1、 第一章 解三角形正弦定理过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教学过程课题导入如图 11-1，固定 ABC 的边 CB 及 B，使边 AC 绕着顶点 C 转动。 A思考： C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边 AB 的长度随着其对角 C 的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B讲授新课在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。在 Rt ABC 中，设 BC=
2、a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有， ，又 , sinaAcibBsin1cC则 iii从而在直角三角形 ABC 中， sinisinabcAB思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图 当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD= ,则 ， CsiniaBbAsiniabB同理可得 ， b aiicC从而 A c Bsinisi思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。过点 A 作 ， jC由向量的加法可得 BA则 A
3、 B()jjC jjjB j00cos9cos9AjC ，即iniaCsinaA同理，过点 C 作 ，可得 jBsinbcBC从而 iiaAi类似可推出，当 ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即=2RsiniabABsincC定理的变形（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数使得_（2） 等价于 ， ，siniabABsincCsiinabABsiincbCsiaAincC糖水原理(3)比例关系（4）三个内角和为 ，即180ABC（5） ， ， ，si
4、n()ABcos()tan()AB（6） ， ；i22（4） tantantantABCABC（5）在三角形中，大角对大边，大边对大角，大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即： siniab（6）在锐角三角形中， sinco2AB从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 ；sinbAaB已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 。siinaBb一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。典型例题例 1 在 中，已知 ， ， cm，解三角形。ABC032.081.B42.9a解：根据三角形内角和定理， 08()013
5、2.1.8；6.根据正弦定理，；根据正弦定理，0sin42.9si81()3aBbcmA0.6.7.isiCc例 2在 中，已知 cm， cm， ，解三角形（角度精确到 ，边B20a8b04A01长精确到 1cm）。解：根据正弦定理， 0sin8i4i .92bAa因为 ，所以 ，或0B016B016. 当 时，64，0008()8(4)7C0sin2i763.accmA应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。已知三角形的任意两角及其一边1 在ABC 中，已知 ，则B 等于（ ）03,1,25AcaA B C D05060015或2 中，若 ， ， ，则 _C3A2b1aC
6、3 中，若 ， ， ，则 _B4584 中， ， ， ，则（ ）AC3BC6AA B C D 或6434435 在 中，角 ,A所对的边分别为 a， b， c，若 2， b，sinco2B，则角 的大小为 已知三角形的任意两边与其中一边的对角1 一个三角形的两内角分别为 与 ，如果 角所对的边长是，那么 角所对的045604506边的边长为（ ） 63233622 在ABC 中，已知 a8，B60，C75 ，则 b 等于( )A4 B4 C4 D.2 3 63233 在 中，若 ， ， ，则 _ 1tanA501BA4 在 ABC中， 12b， 6， 4，则 a_ b_补充如图ABC 中，点
7、D 在边 BC 上，且 BD = 2，DC = 1， B = 60，ADC = 150，求AC 的长及三个内角和为 ，即180ABC1 在ABC 中，已知 5cos13， sin，则 cosC的值为（ ）A 65 B 6 C 或 56 D 1652 已知 a,b,c 分别是ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边，若 a=1,b= 3, A+C=2B,则 sinC= .3 在ABC 中，若 C = 60，则 cos A cos B 的取值范围是 ( )A. B. C. D. 以上都不对41 2， 410， 413，4 若ABC 的三内角A ，B，C 满足 sin A 2sinCcos B，则A
8、BC 为 三角形.5ABC 中，下述表达式：sin(A + B)+ sinC；cos(B + C )+ cosA； ，其中表示常数的是( )2tantCBA. 和 B. 和 C. 和 D. 6ABC 中，若 sin(A + B)sin(A - B)= sin2 C，则ABC 是( )A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形7 在ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，若 a2 ，sin cos ，sin Bsin 3C2 C2 14Ccos 2 ，求 A、B 及 b、c .A28 若ABC 的三内角 A，B，C 成等差数列，则 cos2 A + co
9、s2 C 的最小值为 补充 在 中， 分别为角 的对边，且AB,abc,AB274sincos2BA（1）求 的度数（2）若 ， ，求 和 的值3边化角 角化边的应用1 在ABC 中，若 ，则 ABC 是（ ）CcBbAaoscosA. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形2 在ABC 中，若 a = 2b sin A，则 B 为( )3A. B. C. 或 D. 或3665323 在ABC 中已知 acosB=bcosA,试判断ABC 的形状补充 在 中，已知 和 时，解的情况如下：ABC,abA1 若A BC 满足下列条件： a = 4，b 10，A 30；
10、 a 6，b 10 ， A 30； a 6，b 10 ， A 150； a 12，b 10， A 150； a + b + c = 4，A 30，B 45 .则A BC 恰有一个的是( )A. B. C. D. 2 在ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ）A. 00,45,8b B. 030,28,6acBC. 16aA D. 151A3 满足条件 a=4,b= ,A= 的 ABC 的个数是 ( )2345A. 1 个 B. 2 个 C. 无数个 D. 不存在4 在 中， ， ,若这个三角形有两解，则 的取值范围是（ ）ABC,2axb45B x()x()()2Cx()23D余
11、弦定理过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教学难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用千岛湖位于我国浙江省淳安县，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A、B、C，岛屿 A 与 B 之间的距离因 AB 之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得 AC、BC 的距离分别为 6km 和 4km，且 AC、BC 的夹角为120 度，问岛屿 AB 的距离为多少？（1）已有的正弦定理可否解决该问题（2）已知两边及夹角求第三边，当夹角为多少度时我们可以求出？（3）以锐角三角形为
12、例探索三角形如何求出第三边钝角三角形中也有这样的边角关系？试一试：推导方法 2推导方法 31 得出余弦定理2 从余弦定理，又可得到以下推论：22cosbaAc22osacbB22cosbacC3 若 A 为直角，则 cosA=0，从而 b2+c2=a2若 A 为锐角，则 cosA0, 从而 b2+c2a2若 A 为钝角，则 cosA0, 从而 b2+c2a 2例子 若 2,3,x 为三边组成一个锐角三角形，则 x 的范围为 已知锐角三角形的边长为 1、3、 ，则 的取值范围是 _钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为 2c=a+b-cosCA2在ABC 中，AB=5，BC=6，AC=8，
13、则ABC 的形状是（ ）A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 非钝角三角形说明：1 余弦定理与正弦定理一样，也是任何三角形边角之间存在的共同规律,余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.2 等式 含有四个量 ，从方程的角度看，已知其中22cosabAabcA、 、 、三个量，总可以求出第四个量。3 根据已知量与未知量的性质可以知道，余弦定理可以解决有关三角形的哪些问题呢？利用余弦定理及推论可以解决以下两类三角形的问题：已知三边求三角形的三个角；已知两边及其夹角求三角形的其他边与角。这两种类型问题在有解时都只有一个解，把“边、边、边”和“边、角、边”判定三角形全等的定理
14、从数量化的角度进行刻画，使其变成了可计算的公式。余弦定理基本应用1 已知ABC 的三边长 a=3， b=4，c= ，求三角形的最大内角 .2 在ABC 中，a:b:c=2: :( +1),求 A、B、C。633 已知在ABC 中，b=8,c=3,A=60 0,则 a=( )A 2 B 4 C 7 D 94 在ABC 中，若 a= +1,b= -1,c= ,则ABC 的最大角的度数为（ ） 310A 1200 B 900 C 600 D 15005 在ABC 中，a:b:c=1: :2,则 A：B：C=（ ）3A 1：2：3 B 2：3：1 C 1：3：2 D 3：1：26 中， ，求 及C,6
15、,4acbA正弦定理变形与余弦定理结合1 在ABC 中，若 sinA：sinB：sinC=5：7：8，则 B 的大小是（ ）A. B. C. D. 或3632322 在ABC 中，若 sinA：sinB：sinC=3：2：4,则 cosC 的值为 ( )A. B. C. D. 3324141考查正余弦定理的灵活使用（1）在 中，若 ，其面积 ，则ABCCcAbasinocs )(4122acbS_（2）在 中，若 ，则 _ABCCaAcbcos)3(As（3）在 中，若 ， ，则 _ABCbca32BCsin32siA余弦定理推论应用1 在ABC 中，a、b、c 分别是 A、B、C 的对边，且
16、 ，则 A 等于（ ）223abcA. B. C. D. 6030101502 在ABC 中，已知 ，则角 A 为（ ）22cbaA B. C. D. 或363323 已知 a，b，c 是ABC 三边的长，若满足等式(a + b - c)(a + b + c)= ab，则C 的大小为( )A. 60 B. 90 C. 120 D. 150 4 在ABC 中，若（a+b+c）(b+c-a)=3bc,并且 sinA=2sinBcosC,判断ABC 的形状5 在ABC 中，三个角 A，B，C 的对边边长分别为 a=3，b=4，c=6，则bccosA+cacosB+abcosC 的值为 三角形形状的判
17、定：在ABC 中，acosA=bcosB,试确定此三角形的形状。运用多种方法求解解三角形综合问题1 在 中，角 的对边分别为 、 、 ， ，ABC、 abc23cos)s(BCA，求acb22 在 中，角 的对边分别是 ，已知ABC、 cba、 2sin1cosinCC（1）求 的值； （ 2）若 ，求边 的值sin 8)(423（1）求 的值； （2）若 ， ，求边 的值Acos 32cosCB1ac解三角形应用举例教学难点实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解根据题意建立数学模型，画出示意图复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形解决
18、实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解讲解例 1、如图，设 A、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离是 55m， BAC= ， ACB= 。求 A、B 两点的5175距离(精确到 0.1m)提问 1： ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？提问 2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？练习：两灯塔 A、B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30 ，灯塔 B 在观察站
19、 C 南偏东 60 ，则 A、B 之间的距离为多少？例 2、如图，A、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量 A、B 两点间距离的方法。分析：这是例 1 的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D 两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出 AC 和 BC，再利用余弦定理可以计算出 AB 的距离。训练：若在河岸选取相距 40 米的 C、D 两点，测得BCA=60 ， ACD=30 ， CDB=45 ， BDA =60例 3、AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建
20、筑物高度 AB 的方法。分析：求 AB 长的关键是先求 AE，在 ACE 中，如能求出 C 点到建筑物顶部 A 的距离 CA，再测出由 C 点观察 A 的仰角，就可以计算出 AE 的长。例 4、如图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角=54 ，在塔底 C 处测得 A 处的俯角 =50 。已知0 1铁塔 BC 部分的高为 27.3 m,求出山高 CD(精确到 1 m)例 5、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到 A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南 15 的方向上,行驶 5km 后到达 B 处,测得此山顶在东偏南 25 的方向上,仰角为 8 ,求此山的高度 CD.例
21、6、如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75 的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然后从 B 出发,沿北偏东 32 的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A出发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到 0.1 ,距离精确到 0.01n mile)例 7 某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45 相距 9 海里的 C 处有一艘走私船，正沿南偏东 75 的方向以 10 海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以 14 海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？练习 如图所示，货
22、轮在海上以 40 km/h 的速度沿着方位角 (指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为 140的方向航行，为了确定船位，船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为110，航行半小时后船到达 C 点，观测灯塔 A 的方位角是 65，则货轮到达 C 点时，与灯塔 A 的距离是多少？解三角形应用 2教学重点 推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目教学难点 利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在ABC 中，边 BC、CA、AB 上的高分别记为 h 、h 、h ，那么它们如何用已知边和角abc表示？根据以前学过的三角形面积
23、公式 S= ah,应用以上求出的高的公式如 h =bsinC 代入，可21a以推导出下面的三角形面积公式，S= absinC，大家能推出其它的几个公式吗（1） （ 、 、 分别表示 、 、 上的高）；cbaABChhS21 abchbc三角形面积公式 （2） BacAbcCaSABC sin21sisin21余弦定理如何与面积混合！例题 1ABC 的周长为 20，面积为 ，A= ，则 BC 边长为（ ）3106A. 5 B. 6 C. 7 D. 82 在 中，内角 的对边长分别为 ，已知ABC, ,abc2,3C若 的面积为 ，求 的值.3,ab3 在ABC 中，A= ，b=1，且面积为 ，则
24、 （ ）603CBAcbasinsin4ABC 中，若其面积 S = (a2 + b2 - c2)，则C =( )41A. B. C. D. 23465 在ABC 中，A60，a6 ，b12，S ABC 18 ，则3 3_，c_.a b csinA sinB sinC6 若ABC 的三边长分别为 4，5，7，则 ABC 的面积 7 在ABC 中，已知 a = 2 ，b = 2，ABC 的面积 S = ，求第三边 c 338 在ABC 中，已知 BC=8，AC=5，ABC 的面积为 12，则 cos2C= 本章知识结构框图用正弦定理解三角形知两角及一边解三角形知两边及其中一边所对的角解三角形（要
25、讨论解的个数）解三角形的应用举例两点间距离的测量物体高度的测量角度的测量第二章 数列数列的概念与 简单表示法过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式国际象棋的传说：每格棋盘上的麦粒数排成一列数； 23631,古语：一尺之棰，日取其半，万世不竭.每日所取棰长排成一列数； 1,48n中国体育代表团参加历届奥运会获得的金牌数依次排成一列数 。15,5,16,16,28,32,51,38十三世纪意大利数学家裴波那契通过对大多数花朵的花瓣进行观察发现
26、，大多数花朵的花瓣数目是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89向日葵不是 21 瓣，就是 34 瓣。雏菊都是 34，55，或 89 瓣。其他数目则很少出现。如上几列数的共同特点是什么？ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第 1项（或首项），第 2 项，第 n 项，.例如，上述例子均是数列，其中中，“4”是这个数列的第 1 项
27、（或首项），“9”是这个数列中的第 6 项.用余弦定理知道两边及这两边的夹角解三解形知三边求三角数列的一般形式： ，或简记为 ，其中 是数列的第 n 项 ,321nanan结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. 中，这是一个数列，它的首项是“1”，“ ”是这个数列的第“3”项，等等 奎 屯王 新 敞新 疆1下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 151432 序号 1 2 3 4 5这个数的第一项与这一项的序号可用一个公
28、式： 来表示其对应关系na1即：只要依次用 1，2，3代替公式中的 n，就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系 数列的通项公式 ：如果数列 的第 n 项 与 n 之间的关系可以用一个公式来表a示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列；一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，它的通项公式可以是 ，也可以是 .2)(1nna |21cos|nan数列通项公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示通项公
29、式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项6数列的分类：1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列 1，2，3，4，5，6。是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列 1，2，3，4，5，6是无穷数列2）根据数列项的大小分：递增数列：从第 2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列。递减数列：从第 2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列数列是有次序的，按照一定规律排列的1 下列数列（1） 1， （2） 1 是同一个
30、数列吗？5,43,23,2 下列给出数列，试从中发现变化规律，并填写括号内的数 （1） ;（2） ;,360,21, 3,5917,（3） .,49,3.下面数列中递增数列是 ，递减数列是 ，常数数列是 ，摆动数列是 （1） ;（2） ;（ 3） ;0,8,93105,29,01,（4）100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01;（5） ;（6） 精确到 的不足近似值与过剩近似, ,.,.值分别构成数列 .,.41,.4;2,1.54,. 例 4根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数
31、：（1） （2） （3） ;,;34,0.9,9（4） ;（5） ;（6） .9,8,81,2411,203练习 写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：1. ; 2. ; 3. ;1,3579111,2324521,44. , , , , , ; 5. 0, 1, 0, 1, 0, 1,;321546389106. 2, 6, 12, 20, 30, 42,； 7. ,5,8 9 ;,910638,54,2 125,8,总结 1. 理解数列及其有关概念，了解数列的简单分类;2. 理解数列的通项公式，学会观察、归纳、求简单数列的通项公式;3. 了解数列是一种特殊的函数，理解数列
32、的函数性质 . 简单表示法 通项公式法 递推公式法观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型模型一：自上而下：第 1 层钢管数为 4；即：1 41+3第 2 层钢管数为 5；即：2 52+3第 3 层钢管数为 6；即：3 63+3第 4 层钢管数为 7；即：4 74+3第 5 层钢管数为 8；即：5 85+3第 6 层钢管数为 9；即：6 96+3第 7 层钢管数为 10；即：7 107+31. 数列的函数性质数列是一种特殊的函数，数列可以看成以 为定义域的函数 ，()naf当自变量从小到大依次取值时对应的一列_ ；其图象为： .2数列的递推公式如果已知数列 的首项或前几项，且任一项 与它的前
33、一项 （或前几项）nana1n间的关系可用一个 表示，那么这个公式叫作数列的递推公式.（1） 利用递推公式可以给出数列；（2）通项公式直接反映 之间的关系；而递推公式间接反映项 与项数na之间的关系，它是 项之间的推导关系.n典型例题类型一 数列的单调性及最大（小）项例 1 已知数列 的通项公式 ，考察这个数列的单调性，并求na)14(nan出它的最大项.类型二 根据数列的递推公式求数列的通项公式例 2 （1） 已知数列 满足 ，写出数na nnnaa2,2,11列的前 6 项，并猜想出数列 的一个通项公式.（2）已知数列 满足 ，na )2(1321 nnaa写出数列 的一个通项公式.（3）
34、已知数列 满足 .n )2(,11 n求 写出数列 的一个通项公式.;,32ana类型三 数列的周期性例 3. 已知数列 满足 则（1）写出数列的前 5na),(1,21 Nnan项；（2）猜想该数列的规律例 4 已知数列 中， ，能使 的na ),321(),0(,11 nabn ban的值 （A）14 (B)15 (C)16 (D)17.n练习 1. 已知数列 中 1，1，2，3，5，8，13， ，34，53，的递推公式是 .nax（A） （B） )2(,112nan )2(1,1naan（C） （D） .n2.在数列 中， ，则a )(l,11nn n（A） （B） （C） （D）l2)
35、(2l2nl13. 已知数列 的一个通项公式为 （nN *）na)308(412an（1）画出数列 的图象；（2）判断数列 的单调性.n4. 根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式(1) 3, 3 2 (nN). (2) .1a1na )2()1,11naan(3) 1, (nN)；11nn5.数列 中， （nN *）其中 f(x)=na)(,011nafa x12（1）求 。（2）猜想数列 的一个通项公式 .432, na等差数列 1经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程教学重点 等差数列的概念，等差数列的通项公式。教学难点 等差数列的性质在
36、日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。在现实生活中，我们经常这样数数，从 0 开始，每隔 5 数一次，可以得到数列：0，5，_,_,_,_,2000 年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了 7 个级别。其中较轻的 4 个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为 18cm，自然放水每天水位降低 2.5m，最低降至 5m。那么从开始放水算起到
37、可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金（1+利率寸期）.例如，按活期存入 10 000 元钱，年利率是 0.72%。那么按照单利，5 年内各年末的本利和分别是：观察：请同学们仔细观察一下，看看以上数列有什么共同特征？共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字等差数列等差数列：一般地，如果一个
38、数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。 公差 d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；对于数列 ,若 =d (与 n 无关的数或字母 )，n2，nN ，则此数na1n 列是等差数列，d 为公差。公式的推导：累加法2等差数列的通项公式： 【或 】dnan)1(nadm)(等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得 奎 屯王 新 敞新 疆 若一等差数列 的首项是 ，公na1差是 d，则据其定义可得：即：a12 da12即：3 213即：d4 34由此归纳等差数列的通项公式可得： dnan)1(由上
39、述关系还可得： dma)1(1即： dam)(1则： =n dmnanm )()()( 即等差数列的第二通项公式 d= annam讲解例 1 求等差数列 8，5，2的第 20 项 -401 是不是等差数列-5，-9，-13 的项？如果是，是第几项？例 2 已知数列 的通项公式 ，其中 、 是常数，那么这个数列是否一定naqpnapq是等差数列？若是，首项与公差分别是什么例 3 123453, 20,?aaa等 差例 4 在等差数列 中 ，则 的值为na314045678910aa练习1 求等差数列 1,4，7。的第 10 项；301 是不是该数列的项，如果是，是第几项？2（1）求等差数列 10
40、,7，4。的第 16 项；305 是不是该数列的项，如果是，是第几项？（2）求等差数列 1,-2.5，-6。的第 20 项；-106 是不是该数列的项，如果是，是第几项？3 等差数列 中，na95621293 1741125 176111 ,14)8( ,)7( ,9,10)6( ,3,0)( 3,8)4( ,27,)3( 20,36)2( 10,)( aaaa daadaa adada na nn 求求 求求 ， 求求 ， 求， 求 等差数列 2首先回忆一下上节课所学主要内容：1等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即 =d ，（ n2，nN ），这个
41、数列就叫做等差数列，这个常数就叫做na1等差数列的公差（常用字母“d”表示） 奎 屯王 新 敞新 疆 2等差数列的通项公式：( 或 =pn+q (p、q 是常数)dn)(1nadm)(na3 有几种方法可以计算公差 d= d= d=na11nmn问题：如果在 与 中间插入一个数 A，使 ，A， 成等差数列数列，那么 A 应满足什bab么条件？由定义得 A- = -A ，即：a2反之，若 ，则 A- = -A 由此可可得： 成等差数列2Ab,2ba等差中项性质特殊性质在等差数列中，若 m+n=p+q，则， qpnmaa即 m+n=p+q (m, n, p, q N ) qpnma例 1 在等差数
42、列 中,若 ，则 的值等于（ ）3456745028A.45 B.75 C.180 D.3002 若 成等差数列，则 x 的值等于（ ）lg,(),lg(2)xxA.0 B. C. 32 D.0 或 32 o5等差数列常见的判定方法1 定义法：an1and(常数)2 等差中项：2an1anan2，证明三个数 a，b，c 成等差数列，一般利用等差中项证明通项公式为 n 的一次函数：anknb(k，b 为常数)设项技巧：一般可设通项 1()nad奇数个数成等差，可设为， （公差为 ）；2,2aadd偶数个数成等差，可设为， ,（注意；公差为 2 ）33举例补充等差数列求和一个堆放铅笔的 V 形架的
43、最下面一层放 1 支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放 100 支。 这个 V 形架上共放着多少支铅笔？一次数学课上，老师让学生练习算数。于是让他们一个小时内算出 1+2+3+4+5+6+100 的得数。全班只有高斯用了不到 20 分钟给出了答案，因为他想到了用（1+100）+（2+99）+（3+98）+（50+51）一共有 50 个101，所以 50101 就是 1 加到一百的得数。后来人们把这种简便算法称作高斯算法倒序相加法的应用介绍1等差数列的前 项和公式 1：n2)(1nnaS证明： nnaS13212an+： )()()()( 23121 nnn a 23nnaa
44、由此得：)(21nnaS2)(1nnaS从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 奎 屯王 新 敞新 疆2 等差数列的前 项和公式 2： )(1dan用上述公式要求 必须具备三个条件：nSn,但 代入公式 1 即得： dan)1( 2)1(1S此公式要求 必须已知三个条件： （有时比较有用）da,典例 1典例 21 等差数列 中, ,则此数列前 20 项的和等于na123189204,78aa2 如果等差数列 的前 4 项的和是 2，前 9 项的和是-6，求其前 n 项和的公式n3 在等差数列 中，前 15 项的和 ， 为（ ）na1590S8aA.6 B.3 C.12 D.4 4 一个等差数列前 项和为 ，后 项和为 ，所有项和为 ，则这个数列的项数为343146390A. B. C. D. 1121
