1、1第二章 数列第一节：数列及其通项公式一数列的概念1数列的定义： ；2表示法： ；3数列的分类： ；4通项公式： ；5递推公式的概念： ；注意：数列与集合有本质的区别；项与项数的区别 与 的an区别； 不是每一个数列都有通项公式； 是 n 的函数。a二数列通项公式的求法1根据数列的有限项，写出数列的通项公式。练习1已知数列a n 的前几项，写出数列的一个通项公式（1）1，4，9，16，；a n = ;（2） ；a n = ;68,3271（3） an = ;,45 （4）9，99，999，9999，；a n = ;（5）7，77，777，7777，；a n = ;（6）7，-77，777，-7
2、777，；a n = ;2（7）0.5,0.55,0.555,0.5555, ；a n = ;（8）1-1，1，-1 ，；a n = ;（9）1，0，1，0，；a n = ;（10）11，101，1001，10001，；a n = ;（11） ；a n = ;234,5（12） ；a n = ;1786 （13） ，；a n = ;07,39132数列 1，3，2，6，5，15，14，x,y,z，122，中 x,y,z 的值依次是（ ）A 42，41，123 B 13，39，123 C 24，23，123 D 28，27，1233数列 1，1，2，3，5，8，；的第 7 项是 。4数列 中，
3、，an1(2)nn为 奇 数 ）（ 为 偶 数 ）则 的前 5 项是 。n5.已知函数 ，设xf-)(*)(Nnfan(1)求证： ；1na（2）a n 是递增数列还是递减数列？为什么？32已知数列的前 n项和求数列的通项公式（1） 已知数列a n 的前 n 项和为 ，求数列a n 的通项公式；21nS（2） 已知数列a n 的前 n 项和为 ，求数列a n 的通项公式。2n注意：1.用数列的前 n 项和 求通项 的公式是： nSna；2.什么时候运用 an=Sn-Sn-1 求出的公式具有通用性： 。练习：(3) 已知数列a n 的前 n 项和为 ,则通项 an = ;1()nnS（4）已知数
4、列a n 的前 n 项和为 ,则通项 an = ;32（5）已知数列a n 的前 n 项和为 ,则通项 an = ;10log()nS（6）已知数列a n 的前 n 项和为 ,则通项 an = ;122nnn注意：（1）公式表示的是数列的前 n 项和与通项之间的关系。（2）要注意不要忽视 n=1 的情形，这是大家易出错的地方。3用递推公式求数列的通项公式（1）数列 中， ） ，则它的前 5 项是 na112,(2,4na4。（2）数列 中， 则 。na1221,nnaa7（3）数列 中，满足 ，求数列a n 的通项公式；（4）数列 中，满足 ，求数列a n 的通项公式；n11,n（5）数列 中
5、，满足 ，求数列a n 的通项公式；a2aa（6）数列 中，满足 ，求数列a n 的通项公式；n11,nn第二节：等差数列一.1.定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列；这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。2.通项公式： 或1()nad()nmad3.等差中项： 成等差数列，A 叫 a,b 的等差中项（注：任意两个数都,b有等差中项） 24.证明一个数列是等差数列的方法：一般用 （常数），而不用其它等价形式，若确实无法证明 ，dan1 dan1有时也可采用证明 来完成。)2(,11nann5.等差数列的性质：（1） ， 单增
6、； ， 单减； ，是常数列。0dna0dn0d（2）等差数列中任意连续的三项也成等差数列，反之亦然。（3）一个数列是等差数列，则通项公式可写成 （ ，反之亦nakb,)R5然。一个数列是等差数列，则其前 n 项和可写成 （ ，反BnASn2,)R之亦然。（4）数列 是等差数列，若 m+n=p+q，则na qpnmaa（5）数列 是等差数列，项数 m,p,n 成等差数列，那么 也成等差,mpn数列。（6）数列 是等差数列，则 仍成等差数列。na mmS,S,232二.等差数列的前 n 项和：或1()2nnS1()2Sd练习与应用：通项公式、前 n 项和公式的基本运算1 在等差数列a n中，a 5
7、=10,a12=31,求首项 a1 与公差 d.2.在等差数列a n中，a 2=-5,a6=a4+6,那么 a1= .3.在等差数列a n中，a 15=8,a20=20,则 a25= .4. 在等差数列a n中，a 2+a5+a8=9,a3a5a7= -21,求通项 an.5.在等差数列a n中，a 15=8,a60=20,则 a75= .仍成等差数列mmS,S,2326. 在等差数列a n中，S 10=310，S 20=1220，求 Sn 与通项 an.若 m+n=p+q，则 qpnmaa66在等差数列a n中， a3+a4+a5+a6+a7=450,则 a2+a8= .7.a3,a15 是
8、方程 x2-6x-1=0 的两个根，求 a7+a8+a9+a10+a11= .8在等差数列 中， ，则该数列的前 5 项和为（ ）n23（A） 10 （B） 16 （C ） 20 （D） 329.在等差数列 中， 表示前 项和，且 ，则 的值为 nanS 5821aa9S（ ） （A） 18 （B） 60 （C ） 54 （D） 2710.等差数列a n， ，则项数 n 为（ ）)9(,30,24,189 nnn11在等差数列a n中， 前 4 项的和为 21，后 4 项的和为 67，前 n 项的和为 286，则项数 n= . 12.在等差数列 中， 表示前 项和，且 ，当 取得最大值nanS
9、0,1312SnS时的 值为（ ）n（A） 6 （B） 7 （C） 12 （D） 不能确定13. 若 是等差数列，首项 ， ， ，则使前 项和na01a0243a0243an成立的最大自然数 是 （ ） 0nSn（A） 48 （B） 47 （C） 46 （D） 4514（04 年重庆卷.文理 9）若数列 是等差数列，首项na，则使前 n 项和 成立的最大自然数 n120342034,.aa0nS是：（ ）A 4005 B 4006 C 4007 D 400815.等差数列a n，b n的前 n 项和为 Sn，T n，且 ,求 .7142nS1ab716.设 Sn 是等差数列a n的前 n 项和
10、，若 ，则 的值为（ ）953a59SA： B：2 C：1 D：-1117在等差数列a n中，a m=n,an=m,且 mn, 则 am+n= .18.已知等差数列 ， 是其前 n 项和，对于不相等的正整数 m,n，有nS，则 的值为 .Smn,m其奇数项和、偶数项和1、若等差数列共有偶数项 项（奇数项、偶数项各 项）：即n2n奇S1253 naa则 ， （中偶Sn264偶Snd奇 偶Sn2奇 na1奇偶间一对）2、若等差数列共有奇数项 项（奇数项比偶数项多 项）：11即 奇S2531 naa偶Snaa2642 则 （ 为中间项） ， （项数之比）n偶奇 1偶 1n奇 S奇偶19. .等差数列
11、a n共有 2n-1 项，所有奇数项的和为 132，所有偶数项的和为120，则 n= .20. 如果等差数列a n共有 10 项，其奇数项之和为 15，偶数项之和为 30，则其公差为 。21如果等差数列a n的项数是奇数， ，a n的奇数项的和是 175，偶1a数项的和是 150，求这个等差数列的公差 d。8的最值问题nS22. 等差数列a n中，a n=2n-10,则 的最小值时 n= .nS23. 等差数列a n中，a n=2n-11,则 的最小值时 n= .n24在等差数列a n中, 则前 n 项和 的最小值为（ ）,S,83125nSA：-80 B：-76 C：-75 D：-7425.
12、已知等差数列 ， 是其前 n 项和，且 ，则下列naS 8765,S结论错误的是（ ）（A） d 0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则 a3+a5=( ) A:5 B:10 C:15 D:207。等比数列a n, （ ） A：-4 B：4 C：-2 185,6D：28。等比数列a n， ，公比 q 为整数，则 52,24783aa 10a。9.等比数列a n中， 则 （ ）,60432165aA：90 B：120 C：15 D：8010。等比数列a n中， 则 （ ）,b),a(,a2019109 109A： B： C： D：89ab)(9b11。 an是各项为正数的等比数列， ，则9
13、65a=（ ）1032313 alogloglA：12 B：10 C：8 D： 523log12 已知数列a n是各项都为正数的等比数列，设 ，求证数列nnalogb2bn是等差数列。13。已知等比数列 的 ，且 ，求 的通项公式.na16365102a na1114。各项均为正数的等比数列 中，若 ，则na1074a；1021lglgaa15 为等比数列， n（1） ，求7,9Sq963a（2）前 项的和为 前 项之和 ，求,48n2602nSnS3二。等比数列的前 n 项和。 1112()()nnnnaqSa1等比数列a n中， ， ， ，求 q 和 n。642a318a40nS2等比数列
14、a n中， ，求 和 q。3,S13等比数列a n中， ， ，则 = 。49n2n3nS124等比数列a n中， 求 q。1,52,341,nnaS5求数列 的前 n 项和。11,3927,n 6求 的前 n 项和221()(),aa 7求 ，求前 2k 项的和。242,ny 8求 的前 n 项和。211,na 9等比数列a n,前 n 项和为 48,前 2n 项和为 60,前 3n 项的和为( ) A:183 B:108 C:75 D:6310a n成等差数列， 成等比数列，则该等比数列的公比为（ ）135a,A： B：2 C： D：1411 an成等差数列，b n成等比数列， ，若 ，)n
15、,i(b,qi2101ba，则（ ）1baA： B： C： D： 或66ba6ba6a61312 成等差数列， 成等比数列，则 的取值范围是y,ax21 y,bx21 21b)a(（ ）A： B：（0，4） C： D：),),(40),),(4013一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的 2 倍，又它的首项为 1，且中间两项的和为 24，则此等比数列的项数为 （ ）A12 B10 C8 D6第四节 数列的综合应用一、数列求和（一） 公式法1 求 1，4，7，10， （3n-2）,的前 n 项和。2 求数列 ，求前 2k 项的和.242,ny 3 求 21nSa14（二） 分项求和
16、1求和（1+2）+ （3+4）+（2n-1+2 n）2 (x-2)+(x2-2)+（x n-2）3. 2(1)()naa4.求和 211()()()nxxyy5.1234(1)n6. 5(2)（三） 裂项求和1.求和 1123()nSn2. 35()153数列a n成等比数列,各项都为正数，且 q1,求证12311lglglglnnaaa4. )(435. )32(1751n6 )(47. )2(153121n8. )3(649求 n 2121（四） 错位相减、其它1 235n2. n23213. n21523164求和 235(21)nxx51+23+37+n(2 n-1) 6.已知数列a
17、n+1是等比数列， ， ，求1a2qnaa321放缩及其他1 222349102数列 ，的前 10 项和为（ ） 。122（A） （B）11 （C）11 （D）11571324132893.求和 123nSn4. 求 1235131 nS5. 求值设 ，求 :24(xf） )198()19()(fff176.求证： 22113n7.21 (1)()22 nn 8 nn21321)(2二、用已知数列的前 n项和求数列的通项公式（前文已有）三、用递推公式求通项1已知数列a n ，满足，a 1=2,an+1=an+2,求a n 的通项公式。2。已知数列a n ，满足，a 1=2,an+1=an+2n
18、,求a n 的通项公式。3。已知数列a n ，满足，a 1=2,an+1=an+2n,求a n 的通项公式。4 已知数列a n ，满足，a 1=2, an+1=an+ ，求a n 的通项公式。)1(点击：凡是具有 an+1=an+ 形式都可运用此法，其中 表示可求和的)(f )(nf数列。185已知数列a n ，满足，a 1=2,an=3an-1,（n2）求a n 的通项公式。6 已知数列a n ，满足，a 1=1, 求a n 的通项公式。1na7已知数列a n 满足， ，求a n 的通项公式。)2,(2 , N规律： 。8已知数列a n ，满足，a 1=2,an+1=2an+1,求a n 的
19、通项公式。9已知数列a n ，满足，a 1=1,an+1=3an+1,求a n 的通项公式。点击： 型通项公式可用此法。1nkb10* ，求a n 的通项公式。5,25naa11*. 已知数列a n ，求a n 的通项公式。nna2,112*.已知数列a n ，求a n 的通项公式。nna3,1113*. ，求a n 的通项公式。115,25na点击： 型通项公式可用此法。11,()nkaf递推公式的变形191已知数列a n ，满足，a 1= , ，求a n 的通项公式。201nnaa2已知数列a n ，满足，a 1=1, 求a n 的通项公式。nna513项为 1 的正项数列， ，求数列的通
20、项公式。211()0nna四 与 的相互转化nS1已知数列a n满足， ， （1）问数列 是否为等11,2,()nnaS1nS差数列。 （2）求 Sn 和 an.2已知数列a n满足， ，求数列a n的通项公式。naSn23已知数列a n，满足 ，求通项 an.2log(1)nS4已知数列a n满足， ，当 时， ,求 Sn 和 an.41S2n)S(ann11205正数数列a n， ，求数列a n的通项公式。12naS6 （05，山东）已知数列a n， ，前 n 项和为 ，且51anS，)Nn(S*nn521（1）求数列a n的通项公式。 （2）求 na321几个必须熟练掌握的综合题目1.
21、已知数列 是等差数列，前 项和为 且 ； nannS321a897a求数列 的通项公式. （2）设数列 满足， ，求数列 的前bnSnb和 .nT2.（05 济南 2 模）已知数列a n的前 n 项和 Sn 是 n 的二次函数，且an.631,a,求 Sn 和 an.213. 已知数列a n满足， ，求数列a n的通)n(naa21321 项公式。4.数列数列a n，满足 ，当 时， ，求数列a n的通项1a2n2321na公式。5. 设函数 ，数列 中， ， 时，前 n 项和 满足12)(xf na12nnS)(1nnSf（1） 求数列 的通项公式；（2）设 ，求b n的前 n 项和 。na
22、 12nSbnT6.已知点列 在直线 上，且 轴的交点，数)(,NnbaPn 12:xyLyLP与为1列 是公差为 1 的等差数列.na（1）求数列 , 的通项公式；（2）若 求nb ,)2(51ncn20432cc7.在等比数列 中， ，公比 q0，设 ，且na1nnab2log0,6531531bb22（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前 n 项和na )6(1nbcnc。nS8.已知数列a n是等差数列，S n 是前 n 项和，且 ， （1）5627321S,a求数列a n的通项公式。 （2）令 ，求数列b n的前 n 项和。)Rx(,ab9.（07 天津文）在数列 中，
23、， ， na121431nan*N（）证明数列 是等比数列；（）求数列 的前 项和 ；nanS（）证明不等式 ，对任意 皆成立14nS *N10数列 的前 项和为 ， ， nanS1a*12()nSN（）求数列 的通项 ；（）求数列 的前 项和 nnT11设数列 满足 ， na21133naa*N（）求数列 的通项；23（）设 ，求数列 的前 项和 nbanbnS12. 已知数列 项和为 ，满足 （ ）nanS)3(21nnSa*N（1） 证明：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；3a（2） 设 ，求数列 的前 n 项和。nbnb13. 已知等差数列 na满足： 37， 5726a， na的前 n 项和为 nS（）求 n及 S；（）令 bn= 21a(nN*)，求数列 nb的前 n 项和 nT14. （2010 上海已知数列 na的前 项和为 nS，且 58nna， *N(1)证明： 1na是等比数列；(2)求数列 S的通项公式，并求出使得 1n成立的最小正整数 .15. （2009 全国卷理） （本小题满分 12 分）24设数列 na的前 项和为 ,nS 已知 1,a142nSa（I）设 12nb，证明数列 nb是等比数列 （II）设 ，求证数列 是等差数列。nccn（3）求数列 na的通项公式和前 n 项和公式。25
