1、线性递归数列1、概念：、递归式：一个数列 中的第 项 与它前面若干项 ， ， （ ）的关nana1na2kna系式称为递归式。 、递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列。2、常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等。3、思想策略：构造新数列的思想。4、常见类型：类型： （一阶递归）为 常 数 ）anpqnp()0()1其特例为：（1） （2）1 )0()1pnqpan（3） )()nn解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。类型： （二阶递归）为 常 数 ）baaqpqp,(, 0,211解题方法：利用特征方程 ，求其根 、 ，构造 ，代入初始值求得 。xnnBAa
2、BA,类型： 其中函数 为基本初等函数复合而成。)(1nnf)(f解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。【例题】例 1、已知数列 满足以下递归关系 ，求通项 。na143anna例 2、已知数列 满足 ，求通项 。na2)(1nn na例 3、已知数列 满足 ，求通项 。na1)2(nan na例 4、已知数列 满足 ，求通项 。na2,132ann na例 5、由自然数组成的数列 ，满足 ， ，求 。na1mnanmna例 6、已知数列 满足 ， （ ） ，求 。na1041nna1na例 7、已知 ，且 ，方程 有唯一解，设 （ ） ，求 。)2()xaf 21)(0xf
3、 xf)( )(1nxfNnx例 8、已知数列 中， ， ，求 。na1)241(6nnn aa n例 9、设正数列 满足 ，证明 （ ， ， ，）na12nna21n34【练习】1、已知数列 满足以下递归关系，求 。 （1） ， （ ）nana1251naN（2） ， （ ） （3） ， （ ）121nN21 n（4） ， （ ） （5） ， （ 为前 项和）aaanaS2（6） ， （ ） （7）10410nn,21321n2、已知数列 和 中， ， ，且 ， ，求 和 。ab1a3bnba4nba751an3、已知 ， （ ，1，2，3，4，） ，证明 （ ） 。0x4521nnx0Nxn4、已知数列 满足： ，证明 是不能被 3 整除的整数。na)31(arcos3nnna
