB CMN解：（1） 因为 G 是边长为 1 的正三角形 ABC 的中心，所以 AG ，MAG ，23 6由正弦定理 MAsini6 （ ）得 3Gsi （ ）则 S1 GMGAsin2sin126（ ）同理可求得 S2 isn（ ）（2） y 21 224sisini66 （ ） （ ） 72（3cot 2）因为 ，所以当 或 时，y 取得最大值 ymax24033当 时，y 取得最小值 ymin2164。考查三角函数在实际生活中的的应用。例 6。 （2 006 年 上海卷）如图，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救甲船
8、立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ，相距 10 海里 C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援（角度精确到 1 ）？解.解：连接 BC,由余弦定理得 BC2=202+10222010COS120=700.于是,BC=10 .7 北 2010 A BC , sinACB= ,7102sinsiACB73ACB90 ACB=41乙船应朝北偏东 71方向沿直线前往 B 处救援.5。考查三角函数与其他内容的综合。例 7。 （2006 年辽宁卷） 的三内角 所对边的长分别为 设向量AC, ,abc, ,若 ,则角 的大小为()pacb(,)qac/pq(A) (
9、B) (C) (D) 6323【解析】 ，利用余弦定理可得22/()()bacab，即 ，故选择答案 B。2cos1C1cosC【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。例 8。 （2006 年湖北卷）设函数 ，其中向量 ，()fxabcA(sin,co)ax， ， 。(sin,3cos)bx(cos,inR（） 、求函数 的最大值和最小正周期；fx（） 、将函数 的图像按向量 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心()fd对称，求长度最小的 。d点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知
10、识，考查推理和运算能力。解：() 由题意得，f(x) a(b+c)=(sinx, cosx)(sinx cosx,sinx 3cosx) sin2x 2sinxcosx+3cos2x 2+cos2x sin2x 2+ sin(2x+ ).243所以，f(x) 的最大值为 2+ ， 最小正周期是 .（）由 sin(2x+ ) 0 得 2x+ k. ，即 x ,kZ，4343832于是 d（ ，2） ， kZ.8k ,4)(kd因为 k 为整数，要使 最小，则只有 k1，此时 d（ ，2）即为所求.d8例 9。 （2006 年全国卷 2）已知向量 a(sin，1)，b(1， cos)， 2 2（）若 ab，求 ；（）求ab的最大值解：（）若 ab，则 sincos 0，2 分由此得 tan1( )，所以 ；4 分2 2 4（）由 a(sin，1)，b(1，cos )得ab (sin 1) (1 cos) 3 2(sin cos) ，10 分3 22sin( f(,4)当 sin( )1 时，|ab| 取得最大值，即当 时，|ab|最大值为 112 分4 4 2
