1、计算机科学与技术专业 级第二学期离散数学试题2012 年 1 月一、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分）1C 2C 3B 4A 5D1若集合 A 的元素个数为 10，则其幂集的元素个数为（ ） A10 B100 C1024 D12设 A=a, b，B=1, 2，R 1，R 2，R 3 是 A 到 B 的二元关系，且 R1=, ，R 2=, , ，R 3=, ，则（ ）是从 A 到 B 的函数AR 1 和 R2 BR 2 CR 3 DR 1 和 R33设 A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8，R 是 A 上的整除关系，B=2, 4, 6，则集合 B 的最大元、最小元、上界、
2、下界依次为 ( )A8、2、8、2 B无、2、无、2C6、2、6、2 D8、1、6、14若完全图 G 中有 n 个结点 (n2)，m 条边，则当（ ）时，图 G 中存在欧拉回路An 为奇数 Bn 为偶数 Cm 为奇数 Dm 为偶数5已知图 G 的邻接矩阵为 则 G 有（ ） A6 点，8 边 B6 点，6 边 C5 点，8 边 D5 点，6 边二、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分）6设集合 Aa，那么集合 A 的幂集是 ,a 7若 R1 和 R2 是 A 上的对称关系，则 R1R 2，R 1R 2，R 1-R2 ，R 2-R1 中对称关系有 4 个 8设图 G 是有 5 个结点的连通图
3、，结点度数总和为 10，则可从 G 中删去 1 条边后使之变成树9设连通平面图 G 的结点数为 5，边数为 6，则面数为 3 10设个体域 Da, b，则谓词公式(x)(A(x )B（x）消去量词后的等值式为 (A (a)B (b)(A（a）B（b） 三、逻辑公式翻译（每小题 6 分，本题共 12 分）11将语句“今天有联欢活动，明天有文艺晚会 ”翻译成命题公式设 P：今天有联欢活动，Q：明天有文艺晚会， （2 分）PQ （6 分）12将语句“如果小王来，则小李去 ” 翻译成命题公式设 P：小王来，Q：小李去 （2 分）P Q （6 分）四、判断说明题（每小题 7 分，本题共 14 分）判断下
4、列各题正误，并说明理由13若偏序集的哈斯图如图一所示， 则集合 A 的最大元为 a，极小元不存在错误 （3 分）对于集合 A 的任意元素 x，均有R（或 xRa） ，所以 a 是集合 A 中的最大元 （5 分）但按照极小元的定义，在集合 A 中 b,c,d 均是极小元 （7 分）14P（PQ）P 为永假式错误 （3 分）P（P Q）P 是由P（PQ）与 P 组成的析取式，如果 P 的值为真，则P（PQ ）P 为真， （5 分）如果 P 的值为假，则P 与 PQ 为真，即P（PQ ）为真，也即P（PQ）P 为真，所以P（PQ）P 是永真式 （7 分）另种说明：P（P Q）P 是由P（PQ）与 P
5、 组成的析取式，只要其中一项为真，则整个公式为真 （5 分）可以看到，不论 P 的值为真或为假，P（PQ ）与 P 总有一个为真， 所以P（PQ） P 是永真式 （7 分）或用等价演算P（PQ ）P T五计算题（每小题 12 分，本题共 36 分）15设集合 A=1，2，3，4，R=|x, yA；|xy|=1 或 xy=0，试（1）写出 R 的有序对表示；（2）画出 R 的关系图；（3）说明 R 满足自反性，不满足传递性15 （1）R=, （3 分）（2）关系图如图二：图二 （6 分）（3）因为,均属于 R，即 A 的每个元素构成的有序对均在 R 中，故 R 在 A 上是自反的 （9 分）因有
6、 与属于 R，但 不属于 R，所以 R 在 A 上不是传递的（12 分） ab c d图一16设图 G= ，V = v1，v 2，v 3，v 4，v 5，E = (v1, v2)，(v 1, v3)，( v2, v4)，( v3, v5)，(v 4, v5) ，试(1) 画出 G 的图形表示；(2) 写出其邻接矩阵；(3) 求出每个结点的度数；(4) 画出图 G 的补图的图形16 （1）关系图如图三： （3 分）（2）邻接矩阵（6 分）010010（3）deg( v1)=2deg(v2)=2deg(v3)=2deg(v4)=2deg(v5)=2 （9 分）（4）补图如图四（12 分）17求 P
7、QR 的合取范式与主析取范式P（RQ）P(R Q) （4 分） （P Q）（P R） （合取范式） （6 分）P（RQ）P(R Q)(P (QQ) )( RQ) （7 分）(P Q)(PQ) ( RQ ) （8 分）(PQ) (R R)(PQ )(RQ ) （9 分）(P QR)(PQR) (PQ) (RQ) （10 分）(P QR)(PQR) (PQ) (RR)(RQ )(P QR)(PQR) (PQR) (P QR)(R Q)(P QR)(PQR) (PQR) (PQR)(PP )(RQ ) v1v2v3 v4图三v5 v1v2v3 v4图四v5(P QR)(PQR) (PQR) (PQR
8、) (PRQ) （主析取范式） （12 分）说明：此题解法步骤多样，若能按正确步骤求得结果，均可给分六、证明题（本题共 8 分）18设连通无向图 G 有 14 条边， 3 个 4 度顶点，4 个 3 度顶点，其它顶点的度数均小于 3，试说明G 中可能有的顶点数证明： 可利用数列可图化及握手定理解答顶点度数和为214=28， （2分）28-（34+43）=4 ，则知其他顶点度数和为4， （4分）对于有限图，若无零度顶点，则除4度及3度顶点外，可能的顶点情况有：2个2度点；1个2度点和2个1度点；4个1度点， （6分）即对应图的顶点数分别至少为 9、10、11 （8 分）2011 年 7 月一、单
9、项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分）1A 2C 3C 4D 5B1若集合 A=1，1，2，1，2，则下列表述正确的是( )A2 A B1，2 AC1A D2 A2设 G 为无向图，则下列结论成立的是 ( ) A无向图 G 的结点的度数等于边数的两倍 B无向图 G 的结点的度数等于边数 C无向图 G 的结点的度数之和等于边数的两倍 D无向图 G 的结点的度数之和等于边数3图 G 如图一所示，以下说法正确的是 ( ) A(a，b) 是边割集B a，c 是点割集Cd是点割集D ( c，d)是边割集图一4设集合 A=1，则 A 的幂集为( )A1 B1 ，1C，1 D ，15设 A(x)：x
10、是人，B(x) ：x 犯错误，则命题“没有不犯错误的人”可符号化为（ ） A( x)( A(x) B(x) B( x)( A(x)B (x)C( x)( A(x)B(x ) D( x)( A(x)B(x)二、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分）6命题公式 的真值是 真（或 T，或 1） P7若无向图 T 是连通的，则 T 的结点数 v 与边数 e 满足关系 v= e+1 时，T 是树8无向图 G 是欧拉图的充分必要条件是 G 是连通的且 结点度数都是偶数 abcdef9设集合 A=1，2上的关系 R,，则在 R 中仅需加入一个元素 ，就可使新得到的关系为自反的10(x)(P(x)R (y
11、)S( z) 中的约束变元有 x 三、逻辑公式翻译（每小题 6 分，本题共 12 分）11将语句“雪是黑色的 ”翻译成命题公式设 P：雪是黑色的， （2 分）则命题公式为：P （6 分）12将语句“如果明天下雨，则我们就在室内上体育课 ”翻译成命题公式设 P：如果明天下雨， Q：我们在室内上体育课， （2 分）则命题公式为：P Q （6 分）四、判断说明题（每小题 7 分，本题共 14 分）判断下列各题正误，并说明理由13设集合 A=1，2，B=3 ，4 ，从 A 到 B 的关系为 f=，则 f 是 A 到 B 的函数错误 （3 分）因为 A 中元素 1 有 B 中两个不同的元素与之对应，故
12、f 不是 A 到 B 的函数 （7 分）14设 G 是一个连通平面图，有 5 个结点 9 条边，则 G 有 6 个面正确 （3 分）因 G 是一个连通平面图，满足欧拉定理，有 v-e+r=2，所以 r=2-（v- e）=2-（5-9）=6 （7 分）五计算题（每小题 12 分，本题共 36 分）15试求出 P（RQ）的合取范式P（RQ）P（RQ） （6 分） (PR ) （PQ） （合取范式） （12 分）16设 A=1, 1, 2，1 ，B= 1, 2, 2，试计算（1）（AB ） （2）（AB） （3）（AB ） A（1） （AB ）=1 （4 分）（2） （AB）=1, 2, 1, 2,
13、 1, 2 （8 分）（3） （AB）A = （12 分）17试画一棵带权为 2, 3, 3, 4, 5,的最优二叉树,并计算该最优二叉树的权最优二叉树如图二所示 （10 分）图二权为 23+33+32+42+52=39 （12 分）六、证明题（本题共 8 分）18试证明：若 R 与 S 是集合 A 上的对称关系，则 RS 也是集合 A 上的对称关系证明：设x， yA，因为 R 对称，所以若R，则R （2 分）因为 S 对称，所以若S，则S （4 分） 2 33 45510 717于是若RS 则R 且S 即 R 且S （6 分）也即 RS，故 RS 是对称的 （8 分）中央广播电视大学 201
14、02011 学年度第一学期“开放本科”期末考试离散数学（本）试题2011 年 1 月一、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分）1A 2D 3B 4D 5C1若集合 A a，1，则下列表述正确的是( )A1 A B1ACaA D A2设图 G，v V，则下列结论成立的是 ( )Adeg( v)=2E Bdeg(v)=E C DV)deg( V2deg3如图一所示，以下说法正确的是 ( )A(e, c) 是割边 B( d, e)是割边C(b, a)是割边 D(b, c)是割边4命题公式（PQ）的合取范式是 ( ) AP B （PQ ） C （PP） D （PQ ）5下列等价公式成立的为(
15、)AP QPQ BQ PPQCPP QQ DPP Q二、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分）6设集合 A=0, 1, 2，B=1,2, 3, 4,，R 是 A 到 B 的二元关系，,yxxyR且且则 R 的有序对集合为 ， ， 7设 G 是连通平面图，v, e, r 分别表示 G 的结点数，边数和面数，则 v，e 和 r 满足的关系式 v-e+r=2 8设 G是有 20 个结点，25 条边的连通图，则从 G 中删去 6 条边，可以确定图G 的一棵生成树9无向图 G 存在欧拉回路，当且仅当 G 所有结点的度数全为偶数且 连通 ab cd图一e10设个体域 D1,2，则谓词公式 消去量词后的
16、等值式为 A(1) A(2) )(xA三、逻辑公式翻译（每小题 6 分，本题共 12 分）11将语句“如果小李学习努力，那么他就会取得好成绩 ”翻译成命题公式12将语句“小张学习努力，小王取得好成绩 ”翻译成命题公式11设 P：小李学习努力，Q ：小李会取得好成绩， （2 分）PQ （6 分）12设 P：小张学习努力，Q ：小王取得好成绩， （2 分）PQ （6 分）四、判断说明题（每小题 7 分，本题共 14 分）判断下列各题正误，并说明理由13如果 R1 和 R2 是 A 上的自反关系，则 R1R2 是自反的14如图二所示的图中存在一条欧拉回路13正确 （3 分）R1 和 R2 是自反的，
17、x A， R1， R 2， 则 R1R2， 所以 R1R2 是自反的 （7 分）14正确 （3 分）因为图 G 为连通的，且其中每个顶点的度数为偶数 （7 分）五计算题（每小题 12 分，本题共 36 分）15设 A=2,1,2，B =1,1,2，试计算（1）（A B）； （2）（AB）； （3）A B16设 G= ，V = v1，v 2，v 3，v 4，v 5，E = (v1,v3)，(v 2,v3)，( v2,v4)，( v3,v4)，(v 3,v5)，试（1）给出 G 的图形表示； （2）写出其邻接矩阵；（3）求出每个结点的度数； （4）画出其补图的图形17设谓词公式 ，试),(),()
18、,( zyCzyxyx（1）写出量词的辖域； （2）指出该公式的自由变元和约束变元15（1）A B =2,2 （4 分）（2）AB =1 （8 分）（3）A B=， ， ， （12 分）16 （1）G 的图形表示如图三：图二 v1v2v3 v4图三v5（3 分）（2）邻接矩阵：（6 分）010010（3）v 1，v 2，v 3，v 4，v 5 结点的度数依次为 1，2，4，2，1 （9 分）（4）补图如图四：（12 分）17 （1）x 量词的辖域为 ， （2 分）),(),(zyxByxAz 量词的辖域为 , （4 分）zBy 量词的辖域为 （6 分）)(yC（2）自由变元为 中的 y，以及
19、中的 z （9 分）),(,zxxA),(C约束变元为 中的 x 与 中的 z，以及 中的 y ,)(yzBy(,B(,)（12 分）六、证明题（本题共 8 分）18试证明集合等式 A (BC)=(AB) (AC) 18证明：设 S= A (BC)，T= (AB) (AC)，若 xS，则 xA 或 xBC， （1 分）即 xA 或 xB 且 xA 或 xC （2 分）也即 xAB 且 xAC ， （3 分）即 xT，所以 ST （4 分）反之，若 xT，则 xA B 且 xAC， （5 分）即 xA 或 xB 且 xA 或 xC ， （6 分）也即 xA 或 xB C，即 xS，所以 TS （
20、7 分） v1v2v3 v4图四v5因此 T=S （8 分）2011 年 1 月一、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分）1D 2B 3C 4A 5B1若集合 A=a，b，B= a ， a，b ，则（ ） AA B BABCAB DAB2集合 A=x|x 为小于 10 的自然数 ，集合 A 上的关系 R=|x+y=10 且 x, y A，则 R 的性质为（ ） A自反的 B对称的C传递且对称的 D反自反且传递的3设有向图（a） 、 （b） 、 （c）与（d）如图一所示，则下列结论成立的是 ( )图一A （a）仅为弱连通的 B （b）仅为弱连通的C （c） 仅为弱连通的 D （d）仅为弱
21、连通的4设图 G 的邻接矩阵为 01则 G 的边数为( )A5 B6 C7 D85下列公式 ( )为永真式APQPQ B(P( QP)(P(PQ) C(Q(PQ) (Q(PQ) D( P(PQ) Q二、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分）6设集合 A1，2，3，那么集合 A 的幂集是 ,1,2 ,3 ,1,2,1,3,2,3,1,2,3 7设 A=a，b，B=1，2，作 f：AB，则不同的函数个数为 4 8若 A=1,2，R =|xA, yA, x+y, 9无向连通图在结点数 v 与边数 e 满足 e=v-1 关系时是树10(x)(A(x)B (x)C(x，y)中的自由变元为 C(x，y
22、 )中的 x 与 y 三、逻辑公式翻译（每小题 6 分，本题共 12 分）11将语句“他们去旅游，仅当明天天晴 ”翻译成命题公式12将语句“今天没有下雪 ”翻译成命题公式11设 P：他们去旅游，Q：明天天晴， （2 分）PQ （6 分）12设 P：今天下雪， （2 分） P （6 分）四、判断说明题（每小题 7 分，本题共 14 分）判断下列各题正误，并说明理由13汉密尔顿图一定是欧拉图错误 （3 分）存在汉密尔顿图不是欧拉图 （5 分）反例见图二 （7 分）14下面的推理是否正确，试予以说明(1) （x）（F （ x） G（y） 前提引入(2) F（y） G（y） ES（1） 1、错误 （3
23、 分）（2）应为 F（a ） G（y） ，换名时，约束变元与自由变元不能混淆 （7 分）五计算题（每小题 12 分，本题共 36 分）15设 A=0，1，2，3，4，5，6，R=|xA，y A 且 x+y|xA，y A 且x+y3，试求 R，S，RS，R -1，S -1，r(R)R= （2 分）S=, （4 分）RS=, （6 分）R-1= （8 分）S-1= S （10 分）r(R)=IA （12 分）16画一棵带权为 1, 2, 2, 3, 6 的最优二叉树,计算它们的权最优二叉树如图四：图四 （10 分）权为：13+23+2 3+33+61=30 （12 分）注: 其他正确的最优二叉树参
24、照给分 1 2 2 3368514图二17求（PQ）（RQ）的析取范式，合取范式（PQ）（RQ）（ PQ）（R Q ） （4 分）(PQ)（R Q）(PRQ)(QRQ)(P RQ) 析取、合取范式 （12 分）注: 其他正确答案参照给分 六、证明题（本题共 8 分）18试证明集合等式 A (BC)=(AB) (AC)证明：设 S=A(BC)，T =(AB)(AC)， 若 xS，则 xA 且 xBC，即 xA 且 xB 或 xA 且xC ，也即 xAB 或 xA C ，即 xT，所以 ST （4 分）反之，若 xT，则 xAB 或 xAC，即 xA 且 xB 或 xA 且 xC也即 xA 且 x
25、BC，即 xS，所以 TS因此 T=S （8 分）2010 年 7 月一、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分）1B 2D 3B 4C 5B1若集合 A=1，2，1，2，则下列表述正确的是( )A2A B1AC1A D2 A2已知一棵无向树 T 中有 8 个顶点，4 度、3 度、2 度的分支点各一个，T 的树叶数为( )A6 B4 C3 D53设无向图 G 的邻接矩阵为,01则 G 的边数为( )A1 B7 C6 D144设集合 A=a，则 A 的幂集为( )Aa Ba， aC，a D ，a5下列公式中 ( )为永真式AAB AB BAB (AB)CAB AB DAB (AB)二、填空
26、题（每小题 3 分，本题共 15 分）6命题公式 的真值是 假（或 F，或 0） P7若无向树 T 有 5 个结点，则 T 的边数为 4 8设正则 m 叉树的树叶数为 t，分支数为 i，则(m -1)i= t-1 9设集合 A=1，2上的关系 R,，则在 R 中仅需加一个元素 ，就可使新得到的关系为对称的10(x)(A(x)B (x，z)C(y)中的自由变元有 z，y 三、逻辑公式翻译（每小题 6 分，本题共 12 分）11将语句“今天上课 ”翻译成命题公式设 P：今天上课， （2 分）则命题公式为：P （6 分）12将语句“他去操场锻炼，仅当他有时间 ”翻译成命题公式设 P：他去操场锻炼，Q
27、：他有时间， （2 分）则命题公式为：P Q （6 分）四、判断说明题（每小题 7 分，本题共 14 分）判断下列各题正误，并说明理由13设集合 A=1，2，B=3 ，4 ，从 A 到 B 的关系为 f=，则 f 是 A 到 B 的函数14设 G 是一个有 4 个结点 10 条边的连通图，则 G 为平面图13错误 （3 分）因为 A 中元素 2 没有 B 中元素与之对应，故 f 不是 A 到 B 的函数 （7 分）14错误 （3 分）不满足“设 G 是一个有 v 个结点 e 条边的连通简单平面图，若 v3，则 e3v-6 ”（7 分）五计算题（每小题 12 分，本题共 36 分）15试求出（P
28、Q）（R Q）的析取范式（PQ）（RQ） ( PQ )（RQ） （4 分） (P Q)（R Q ） （8 分） (PQ) R Q （析取范式） （12 分）16设 A=1, 1, 2，B = 1, 2，试计算（1）AB （2）A B （3）A （AB ）（1）AB =1 （4 分）（2）AB =1, 2, 1, 2 （8 分）（3） A（AB ）=1, 2 （12 分）17图 G=，其中 V= a, b, c, d ，E= (a, b), (a, c) , (a, d), (b, c), (b, d), (c, d)，对应边的权值依次为 1、2、3、1、4 及 5，试（1）画出 G 的图形；
29、（2）写出 G 的邻接矩阵；（3）求出 G 权最小的生成树及其权值（1）G 的图形表示如图一所示 ： 图一 ab cd112 453（3 分）（2）邻接矩阵：（6 分）01（3）最小的生成树如图二中的粗线所示： （10 分）权为：1+1+3=5 （12 分）六、证明题（本题共 8 分）18试证明：若 R 与 S 是集合 A 上的自反关系，则 RS 也是集合 A 上的自反关系证明：设xA，因为 R 自反，所以 x R x，即R；又因为 S 自反，所以 x R x，即S （4 分）即RS （6 分）故 RS 自反 （8 分）2010 年 1 月一、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分）1A
30、 2C 3B 4B 5D1若集合 A a，a ，则下列表述正确的是( )Aa A Ba ACa，a A D A2命题公式（PQ）的合取范式是 ( )A （PQ） B （PQ ）（P Q） C （PQ） D（PQ）3无向树 T 有 8 个结点，则 T 的边数为( )A6 B7 C8 D9 4图 G 如图一所示，以下说法正确的是 ( )Aa 是割点 B b, c是点割集Cb, d是点割集 Dc 是点割集图一图二 ab cd112 4535下列公式成立的为( )AP Q PQ BPQ PQCQ P P DP( PQ) Q二、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分）6设集合 A=2, 3, 4，B=
31、1, 2, 3, 4，R 是 A 到 B 的二元关系，,yxyxyR且且则 R 的有序对集合为 ， ， 7如果 R 是非空集合 A 上的等价关系，a A，bA，则可推知 R 中至少包含 ， 等元素8设 G是有 4 个结点，8 条边的无向连通图，则从 G 中删去 5 条边，可以确定图 G 的一棵生成树9设 G 是具有 n 个结点 m 条边 k 个面的连通平面图，则 m 等于 n+k2 10设个体域 D1, 2，A(x)为“x 大于 1”，则谓词公式 的真值为 真（或 T，或 1） ()xA三、逻辑公式翻译（每小题 6 分，本题共 12 分）11将语句“今天考试，明天放假 ”翻译成命题公式设 P：
32、今天考试，Q：明天放假 （2 分）则命题公式为：PQ （6 分）12将语句“我去旅游，仅当我有时间 ”翻译成命题公式设 P：我去旅游，Q：我有时间， （2 分）则命题公式为：PQ （6 分）四、判断说明题（每小题 7 分，本题共 14 分）判断下列各题正误，并说明理由13如果图 G 是无向图，且其结点度数均为偶数，则图 G 是欧拉图错误 （3 分）当图 G 不连通时图 G 不为欧拉图 （7 分）14若偏序集的哈斯图如图二所示，则集合 A 的最大元为 a，最小元是 f图二错误 （3 分）集合 A 的最大元与最小元不存在，a 是极大元，f 是极小元， （7 分）五计算题（每小题 12 分，本题共
33、36 分）15设谓词公式 ，试),(),()zxyByxA（1）写出量词的辖域； （2）指出该公式的自由变元和约束变元（1）x 量词的辖域为 ， （3 分）),(),(z 量词的辖域为 , （6 分）zxy（2）自由变元为 中的 y， （9 分）),(),(zBA约束变元为 x 与 z （12 分）16设集合 A=1,1,2，B=1,1,2，试计算（1）（AB ）； （2）（AB ）； （3）AB（1）A B =1,2 （4 分）（2）AB =1 （8 分）（3）A B=， ， ， ， （12 分）17设 G=，V= v 1， v2，v 3，v 4 ，E= (v 1,v3)，(v 2,v3)，
34、( v2,v4)，(v 3,v4) ，试（1）给出 G 的图形表示； （2）写出其邻接矩阵；（3）求出每个结点的度数； （4）画出其补图的图形（1）G 的图形表示为(如图三)：（3 分）图三（2）邻接矩阵：（6 分）01（3）v 1，v 2，v 3，v 4 结点的度数依次为 1，2，3，2 （9 分）（4）补图如图四所示：（12 分）图四六、证明题（本题共 8 分）18设 A，B 是任意集合，试证明：若 AA=BB，则 A=B证明：设 xA，则AA， （1 分）因为 AA=BB，故BB，则有 xB， （3 分）所以 AB （5 分）设 xB，则BB， （6 分）因为 AA=BB，故AA，则有 xA，所以 BA （7 分）故得 A=B
