数学建模高斯扩散模型.pdf

1、 4-2 高 斯 扩 散 模 式 平 均 风 速 ；Q 源 强 是 指 污 染 物 排 放 速 率 。 与 空 气 中 污 染 物 质 的 浓 度 成 正 比 ， 它 是 研 究 空 气污 染 问 题 的 基 础 数 据 。 通 常 ：（ ） 瞬 时 点 源 的 源 强 以 一 次 释 放 的 总 量 表 示 ；（ ） 连 续 点 源 以 单 位 时 间 的 释 放 量 表 示 ；（ ） 连 续 线 源 以 单 位 时 间 单 位 长 度 的 排 放 量 表 示 ；（ ） 连 续 面 源 以 单 位 时 间 单 位 面 积 的 排 放 量 表 示 。 y 侧 向 扩 散 参 数 ， 污 染 物

2、 在 y方 向 分 布 的 标 准 偏 差 ， 是 距 离 y的 函 数 ， m； z 竖 向 扩 散 参 数 ， 污 染 物 在 z方 向 分 布 的 标 准 偏 差 ， 是 距 离 z的 函 数 ， m；未 知 量 浓 度 c、 待 定 函 数 A(x)、 待 定 系 数 a、 b；式 、 、 、 组 成 一 方 程 组 ， 四 个 方 程 式 有 四 个 未 知 数 ， 故 方 程 式 可 解 。二 、 高 斯 扩 散 模 式（ 一 ） 连 续 点 源 的 扩 散连 续 点 源 一 般 指 排 放 大 量 污 染 物 的 烟 囱 、 放 散 管 、 通 风 口 等 。 排 放 口 安 置

3、 在 地 面 的称 为 地 面 点 源 ， 处 于 高 空 位 置 的 称 为 高 架 点 源 。1. 大 空 间 点 源 扩 散高 斯 扩 散 公 式 的 建 立 有 如 下 假 设 ： 风 的 平 均 流 场 稳 定 ， 风 速 均 匀 ， 风 向 平 直 ； 污 染 物 的 浓 度 在 y、 z轴 方 向 符 合 正 态 分 布 ； 污 染 物 在 输 送 扩 散 中 质 量 守 恒 ； 污染 源 的 源 强 均 匀 、 连 续 。图 5 9所 示 为 点 源 的 高 斯 扩 散 模 式 示 意 图 。 有 效 源 位 于 坐 标 原 点 o处 ， 平 均 风 向与 x轴 平 行 ， 并

4、 与 x轴 正 向 同 向 。 假 设 点 源 在 没 有 任 何 障 碍 物 的 自 由 空 间 扩 散 ， 不 考 虑下 垫 面 的 存 在 。 大 气 中 的 扩 散 是 具 有 y与 z两 个 坐 标 方 向 的 二 维 正 态 分 布 ， 当 两 坐 标 方向 的 随 机 变 量 独 立 时 ， 分 布 密 度 为 每 个 坐 标 方 向 的 一 维 正 态 分 布 密 度 函 数 的 乘 积 。 由 正态 分 布 的 假 设 条 件 ， 参 照 正 态 分 布 函 数 的 基 本 形 式 式 （ 5 15） ， 取 0， 则 在 点 源下 风 向 任 一 点 的 浓 度 分 布 函

5、 数 为 ： （ 5 16）式 中 C 空 间 点 （ x， y， z） 的 污 染 物 的 浓 度 ， mg/m3；A（ x） 待 定 函 数 ； y、 z 分 别 为 水 平 、 垂 直 方 向 的 标 准 差 ， 即 y、 x方 向 的 扩 散 参 数 ， m。由 守 恒 和 连 续 假 设 条 件 和 ， 在 任 一 垂 直 于 x轴 的 烟 流 截 面 上 有 ：（ 5 17）式 中 q 源 强 ， 即 单 位 时 间 内 排 放 的 污 染 物 ， g/s；u 平 均 风 速 ， m/s。将 式 （ 5 16） 代 入 式 （ 5 17） , 由 风 速 稳 定 假 设 条 件 ，

6、 A与 y、 z无 关 ， 考虑 到 和 ， 积 分 可 得 待 定 函 数 A（ x） ：（ 5 18）将 式 （ 5 18） 代 入 式 （ 5 16） ， 得 大 空 间 连 续 点 源 的 高 斯 扩 散 模 式 （ 519）式 中 ， 扩 散 系 数 y、 z与 大 气 稳 定 度 和 水 平 距 离 x有 关 ， 并 随 x的 增 大 而 增 加 。 当 y 0， z 0时 ， A（ x） C（ x， 0,0） ， 即 A（ x） 为 x轴 上 的 浓 度 ， 也 是 垂 直 于 x轴 截面 上 污 染 物 的 最 大 浓 度 点 Cmax。 当 x ， y及 z ， 则 C 0，

7、 表 明 污 染 物 以 在 大 气中 得 以 完 全 扩 散 。2 高 架 点 源 扩 散在 点 源 的 实 际 扩 散 中 ， 污 染 物 可 能 受 到 地 面 障 碍 物 的 阻 挡 ， 因 此 应当 考 虑 地 面 对 扩 散 的 影 响 。 处 理 的 方 法 是 ， 或 者 假 定 污 染 物 在 扩 散 过 程 中的 质 量 不 变 ， 到 达 地 面 时 不 发 生 沉 降 或 化 学 反 应 而 全 部 反 射 ； 或 者 污 染 物在 没 有 反 射 而 被 全 部 吸 收 ， 实 际 情 况 应 在 这 两 者 之 间 。（ 1） 高 架 点 源 扩 散 模 式 。 点

8、 源 在 地 面 上 的 投 影 点 o作 为 坐 标 原 点 ， 有效 源 位 于 z轴 上 某 点 ， z H。 高 架 有 效 源 的 高 度 由 两 部 分 组 成 ， 即 H h h， 其 中 h为 排 放 口 的 有 效 高 度 ， h是 热 烟 流 的 浮 升 力 和 烟 气 以 一 定 速 度 竖 直 离 开 排 放 口 的 冲 力使 烟 流 抬 升 的 一 个 附 加 高 度 ， 如 图 5 10所 示 。当 污 染 物 到 达 地 面 后 被 全 部 反 射 时 ， 可 以 按 照 全 反 射 原 理 ， 用 “ 像 源 法 ” 来 求解 空 间 某 点 k的 浓 度 。

9、图 5 10中 k点 的 浓 度 显 然 比 大 空 间 点 源 扩 散 公 式 （ 5 19） 计算 值 大 ， 它 是 位 于 (0， 0， H)的 实 源 在 k点 扩 散 的 浓 度 和 反 射 回 来 的 浓 度 的 叠 加 。 反 射浓 度 可 视 为 由 一 与 实 源 对 称 的 位 于 (0， 0， H)的 像 源 （ 假 想 源 ） 扩 散 到 k点 的 浓 度 。由 图 可 见 ， k点 在 以 实 源 为 原 点 的 坐 标 系 中 的 垂 直 坐 标 为 (z-H)， 则 实 源 在 k点 扩 散 的 浓度 为 式 （ 5 19） 的 坐 标 沿 z轴 向 下 平 移

10、 距 离 H： （ 520） k点 在 以 像 源 为 原 点 的 坐 标 系 中 的 垂 直 坐 标 为 (z H)， 则 像 源 在 k点 扩 散 的 浓 度 为式 （ 5 19） 的 坐 标 沿 z轴 向 上 平 移 距 离 H：（ 521） 由 此 ， 实 源 Cs与 像 源 Cx之 和 即 为 k点 的 实 际 污 染 物 浓 度 ： （ 5 22）若 污 染 物 到 达 地 面 后 被 完 全 吸 收 ， 则 Cx 0， 污 染 物 浓 度 C（ x， y， z， H） Cs，即 式 （ 5 20） 。（ 2） 地 面 全 部 反 射 时 的 地 面 浓 度 。 实 际 中 ， 高

11、 架 点 源 扩 散 问 题 中 最 关 心 的 是地 面 浓 度 的 分 布 状 况 ， 尤 其 是 地 面 最 大 浓 度 值 和 它 离 源 头 的 距 离 。 在 式 （ 5 22） 中 ，令 z 0， 可 得 高 架 点 源 的 地 面 浓 度 公 式 ：（ 5 23） 上 式 中 进 一 步 令 y 0则 可 得 到 沿 x轴 线 上 的 浓 度 分 布 ：（ 5 24）地 面 浓 度 分 布 如 图 图 5 11所 示 。 y方 向 的 浓 度 以 x轴 为 对 称 轴 按 正 态分 布 ； 沿 x轴 线 上 ， 在 污 染 物 排 放 源 附 近 地 面 浓 度 接 近 于 零

12、 ， 然 后 顺 风 向 不 断增 大 ， 在 离 源 一 定 距 离 时 的 某 处 ， 地 面 轴 线 上 的 浓 度 达 到 最 大 值 ， 以 后 又 逐 渐 减 小 。地 面 最 大 浓 度 值 Cmax及 其 离 源 的 距 离 xmax可 以 由 式 （ 5 24） 求 导 并 取 极 值 得 到 。令 ， 由 于 y、 z均 为 x的 未 知 函 数 ， 最 简 单 的 情 况 可 假 定 y/ z 常 数 ，则 当 （ 525） 时 ， 得 地 面 浓 度 最 大 值 （ 526）由 式 （ 5 25） 可 以 看 出 ， 有 效 源 H越 高 ， xmax处 的 z值 越

13、大 ， 而 z xmax， 则 Cmax出 现 的 位 置 离 污 染 源 的 距 离 越 远 。 式 （ 5 26） 表 明 ， 地 面 上 最 大 浓 度 Cmax与 有 效 源 高 度的 平 方 及 平 均 风 速 成 反 比 ， 增 加 H可 以 有 效 地 防 止 污 染 物 在 地 面 某 一 局 部 区 域 的 聚 积 。式 （ 5 25） 和 式 （ 5 26） 是 在 估 算 大 气 污 染 时 经 常 选 用 的 计 算 公 式 。 由 于 它 们 是在 y/ z 常 数 的 假 定 下 得 到 的 ， 应 用 于 小 尺 度 湍 流 扩 散 更 合 适 。 除 了 极 稳

14、定 或 极 不 稳 定 的 大 气 条 件 ， 通 常 可 设 y/ z 2估 算 最 大 地 面 浓 度 ， 其 估 算 值 与 孤 立 高架 点 源 (如 电 厂 烟 囱 )附 近 的 环 境 监 测 数 据 比 较 一 致 。 通 过 理 论 或 经 验 的 方 法 可 得 z f（ x） 的 具 体 表 达 式 ， 代 入 （ 5 25） 可 求 出 最 大 浓 度 点 离 源 的 距 离 xmax， 具 体 可 查 阅 我国 GB3840 91 制 定 地 方 大 气 污 染 物 排 放 标 准 的 技 术 方 法 。3. 地 面 点 源 扩 散对 于 地 面 点 源 ， 则 有 效

15、 源 高 度 H 0。 当 污 染 物 到 达 地 面 后 被 全 部 反 射 时 ， 可 令 式 （ 5 22） 中 H 0， 即 得 出 地 面 连 续 点 源 的 高 斯 扩 散 公 式 : （ 5 27）其 浓 度 是 大 空 间 连 续 点 源 扩 散 式 （ 5 19） 或 地 面 无 反 射 高 架 点 源 扩 散 式 （ 5 20） 在 H 0时 的 两 倍 ， 说 明 烟 流 的 下 半 部 分 完 全 对 称 反 射 到 上 部 分 ， 使 得 浓 度 加 倍 。 若 取 y与z等 于 零 ， 则 可 得 到 沿 x轴 线 上 的 浓 度 分 布 ：（ 5 28）如 果 污

16、 染 物 到 达 地 面 后 被 完 全 吸 收 ， 其 浓 度 即 为 地 面 无 反 射 高 架 点 源 扩 散 式 （ 520） 在 H 0时 的 浓 度 ， 也 即 大 空 间 连 续 点 源 扩 散 式 （ 5 19） 。高 斯 扩 散 模 式 的 一 般 适 用 条 件 是 ： 地 面 开 阔 平 坦 ， 性 质 均 匀 ， 下 垫 面 以 上 大 气 湍流 稳 定 ； 扩 散 处 于 同 一 大 气 温 度 层 结 中 ， 扩 散 范 围 小 于 10km； 扩 散 物 质 随 空 气 一 起运 动 ， 在 扩 散 输 送 过 程 中 不 产 生 化 学 反 应 ， 地 面 也

17、不 吸 收 污 染 物 而 全 反 射 ； 平 均 风 向和 风 速 平 直 稳 定 ， 且 u 1 2m/s。高 斯 扩 散 模 式 适 应 大 气 湍 流 的 性 质 ， 物 理 概 念 明 确 ， 估 算 污 染 浓 度 的 结 果 基 本上 能 与 实 验 资 料 相 吻 合 ， 且 只 需 利 用 常 规 气 象 资 料 即 可 进 行 简 单 的 数 学 运 算 ， 因 此 使 用最 为 普 遍 。（ 二 ） 连 续 线 源 的 扩 散当 污 染 物 沿 一 水 平 方 向 连 续 排 放 时 ， 可 将 其 视 为 一 线 源 ， 如 汽 车 行 驶 在 平 坦 开阔 的 公 路

18、 上 。 线 源 在 横 风 向 排 放 的 污 染 物 浓 度 相 等 ， 这 样 ， 可 将 点 源 扩 散 的 高 斯 模 式 对变 量 y积 分 ， 即 可 获 得 线 源 的 高 斯 扩 散 模 式 。 但 由 于 线 源 排 放 路 径 相 对 固 定 ， 具 有 方 向性 ， 若 取 平 均 风 向 为 x轴 ， 则 线 源 与 平 均 风 向 未 必 同 向 。 所 以 线 源 的 情 况 较 复 杂 ， 应 当考 虑 线 源 与 风 向 夹 角 以 及 线 源 的 长 度 等 问 题 。如 果 风 向 和 线 源 的 夹 角 45， 无 限 长 连 续 线 源 下 风 向 地

19、 面 浓 度 分 布 为 ：（ 529）当 45时 ， 以 上 模 式 不 能 应 用 。 如 果 风 向 和 线 源 的 夹 角 垂 直 ， 即 90， 可 得 ：（ 5 30） 对 于 有 限 长 的 线 源 ， 线 源 末 端 引 起 的 “ 边 缘 效 应 ” 将 对 污 染 物 的 浓 度 分 布 有 很大 影 响 。 随 着 污 染 物 接 受 点 距 线 源 的 距 离 增 加 ， “ 边 源 效 应 ” 将 在 横 风 向 距 离 的 更 远 处起 作 用 。 因 此 在 估 算 有 限 长 污 染 源 形 成 的 浓 度 分 布 时 ， “ 边 源 效 应 ” 不 能 忽 视

20、 。 对 于 横风 向 的 有 限 长 线 源 ， 应 以 污 染 物 接 受 点 的 平 均 风 向 为 x轴 。 若 线 源 的 范 围 是 从 y1到 y2，且 y1 y2， 则 有 限 长 线 源 地 面 浓 度 分 布 为 ： （ 5 31）式 中 ， s1 y1/ y， s2 y2/ y， 积 分 值 可 从 正 态 概 率 表 中 查 出 。（ 三 ） 连 续 面 源 的 扩 散当 众 多 的 污 染 源 在 一 地 区 内 排 放 时 ， 如 城 市 中 家 庭 炉 灶 的 排 放 ，可 将 它 们 作 为 面 源 来 处 理 。 因 为 这 些 污 染 源 排 放 量 很 小

21、 但 数 量 很 大 ， 若依 点 源 来 处 理 ， 将 是 非 常 繁 杂 的 计 算 工 作 。常 用 的 面 源 扩 散 模 式 为 虚 拟 点 源 法 ， 即 将 城 市 按 污 染 源 的 分 布 和 高 低 不 同 划 分 为 若干 个 正 方 形 ， 每 一 正 方 形 视 为 一 个 面 源 单 元 ， 边 长 一 般 在 0.5 10km之 间 选 取 。 这 种 方法 假 设 ： 有 一 距 离 为 x0的 虚 拟 点 源 位 于 面 源 单 元 形 心 的 上 风 处 ， 如 图 5-12所 示 ， 它在 面 源 单 元 中 心 线 处 产 生 的 烟 流 宽 度 为

22、2y0 4.3 y0， 等 于 面 源 单 元 宽 度 B； 面 源 单 元向 下 风 向 扩 散 的 浓 度 可 用 虚 拟 点 源 在 下 风 向 造 成 的 同 样 的 浓 度 所 代 替 。 根 据 污 染 物 在 面源 范 围 内 的 分 布 状 况 ， 可 分 为 以 下 两 种 虚 拟 点 源 扩 散 模 式 ：第 一 种 扩 散 模 式 假 定 污 染 物 排 放 量 集 中 在 各 面 源 单 元 的 形 心 上 。 由 假 设 可 得 ：（ 532） 由 确 定 的 大 气 稳 定 度 级 别 和 上 式 求 出 的 ， 应 用 P G曲 线 图 （ 见 下 节 ） 可 查

23、 取xo。 再 由 (x0 x)分 布 查 出 y和 z， 则 面 源 下 风 向 任 一 处 的 地 面 浓 度 由 下 式 确 定 ：（ 5 33）上 式 即 为 点 源 扩 散 的 高 斯 模 式 （ 5 24） ， 式 中 H取 面 源 的 平 均 高 度 ， m。如 果 排 放 源 相 对 较 高 ， 而 且 高 度 相 差 较 大 ， 也 可 假 定 z方 向 上 有 一 虚 拟 点 源 ， 由 源的 最 初 垂 直 分 布 的 标 准 差 确 定 ， 再 由 求 出 ， 由 求 出 z， 由 (x0 x) 求出 y， 最 后 代 入 式 （ 5 33） 求 出 地 面 浓 度 。

24、第 二 种 扩 散 模 式 假 定 污 染 物 浓 度 均 匀 分 布 在 面 源 的 y方 向 ， 且 扩 散 后 的 污 染 物全 都 均 匀 分 布 在 长 为 (x0 x) 8的 弧 上 ， 如 图 5-12所 示 。 因 此 ， 利 用 式 （ 5 32） 求 y后 ， 由 稳 定 度 级 别 应 用 P G曲 线 图 查 出 x0， 再 由 (x0 x) 查 出 z， 则 面 源 下 风 向 任一 点 的 地 面 浓 度 由 下 式 确 定 ： （ 5 34）三 、 扩 散 参 数 及 烟 流 抬 升 高 度 的 确 定高 斯 扩 散 公 式 的 应 用 效 果 依 赖 于 公 式

25、 中 的 各 个 参 数 的 准 确 程 度 ， 尤 其 是 扩 散 参 数 y、 z及 烟 流 抬 升 高 度 h的 估 算 。 其 中 ， 平 均 风 速 u取 多 年 观 测 的 常 规 气 象 数 据 ； 源强 q可 以 计 算 或 测 定 ， 而 y、 z及 h与 气 象 条 件 和 地 面 状 况 密 切 相 关 。1. 扩 散 参 数 y、 z的 估 算扩 散 参 数 y、 z是 表 示 扩 散 范 围 及 速 率 大 小 的 特 征 量 ， 也 即 正 态 分 布 函 数 的 标 准差 。 为 了 能 较 符 合 实 际 地 确 定 这 些 扩 散 参 数 ， 许 多 研 究

26、工 作 致 力 于 把 浓 度 场 和 气 象 条 件结 合 起 来 ， 提 出 了 各 种 符 合 实 验 条 件 的 扩 散 参 数 估 计 方 法 。 其 中 应 用 较 多 的 由 是 帕 斯 奎尔 (Pasquill) 和 吉 福 特 (Gifford)提 出 的 扩 散 参 数 估 算 方 法 ， 也 称 为 P G扩 散 曲 线 ，如 图 5 13和 图 5 14所 示 。 由 图 可 见 ， 只 要 利 用 当 地 常 规 气 象 观 测 资 料 ， 由 表 5 1查 取 帕 斯 奎 尔 大 气 稳 定 度 等 级 ， 即 可 确 定 扩 散 参 数 。 扩 散 参 数 具 有

27、 如 下 规 律 ： 随着 离 源 距 离 增 加 而 增 大 ； 不 稳 定 大 气 状 态 时 的 值 大 于 稳 定 大 气 状 态 ， 因 此 大 气 湍 流运 动 愈 强 ， 值 愈 大 ； 以 上 两 种 条 件 相 同 时 ， 粗 糙 地 面 上 的 值 大 于 平 坦 地 面 。由 于 利 用 常 规 气 象 资 料 便 能 确 定 帕 斯 奎 尔 大 气 稳 定 度 ， 因 此 P G扩 散 曲 线 简 便 实用 。 但 是 ， P G扩 散 曲 线 是 利 用 观 测 资 料 统 计 结 合 理 论 分 析 得 到 的 ， 其 应 用 具 有 一 定 的经 验 性 和 局

28、限 性 。 y是 利 用 风 向 脉 动 资 料 和 有 限 的 扩 散 观 测 资 料 作 出 的 推 测 估 计 ， z是 在 近 距 离 应 用 了 地 面 源 在 中 性 层 结 时 的 竖 直 扩 散 理 论 结 果 ， 也 参 照 一 些 扩 散 试 验 资 料后 的 推 算 ， 而 稳 定 和 强 不 稳 定 两 种 情 况 的 数 据 纯 系 推 测 结 果 。 一 般 ， P G扩 散 曲 线 较 适用 于 近 地 源 的 小 尺 度 扩 散 和 开 阔 平 坦 的 地 形 。 实 践 表 明 ， y的 近 似 估 计 与 实 际 状 况 比较 符 合 ， 但 要 对 地 面

29、 粗 糙 度 和 取 样 时 间 进 行 修 正 ； z的 估 计 值 与 温 度 层 结 的 关 系 很 大 ，适 用 于 近 地 源 的 lkm以 内 的 扩 散 。 因 此 ， 大 气 扩 散 参 数 的 准 确 定 量 描 述 仍 是 深 入 研 究 的课 题 。估 算 地 面 最 大 浓 度 值 Cmax及 其 离 源 的 距 离 xmax时 ， 可 先 按 式 （ 5 25） 计 算 出 z， 并图 5-14查 取 对 应 的 x值 ， 此 值 即 为 当 时 大 气 稳 定 度 下 的 xmax。 然 后 从 图 5-13查 取 与 xmax对 应 的 y值 ， 代 如 式 （ 5 26） 即 可 求 出 Cmax值 。 用 该 方 法 计 算 ， 在 E、 F级 稳 定 度 下 误差 较 大 ， 在 D、 C级 时 误 差 较 小 。 H越 高 ， 误 差 越 小 。我 国 GB3840 91 制 定 地 方 大 气 污 染 物 排 放 标 准 的 技 术 方 法 采 用 如 下 经 验 公 式 确定 扩 散 参 数 y、 z：（ 5 35）式 中 ， 1、 1、 2及 2称 为 扩 散 系 数 。 这 些 系 数 由 实 验 确 定 ， 在 一 个 相 当 长 的 x距 离内 为 常 数 ， 可 从 GB3840 91的 表 中 查 取 。