1、教学课题 圆与二次函数综合题复习教学目标 1.通过圆与二次函数的综合题练习，掌握二者的密切联系；2.通过对动点问题等的练习，学会解决问题的一般方法。教学重难点 重点：圆与二次函数的综合；难点：动点问题；圆与二次函数综合题复习例 1：抛物线 交 轴于 、 两点，交 轴于点 ，已知抛物线的对称轴为 ，2yaxbcxAByC1x， 。(3,0)B(,)C（1）求二次函数 的解析式；2yxc（2）在抛物线对称轴上是否存在一点 ，使点 到 、 两点距离之差最大？若存在，求出 点坐标；PBP若不存在，请说明理由；（3）平行于 轴的一条直线交抛物线于 两点，若以 为直径的圆恰好与 轴相切，求此圆的MN、 x
2、半径。（1）将 代入 ，得 将 ， 代入 ，得 (0,3)Ccbxay23c(3,0)Bcbay2 是对称轴， 将（2）代入（1）得9cba1x， 二次函数得解析式是 123xy（2） 与对称轴的交点 即为到 的距离之差最大的点ACPBC、点的坐标为 ， 点的坐标为 ， 直线 的解析式是(0,3)(1,0)A，又对称轴为 ， 点 的坐标 xyx(,6)（3）设 、 ，所求圆的半径为 r，则 ，.(1) 对称轴为 ， 1(,)My2(,)Nrx211x .(2)由（ 1） 、 （2）得： .(3) 将 代入解析式 ，得 21x 12x(,)Ny32y，.(4)整理得： 由于 r=y，当 时， ，
3、解得，3)()(rry 4ry0042r， （舍去） ，当 时， ，解得， ， 271 27042r171（舍去） 所以圆的半径是 或 r 17例 2：如图，在直角坐标系中，C 过原点 O，交 x 轴于点 A（2，0） ，交 y 轴于点 B（0， ） 。 23（1）求圆心的坐标；2（2）抛物线 yax 2bxc 过 O、A 两点，且顶点在正比例函数 的图象上，求抛物线的解析3yx式；（3）过圆心 C 作平行于 x 轴的直线 DE，交C 于 D、E 两点，试判断 D、E 两点是否在（2）中的抛物线上；（4）若（2）中的抛物线上存在点 P（x 0，y 0） ，满足APB 为钝角，求 x0 的取值范
4、围。解：（1）C 经过原点 O， AB 为C 的直径。 C 为 AB 的中点。过点 C 作 CH 垂直 x 轴于点 H，则有CH OB ，OH OA1。圆心 C 的坐标为（ 1， ） 。2323（2）抛物线过 O、A 两点，抛物线的对称轴为 x1 。抛物线的顶点在直线 y x 上， 顶点坐标为（1， ）把这三点的33坐标代入抛物线抛物线 yax 2bxc，得解得 抛物线的解析式为 。 0423cab0ac23yx（3）OA2，OB2 ， .即C 的半32()4AB径 r2。D（3， ） ，E（1， ）代入 检验，知点 D、E 均在抛物线上（4）23yxAB 为直径，当抛物线上的点 P 在C 的
5、内部时，满足 APB 为钝角。1x 00，或 2x 03。例 3：如图，已知抛物线的顶点坐标为 M(1，4) ，且经过点 N(2，3)，与 x 轴交于 A、B 两点( 点 A 在点B 左侧)，与 y 轴交于点 C。（1）求抛物线的解析式及点 A、B、C 的坐标；（2）若直线 y=kx+t 经过 C、 M 两点，且与 x 轴交于点 D，试证明四边形 CDAN 是平行四边形；（3）点 P 在抛物线的对称轴 x=1 上运动，请探索：在 x 轴上方是否存在这样的 P 点，使以 P 为圆心的圆经过 A、B 两点，并且与直线 CD 相切，若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）由抛物
6、线的顶点是 M（1，4） ，设解析式为 又抛物线经过点 N（2，3） ，2yax14 a0 （ ） （ ）所以 解得 a1 所以所求抛物线的解析式为 y 令23a4 （ ） 2x14x. （ ） y0，得 解得： 得 A（1，0） B（3，0） ；令 x0，得 y3，所x30 ， 2x 3. ， 以 C（0，3）.ABCDEFOH xy3（2）直线 y=kx+t 经过 C、M 两点，所以 即 k1，t3 直线t4 解析式为 yx3. 令 y0，得 x3，故 D（3，0） CD 32连接 AN，过 N 做 x 轴的垂线，垂足为 F. 设过 A、N 两点的直线的解析式为 ymxn， 则 解得 m1
7、，n1 所以过 A、N 两点的直线的解析式为 yx1 所以2n DCAN. 在 RtANF 中， AF3，NF3，所以 AN 所以 DCAN 。 因此四边形 CDAN 是平32行四边形.（3）假设在 x 轴上方存在这样的 P 点，使以 P 为圆心的圆经过 A、B 两点，并且与直线 CD 相切，设P（1，u） 其中 u0，则 PA 是圆的半径且 过 P 做直线 CD 的垂线，垂足为 Q，则 PQPA 时22u 以 P 为圆心的圆与直线 CD 相切。由第（2）小题易得：MDE 为等腰直角三角形，故PQM 也是等腰直角三角形， 由 P（1，u）得 PEu， PM|4-u|， PQ 由 得方程：M2|
8、4-u 2PA，解得 ，舍去负值 u ，符合题意的 u ，所以，224u（ ） 426 46 6 满足题意的点 P 存在，其坐标为（1， ） 例 4：已知：如图，抛物线 的图象与 轴分别交于 两点，与 轴交于233yxxAB， y点， 经过原点 及点 ，点 是劣弧 上一动点（ 点与 不重合） 。CM圆 OAC， DAODO，（1）求抛物线的顶点 的坐标；E（2）求 的面积；圆（3）连 交 于点 ，延长 至 ，使 ，试探究当点 运动到何处时，直线 与DFG2FGA相切，并请说明理由A（1）抛物线 233yx212343x yECMAFGDOxB4的坐标为 （说明：用公式求 点的坐标亦可） E43
9、1， E（2）连 ； 过ACM90OCA， ， ， 为 的直径 而 3O，2rMSA（3）当点 运动到 的中点时，直线 与 相切 DAOGAM理由：在 中，RtC 3C，3tan 600AOA ， 点 是 的中点D30ACGO ， tan1F60CF在 中， 2，60 为等边三角形AG F又 为直径， 当 为 的中点时， 为 的切线90CCAO ACDAOGAM例 5：在平面直角坐标系中，抛物线经过 O（0，0） 、A（4，0） 、B（3， ）三点。2（1）求此抛物线的解析式；（2）以 OA 的中点 M 为圆心，OM 长为半径作M ，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点 P，过点 P 作M 的
10、切线 l ，且 l 与 x 轴的夹角为 30，若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）5l解：（1）解析式为： 2389yx（2）存在 抛物线 的顶点坐标是 ，作抛物线和M（如图） ，2389yx3(2,)9设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B，与M相切于点C连接MC，过C作CD x 轴于 D MC = OM = 2, CBM = 30, CMBCBCM = 90 ，BMC = 60 ，BM = 2CM = 4 , B (-2, 0) 在Rt CDM中，DCM = CDM - CMD = 30DM = 1, CD = = 2CMD3 C (1
11、, )3设切线 l 的解析式为: ，点B、C在 l 上，可得：(0)ykxb+解得： 20kb32,切线BC的解析式为： 3yx点P为抛物线与切线的交点由 解得： 2389yx 123xy2683xy点P的坐标为： ， 8分13(,)2P28(6,)P 抛物线 的对称轴是直线89yxx此抛物线、M都与直线 成轴对称图形2于是作切线 l 关于直线 的对称直线 l(如图)x得到B、C 关于直线 的对称点B 1、C 1l满足题中要求，由对称性，得到 P1、P 2关于直线 的对称点：2x， 即为所求的点.39(,)2P483(2,)6这样的点P共有4个： ， ， ， 12分13(,)2P283(6,)
12、9(,)2P483(2,)例 6：已知二次函数24yx的图象如图。（1）求它的对称轴与 轴交点 D 的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与 x轴， y轴的交点分别为 A、B 、C 三点，若ACB =90，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为 M，以 AB 为直径， D 为圆心作D，试判断直线 CM 与D的位置关系，并说明理由.解: （1）由 得 1 分2134yx32bxa （，）2 分（2）方法一:如图 1, 设平移后的抛物线的解析式为 3 分2134yxk则 C OC= 令 即 (0,)k0y0得 4 分1349x2349xkA ，B(,)
13、(,) 5 分2 2163k2 2()kk6 分836 2CA即: 得 (舍去) 7 分1k1420抛物线的解析式为 8 分24yx（3）方法一:如图 2, 由抛物线的解析式 可得234A(-2 ，0)，B(8，0) ，C(，0) ，M 9 分5(,)过 C、M 作直线，连结 CD，过 M 作 MH 垂直 y 轴于 H,则 3H 2256()41D2253(4)16在 RtCOD 中,CD= =AD 点 C 在D 上 10 分 2256()41M711 分222565()141CDMCDM 是直角三角形， CDCM直线 CM 与D 相切 12 分卷 1：如图所示，抛物线 y=ax2+bx+c
14、经过原点 O，与 x 轴交于另一点 N，直线 y=kx+b1 与两坐标轴分别交于 A、D 两点，与抛物线交于 B（1，3） 、C （2，2）两点。（1）求直线与抛物线的解析式；（2）若抛物线在 x 轴上方的部分有一动点 P（x，y） ，求PON 的面积最大值；（3）若动点 P 保持（2）中的运动路线，问是否存在点 P，使得POA 的面积等于POD 面积的 1/9？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由8卷 2：如图，已知四边形 ABCD 是正方形，点 E 是 AB 的中点，点 F 在边 CB 的延长线上，且BE=BF，连接 EF。（1）若取 AE 的中点 P，求证：BP=1/2CF；（2）在图中，若将BEF 绕点 B 顺时针方向旋转 （0360） ，如图，是否存在某位置，使得 AEBF ？，若存在，求出所有可能的旋转角 的大小；若不存在，请说明理由；（3）在图中，若将BEF 绕点 B 顺时针旋转 （090） ，如图，取 AE 的中点 P，连接BP、CF，求证： BP=1/2CF 且 BPCF。910
