1、函数与导数中的特称命题与全称命题1已知函数 其中 。()ln,()6ln,afxgxfaxaR（1）当 时，判断 的单调性；af（2）若 在其定义域内为增函数，求正实数 的取值范围；()gx（3）设函数 若 总有 成立，求实数 m24,2hmxa当 时 12(0,)1,x12()gxh的取值范围。答案：解析：由 ，()ln,()ff得 的 定 义 域 为 (,+)2(),af当 时， 在（ ）上单调递增。1a210xx0（2）由已知得， ，其定义域为（ ） ，agl5(, 225().axagx因为 在其定义域内为增函数，所以 即()x (,)(x20,1则而 ，当且仅当 x=1 时，等号成立
2、，所以251 52a（3）当 a=2 时， 由 得， 或 ，当22()5ln,(),xggx()0gx12x时， 1(0,)2x10;(,0 当 时所以在（0，1）上， max()35ln22g而“ 成立”等价于“ （0，1）上的最大值不小于21(,),(xhx总 有 ()gx在上的最大值” 。h在 又 ()1, (),2x在 上 的 最 大 值 为 a所以有：所以实数 的取值范围是 2已知函数 1()lnafxx()R.()当 1a时，讨论 ()f的单调性；（）设 2()4.gxb当 a时，若对任意 1(0,2)x，存在 21,x，使12f，求实数 取值范围.（）当 14a时， f(x)在（
3、0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意 1(0,2)x，有 1f(x)=-，又已知存在 ,，使 12()fxg，所以 21()g， ，即存在 ,2，使 2()42gxb，即 29b，即9bx17,4，所以 12b，解得 14b，即实数 b取值范围是 1,)4。3.设函数 21()ln().afxxaR() 当 时，求函数 的极值；f（）当 时，讨论函数 的单调性.1a()x（）若对任意 及任意 ，恒有 成立，求实数 的(2,312,12ln2()mafxfm取值范围.解：()函数的定义域为 .0,)当 时， 令 得 .1a 1(ln,().xfxfx()0,fx当 时， 当 时
4、，0);()f无极大值. 4 分()=,ff极 小 值 （） 1xax2()1ax)1()ax5 分() 当 ，即 时， 在 上是减函数；1a22(1)0,xf()fx,)当 ，即 时，令 得 或,a1;令 得()0,fx1.x当 ，即 时，令 得 或1a2a()0,fxx;1令 得 7 分 (),fx.1x 综上，当 时， 在定义域上是减函数；()f当 时， 在 和 单调递减，在 上单调递增；2a0,a(,)(,1)a当 时， 在 和 单调递减，在 上单调递 8 分1()fx1 （）由（）知，当 时， 在 上单调递减，2,3()fx1,2当 时， 有最大值，当 时， 有最小值.xff10 分
5、12()(1)lnaffflma3ln2而 经整理得 由 得 ，所以0a132ma313042a.m4 （2010 辽宁理数） （本小题满分 12 分）已知函数 1ln)1(2axxf（I）讨论函数 的单调性；（II）设 a.如果对任意 ),0(,21x， |4)(| 2121xxff，求 a的取值范围。解：（） ()fx的定义域为（0，+）. aafx.当 a时， f0，故 ()f在（0，+）单调增加；当 1时， ()x0，故 x在（0，+）单调减少；当-1 a0 时，令 f=0，解得 12a.则当 1(,)2x时， ()fx0； (,)时， ()fx0.故 ()f在 0,)a单调增加，在
6、1(,)2a单调减少.（）不妨假设 12x，而 -1，由（）知在（0，+）单调减少，从而,(,)， 1212()4fxfx等价于 12,(0,)x， 21()ff 令 )4gfx，则 )24agx等价于 (在（0，+）单调减少，即12ax.从而2224(1)4(1)x故 a 的取值范围为（-，-2. 12 分5.已知函数 ()ln3()fxaxaR（I）当 1时，求函数 f的单调区间；（II）若函数 ()yfx的图象在点 (2,)f处的切线的倾斜角为 45o，问： m 在什么范围取值时，对于任意的 ,2t，函数 3)()mgxfx在区间 (,3)t上总存在极值？()(0)afx（I）当 1时，
7、 1(xfx， 2 分令 ()0f时，解得 ，所以 ()f在（0，1）上单调递增； 4 分令 x时，解得 1x，所以 x在（1，+）上单调递减 6 分（II）因为函数 ()yf的图象在点（2， (2)f）处的切线的倾斜角为 45o，所以 1f所以 2a， ()2fx 8 分3()mgx 32()mx，2(4)2x ， 10 分因为任意的 1,t，函数 32()()gxfx在区间 (,3)t上总存在极值，所以只需 (2)0,3g 12 分解得 79m 14 分6.已知函数 (a 为实常数).xxfln)(2(1)若 ，求证：函数 在(1，+)上是增函数； a)f(2)求函数 在1，e上的最小值及
8、相应的 值；)(xf x(3)若存在 ，使得 成立，求实数 a 的取值范围.,1eaxf)2()解析：（1）当 时， ，当 ， ，2axln),1(0)1(2xf故函数 在 上是增函数4 分)(xf),1（2） ，当 ， )0(2)(xaxf ,1ex2,2eax若 ， 在 上非负（仅当 ，x=1 时， ） ，故函数 在 上是增函数，af,1ea0)(xf )(xf,1e此时 6 分min)(xf)(若 ，当 时， ；当 时， ，此时22ae2ax0)(xf 21ax0)(xf)(xf是减函数； 当 时， ，此时 是增函数故ex2)(xf)(xf min)(xf)2(af)ln(2a若 ， 在
9、 上非正（仅当 ，x=e 时， ） ，故函数 在 上是减2e)(xf,1e2ea0)(xf )(xf,1e函数，此时 8 分min2a综上可知，当 时， 的最小值为 1，相应的 x 值为 1；当 时，)(xf 22ae)(xf的最小值为 ，相应的 x 值为 ；当 时， 的最小值为 ，2)ln(a2a2e)(fe相应的 x 值为 10 分e（3）不等式 ， 可化为 xaf)2()xxa2)ln( , 且等号不能同时取，所以 ，即 ，1ex1ln l 0lnx因而 （ ）12 分xal2,e令 （ ） ，又 ，14 分gln)(2,12)ln(1)(xxg当 时， ， ，,1exl,0x0l2从而
10、 （仅当 x=1 时取等号） ，所以 在 上为增函数，)(g )(xg,1e故 的最小值为 ，所以 a 的取值范围是 16 分x1)(g ),7.已知函数 )(ln2)(Rxxf （1）求 的单调区间；)(xf（2）设 ，若 在 上不单调且仅在 处取得最大值，求 的取值范围xg2)(g,1eexa解：（1） -2 分0)( af若 ，则 ，所以此时只有递增区间（ -4 分0a)(xf ),0若 ，当ax时 ， 得0xf)(时 ， 得当所以此时递增区间为：（ ，递减区间为：（0， -6 分),)a（2） ，设(2)( xaxaxg xh2)()0(若 在 上不单调，则 ，,1e0)1eh3ae-
11、10 分a23同时 仅在 处取得最大值， 即可)(xge)1(ge只 要得出： -14 分 的范围：252aa)25,32e8.已知函数 xbxfln2)(（）若函数 在 ， 处取得极值，求 ， 的值；f12ab（）若 ，函数 在 上是单调函数，求 的取值范围()2)(xf),021 解：（） ， 2bfa由 ，可得 (1)02f13b（）函数 的定义域是 ， )(xf),0(因为 ，所以 112a所以2 2(1)()(1)()axxaf要使 在 上是单调函数，只要 或 在 上恒成立f),0()0f ()fx ),0(10 分当 时， 恒成立，所以 在 上是单调函数； a21()0xf)(f)
12、,当 时，令 ，得 ， ，01122ax此时 在 上不是单调函数； )(xf),当 时，要使 在 上是单调函数，只要 ，即a(xf),00 12综上所述， 的取值范围是 12a9.已知函数 f (x) x3 ax2 bx， a , b R1() 曲线 C： y f (x) 经过点 P (1，2)，且曲线 C 在点 P 处的切线平行于直线 y2 x1，求 a， b的值；() 已知 f (x)在区间 (1，2) 内存在两个极值点，求证：0 a b2()解: ，)(f2ab由题设知： 解得 6 分1()2,3fab2,37.ab()解：因为 在区间 内存在两个极值点 ，()fx(1,)所以 ，即 在
13、 内有两个不等的实根020axb(1,2)故 2(1),()4,3()0.(4)fab由 (1)+(3)得 .由（4）得 ，2a因 ，故 ，从而 .21a21()42ab所以 02ab10 （本小题满分 14 分）设函数 ，已知 ，且 （ aR，且 a0） ，函数()|1|fxax=+)1(ff)1(ff（ bR， c 为正整数）有两个不同的极值点，且该函数图象上取得极值的两点32gaA、B 与坐标原点 O 在同一直线上。（1）试求 a、b 的值；（2）若 时，函数 的图象恒在函数 图象的下方，求正整数 的值。0x()gx()fxc解析：（1） ， f(1)1a21又 ， ，即 a a21由得
14、 ， 又 时，、不成立，故 -2 分1aa1a ，设 x1、 x2是函数 的两个极值点，则 x1、 x2是方程32()gxbc()g=0 的两个根， ，/ 240()bc为 正 整 数 x1+x2= ，又 A、O、B 三点共线， = ，3311x32xbc =0，又 x1 x2，b= x1+x2= ，b=0-6 分1212()()xb（2） 时， ， -7 分0minf由 得 ，可知 在 上单调递增，在/2()3gxc3cx()gx0,)3c(,)3c上单调递减， -9 分2()()g极 大 值由 得 的值为 1 或 2 （ 为正整数） -11 分132c3,cc 时，记 在 上切线斜率为 2 的切点的横坐标为 ，13c()gx,30x则由 得 ，依题意得 ，/2()3gxc023cx00()gxf得 与 矛盾3200,2,c3（或构造函数 在 上恒正）hxgx1综上，所求 的值为 1 或 2c
