1、第 11 课时 二分法求方程的近似解1.掌握用二分法求函数零点近似值的步骤 .2.能够借助计算机或计算器求方程的近似解 .3.掌握函数零点与方程根之间的关系, 初步形成用函数观点处理问题的能力 .来源:学优高考网在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障 .这是一条10 km 长的线路,如果沿着线路一小段一小段查找 ,非常困难 ,每查一个点要爬一次电线杆,10 km 长,大约有 200 多根电线杆 .问题 1:请你帮他设计一个较为简便的维修方案来迅速查出故障所在 .利用二分法的原理进行查找,如图,记两地分别为 A,B,首先从中点 C 开始查, 用话机向两端测试,若 AC
2、 正常, 则断定故障在BC,再到 BC 的中点 D 向两侧查找 ,这次若发现 BD 正常,则故障在 CD 段,再到 CD 的中点 E去查 .这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半, 故经过 7 次查找, 就可将故障发生的范围缩小到 50100 m 之间, 即一两根电线杆附近 .问题 2:什么是二分法?对于在区间 a,b上连续不断且 f(a)f(b)0,则下列叙述正确的是 . 函数 f(x)在( 2007,2008)内不存在零点; 函数 f(x)在( 2008,2009)内不存在零点; 函数 f(x)在( 2008,2009)内存在零点, 并且仅有一个; 函数 f(x)在( 2007,20
3、08)内可能存在零点 .2.用二分法求函数 f(x)=x3+5 的零点可以取的初始区间是下列区间中的 . -2,1; -1,0; 0,1; 1,2.3.用二分法求函数 y=f(x)在区间 2,4上的近似零点(精确度为 0.01),验证 f(2)f(4)0,f(1.25)0 不能说明函数 f(x)在( 2007,2008)内无零点, 错;又 f(2009)0,f(2008)f(2009)0,f(-2)f(1)0,x0(2,3).4.解:由表中 f(1.5625)=0.003,f(1.55625)=-0.029,因为 1.5625 与 1.55625 精确到 0.01 的近似值都为 1.56,所以
4、该函数的零点的近似值为 1.56.重点难点探究探究一:【解析】用二分法求零点的函数必须满足函数图象在零点附近是连续不断的,且在该零点左右的函数值异号, 故 错; 二分法是有规律可循的 ,可以通过计算机来执行,故 错;求方程的近似解也可用二分法 ,故 错 .【答案】 来源 :学优高考网 gkstk【小结】应用二分法求函数的近似零点的前提条件是函数存在零点,并且满足零点存在性定理,也就是函数连续不断,且在零点左右两侧函数值异号, 不满足这些特征的函数是无法利用二分法来求解的 .探究二:【解析】原方程可化为 2x=7-3x,在同一坐标系中画出函数 y=2x 与 y=7-3x 的图象(如图), 由图可
5、知交点的横坐标在 1、2 之间, 考察函数 f(x)=2x+3x-7,f(1)f(2)0,故方程的根落在(1 .25,1.5)上 .4.解:由于 f(1)=-10,又函数 f(x)是单调增函数,所以函数在区间(1 ,2)内有唯一零点,不妨设零点为 x0,则 x0(1,2).下面用二分法求解 .区间 中点的值 中点函数的近似值(1,2) 1.5 1.328(1,1.5) 1.25 0.128(1,1.25) 1.125 -0.444(1.125,1.25) 1.1875 -0.160(1.875,1.25) 1.21875 -0.016(1.21875,1.25) 1.234375 0.056来源:学优高考网 gkstk所以 x0(1.21875,1.234375),又 1.21875 与 1.234375 精确到 0.1 的近似值都为 1.2,所以函数在(1,2) 内的零点的近似值为 1.2.全新视角拓展(1)函数 f(x)的定义域为(0 ,+),设 x10.f(2)f(3)0,f(x)的零点 x0(2,3).取 x1= ,f( )=ln -1=ln -ln e0,f( )f( )0,x0( , ).而 | - |= ,( , )即为符合条件的区间 .思维导图构建f(a)f(b)0 c
