1、广东省 13 市 2015 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1、 （广州市 2015 届高三）已知双曲线 的左，右焦点分别为 ， ，过点 的直2:13xCy1F22线与双曲线 的右支相交于 ， 两点，且点 的横坐标为 ，则 的周长为CPQP2PQA B C D 6354432、 （惠州市 2015 届高三）设双曲线21xyab的虚轴长为 2，焦距为 ，则此双曲线的离心率为( )A. B. C. D.62322323、 （江门市 2015 届高三）在同一直角坐标系中，直线 与圆 的位置143yx 04yx关系是A直线经过圆心 B相交但不经过圆心 C相切 D相离4、 （汕尾
2、市 2015 届高三）中心在原点，焦点在 轴上的双曲线的一条渐近线与直线 平x 12yx行，则它的离心率为（ ）A B C D5662525、 （韶关市 2015 届高三）过双曲线 的右焦点 作垂直于 轴的直线，交21(0,)xyabFx双曲线的渐近线于 两点，若 （ 为坐标原点）是等边三角形，则双曲线的离心率为 ( ),ABOAA B C D32332二、填空题1、 （潮州市 2015 届高三）已知抛物线 2ypx（ 0）的准线与圆 2316xy相切，则 p的值为 2、 （佛山市 2015 届高三）已知点 、 到直线 : 的距离相等,则实数,0A,4Bl10my的值为_m3、 （揭阳市 20
3、15 届高三）抛物线 上到焦点的距离等于 6 的点的坐标为 218yx学 优 网4、 （清远市 2015 届高三）已知圆 C： ，直线：L：xya0（a0） ，圆心4到直线 L 的距离等于 ，则 a 的值为25、 （深圳市 2015 届高三）已知圆 C： 经过抛物线 E： 的焦点，582yxyx42则抛物线 E 的准线与圆 C 相交所得弦长为 三、解答题1、 （潮州市 2015 届高三）已知椭圆21xyab（ 0a）经过点 61,2，离心率为2，动点 2,t（ 0） 求椭圆的标准方程；求以 （ 为坐标原点）为直径且被直线 3450xy截得的弦长为 2的圆的方程； 3设 F是椭圆的右焦点，过点
4、F作 的垂线与以 为直径的圆交于点 ，证明线段 的长为定值，并求出这个定值2、 （佛山市 2015 届高三）已知曲线 : .E21xym() 若曲线 为双曲线,求实数 的取值范围；E() 已知 , 和曲线 : .若 是曲线 上任意一点,线段41,0AC26PC的垂直平分线为 ,试判断 与曲线 的位置关系,并证明你的结论.PAll3、 （广州市 2015 届高三）已知椭圆 的离心率为 ，且经过2:10xyab32点 圆 .0,1221:Cxyab（1）求椭圆 的方程；（2）若直线 与椭圆 C 有且只有一个公共点 ，且 与圆 相交于 两点，l:0kmMl1C,AB问 是否成立？请说明理由AMB4、
5、 （惠州市 2015 届高三）已知抛物线 的焦点 以及椭圆21:Cypx(0)F2:1yxCab的上、下焦点及左、右顶点均在圆 上(0)ab2:1Oy（1）求抛物线 和椭圆 的标准方程；1C2（2）过点 的直线交抛物线 于 两不同点，交 轴于点 ，F1,AByN已知 ， ，求 的值；1NA2F12（3）直线 交椭圆 于 两不同点， 在 轴的射影分别为 ，l2C,PQ,x,PQ，若点 满足 ，0OSO证明：点 在椭圆 上S25、 （江门市 2015 届高三）在平面直角坐标系 中，点 A、B 的坐标分别是 、xy ) 3,0 (，直线 AM、BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是 ) 3,0( 2
6、1求点 M 的轨迹 方程；L若直线 经过点 ，与轨迹 有且仅有一个公共点，求直线 的方程 l) 1,4(PL l6、 （揭阳市 2015 届高三）已知双曲线 的焦点分别为 ,且双曲线 经过C12(,0)()FC点 .(42,7)P（1）求双曲线 的方程；C（2）设 O 为坐标原点，若点 A 在双曲线 C 上，点 B 在直线 上，且 ，是否x0OAB存在以点 O 为圆心的定圆恒与直线 AB 相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由.7、 （清远市 2015 届高三）已知双曲线 的焦点为（0,-2）和（0,2）,离心率为 ，过双曲线32的上支上一点 P作双曲线 的切线交两条渐近线分别于点
7、 ,AB（A、B 在 轴的上方）. x（1）求双曲线 的标准方程；（2）探究 OAB是否为定值，若是求出该定值，若不是定值说明理由.8、 （汕尾市 2015 届高三）椭圆 过点 ， 分别为椭圆的左右焦点21(0)xyab2(1,)12,F且 。 12|F（1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在 轴上的圆，使圆在 轴的上方与椭圆交于 两点（ 在 的左侧） ，yx12,P12P和 都是圆的切线且 ？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由。1P12PF9、 （韶关市 2015 届高三）设 、 是焦距为 的椭圆 的左、右顶点，曲AB321:(1)yCxa线 上的动点 满足 ，其中， 和 是分
8、别直线 、 的斜率.2CPPkaAPkBAPB（1）求曲线 的方程；2（2）直线 与椭圆 只有一个公共点且交曲线 于 两点，若以线段 为直径的圆MN1C2C,MNN过点 ，求直线 的方程.B10、 （深圳市 2015 届高三）已知椭圆 的离心率为 ，过左焦点倾斜:E21(0)xyab2角为 的直线被椭圆截得的弦长为 4543（1）求椭圆 的方程；E（2）若动直线 与椭圆 有且只有一个公共点，过点 作 的垂线垂足为 ，求点 的l 1,0MlQ轨迹方程11、 （珠海市 2015 届高三）已知抛物线 ，圆 21:Cxy22:(4)xy(1)在抛物线 上取点 ， 的圆周上取一点 ，求 的最小值；1CM
9、2N|(2)设 为抛物线 上的动点，过 作圆 的两条切线，交抛物线 于 、0()Pxy， 0(4)x1P2C1CA点，求 中点 的横坐标的取值范围BAD参考答案一、选择题1、A 2、A 3、B 4、D 5、二、填空题1、2 2、 3、 4、3 5、 1或 (42,)(,)或 6三、解答题1、解：（1）由题意得 2ca 因为椭圆经过点 61(,)2P，所以261()(ab又 2abc 由解得 ， 2bc所以椭圆的方程为21xy.4 分（2）以 OM 为直径的圆的圆心为 (,)2t，半径214tr，故圆的方程为 2(1)()14txy.5 分因为以 OM为直径的圆被直线 350x截得的弦长为 2，
10、所以圆心到直线 3450xy的距离 214ttdr7 分所以 |2|5tt，即 2|tt，故 4，或 ，解得 t，或 49t又 0t，故 4t所求圆的方程为 22(1)()5xy.9 分（3）方法一：过点 F作 OM的垂线，垂足设为 K直线 的方程为 t，直线 FN的方程为 2(1)yxt由 2(1)tyxt，解得 24xt，故 24(,)tt11 分2226|(4)()4tOKt t；|M.12 分又 2 22|4Ntt.|O所以线段 的长为定值 214 分方法二：设 0(,)Nxy，则 0(1,)Fxy， (2,)OMt，02,)Mt， 0NO， (xy 0xty.11分又 N， 002)
11、()20xyt20|O为定值.14分2、 【解析】() 因为曲线 为双曲线,所以 ,解得 ,E10m1m所以实数 的取值范围为 .4 分m1()结论: 与曲线 相切.5 分l证明:当 时,曲线 为 ,即 ,4243xy241xy设 ,其中 ,6 分0Pxy0016线段 的中点为 ,直线 的斜率为 ,7 分A2QAP01kx当 时，直线 与曲线 相切成立. 0ylE当 时，直线 的方程为 ,即 ,000122yx20011xyy9 分因为 ,所以 ,所以 ,10 分20016xy004xyx007xy代入 得 ,234220017341化简得 ,12 分200 00184xyxxxy即 ,2 2
12、078716所以 22006441所以直线 与曲线 相切.14 分lE说明:利用参数方程求解正确同等给分!3、 （1）解： 椭圆 过点 ，2:1xyCab0, . 1 分2b ， 2 分223,cac 3 分24椭圆 的方程为 . 4 分C21xy（2）解法 1：由（1）知，圆 的方程为 ，其圆心为原点 . 5125xyO分直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ，lCM方程组 （*） 有且只有一组解2,14ykxm由（*）得 6 分22840kx从而 ,化简得 7 分 281m2214mk， . 9 分22841Mkmkx224114Mkmykxk 点 的坐标为 . 10 分22,4k由于 ，结合
13、式知 ，0k0m . 11 分OM21144k 与 不垂直. 12 分AB 点 不是线段 的中点. 13 分 不成立. 14 分0解法 2：由（1）知，圆 的方程为 ，其圆心为原点 . 5 分1C25xyO直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ，l M方程组 （*） 有且只有一组解2,14ykxm由（*）得 6 分22840kx从而 ,化简得 7 分 281m2214mk， 8 分224Mkkx由于 ，结合式知 ，00设 ,线段 的中点为 ,12,AxyBABNxy由 消去 ,得 .9 分2,5kmy22150km . 10 分122Nx若 ,得 ,化简得 ,矛盾. 11 分 M241kk30 点
14、 与点 不重合. 12 分 点 不是线段 的中点. 13 分AB 不成立. 14 分AMB04、解：（1）由抛物线21:(0)Cypx的焦点(,0)2pF在圆2:1Oxy上得：2p， ，.1 分抛物线21:4yx.2 分同理由椭圆上、下焦点 (0,)c及左、右顶点 (,0)b均在圆2:1Oxy上可解得： ,2bca 4 分得椭圆22:1yCx.5 分（2）设直线 AB的方程为 12(),),()kAxyB，则 (0,)Nk联立方程组24(1)yx，消去 得：222(4),kx.6 分2160,k且12x.7 分由 2NAFB得： 1122(),(),xx整理得：12,x.8 分 2121122
15、41()kxx.9 分（3）设 (,)(,)(,)pQpQpPxySy，则 (,0)(,)pQPx由 10O得 21x .10 分2pyx .11 分21Qyx 12 分由+得22()()1pQpQyx.13 分 (,pSy满足椭圆 2C的方程，命题得证.14 分5、解：设 M（ ， ）是轨迹上任意一点， ， 2 分x xykAM3xykBM3依题意， 4 分213xykBA整理化简得轨迹方程为 ，其中 6 分91820显然所求直线 存在斜率，设 ： 7 分 ll )(1xky当直线 经过 A 点时， 8 分，代入 得 l 403k )4(1xky3xy9 分；当直线 经过 B 点时， 10 分，代入 l 21得 11 分)4(1xky321xy当点 P 为切点时，由 得)4(1982xky12 分063()14()12( 22xkxk解 得 13 分04)1 22 k2k代入 得 ，综上所述，直线 的方程为 或)(y9xy l 31xy或 14 分3xy92x（注：三种情况独立给分）6、解:（1）解法一：依题意知双曲线 C 的焦点在 x 轴，设其方程为21.(0,)xyabb-1 分点 在双曲线 C 上，(42,7)P 12|aF2222(6)(7)()(7)4 -3 分又 ， ，c224bca所求双曲线 C 的方程为 -4 分1.xy
