1、第 13 课时 函数模型及其应用(二)1.掌握求解函数应用题的基本步骤, 并能利用常见的函数模型解决实际问题 .2.能够根据已有的数据建立拟合函数解决实际问题 .来源:学优高考网 前面我们学习了几种不同增长的函数模型问题,并重点学习了利用函数模型解决一些简单的实际问题 .另外,在一些实际问题中, 还会遇到对函数模型的灵活应用以及选择的问题,本节课就来研究这类问题 .问题 1:写出常见的函数模型:(1)正比例函数模型,形如 ; (2)反比例函数模型,形如 ; (3)一次函数模型,形如 ; (4)二次函数模型,形如 ; (5)指数函数模型,形如 ; (6)对数函数模型,形如 ; (7)幂函数模型,
2、形如 . 问题 2:建立数学模型的方法是怎样的?一般地,设自变量为 x,函数为 y,必要时引入其他相关辅助变量,并用 x、 y 和辅助变量表示各相关量,然后根据问题的 ,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立 ,在此基础上将 问题转化为一个 问题, 实现问题的数学化,即所谓的建立数学模型 . 问题 3:解函数应用问题的基本步骤是什么?第一步:阅读理解,审清题意 .第二步:引进数学符号,建立 . 第三步:利用数学的方法将得到的常规函数问题 (即数学模型)予以解答,求得结果 .第四步:将所得结果再转译成具体问题的答案 .问题 4:在解决实际问题过程中, 该如何做才能找到合适的数学模型?(
3、1) :建立直角坐标系, 画出散点图; (2) :根据散点图设想比较接近的可能的函数模型 . 例如:一次函数型、二次函数型、指数、对数函数型 .(3) :利用待定系数法求出各解析式, 并对各模型进行分析评价,选出合适的函数模型 . 1.某厂日产手套总成本 y(元)与手套日产量 x(副)的函数解析式为 y=5x+4000,而手套出厂价格为每副 10 元 ,则该厂为了不亏本,日产手套至少为 副 . 2.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为 y=其中, x 代表拟录用人数, y 代表面试人数 .若应聘的面试人数为60,则该公司拟录用人数为 . 3.一个水池每小时注入水量是全池的
4、,水池还没有注水部分与总量的比 y 随时间 x(小时) 变化的解析式为 . 4.某人有资金 2000 元,拟投入在复利方式下年报酬为 8%的投资项目,大约经过多少年后能使现有资金翻一番?(下列数据供参考:lg 20.3010,lg 5.40.7324,lg 5.50.7404,lg 5.60.7482)用已知函数模型解决实际问题某县目前有 100 万人,经过 x 年后有 y 万人 .如果年平均增长率是 1.2%,请回答下列问题:(1)写出 y 关于 x 的函数解析式;(2)计算 10 年后该县的人口总数(精确到 0.1 万人);(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达 120 万(精确到 1
5、年) .分段函数模型的应用WAP 手机上网每月使用量在 500 分钟以下(包括 500 分钟 )按 30 元计费; 超过 500 分钟则超过部分按 0.15 元 /分钟计费 .假如上网时间过短,在 1 分钟以下不计费,1 分钟以上(包括1 分钟,不超过 60 分钟)按 0.5 元 /分钟计费 .WAP 手机上网不收通话费和漫游费 .问:来源:学优高考网 gkstk(1)小周 12 月份用 WAP 手机上网 20 小时,要付多少上网费?(2)小周 10 月份付了 90 元的上网费 ,那么他这个月用手机可以上多少个分钟的网?(3)你会选择 WAP 手机上网吗?若用电脑上网的收费为 60 元 /月,
6、 你觉得选用哪一种方式上网更划算?建立拟合函数模型解决实际问题某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品的数量分别是 1 万件、1 .2 万件、1 .3 万件,为了估测以后每个月的产量, 以这三个月的产品数量为依据 ,用一个函数模拟该产品的月产量 y 与月份 x 的关系,模拟函数可以选用二次函数或函数 y=abx+c(其中 a,b,c 为常数) .已知4 月份该产品的产量为 1.37 万件, 请问用以上哪个函数作为模拟函数较好,并说明理由 .分贝是表示声音强度相对大小的单位 .物理学家引入了声压级(SPL)来描述声音的大小:把一很小的声压 P0=210-5 帕作为参考声压, 把所要测量的声
7、压与参考声压 P0 的比值取常用对数后乘以 20 得到的数值称为声压级 .声压级是听力学中最重要的参数之一, 单位是分贝(dB).分贝值在 60 以下为无害区, 60110 为过渡区,110 以上为有害区 .(1)根据上述材料列出声压级 y 与声压 P 的函数关系式;(2)某地声压 P=0.002 帕,试问该地区为以上所说的什么区 ?(3)2013 年春节联欢晚会上 ,某小品类节目上演时, 现场响起多次响亮的掌声,某报记者用仪器测量到最响亮的一次音量达到了 90 分贝, 试求此时中央电视台大厅的声压是多少帕?某种商品在 30 天内每件的销售价格 P(元) 与时间 t(tN*)(天)之间的函数关
8、系用如图的两条线段表示,该商品在 30 天内日销售量 Q(件)与时间 t(tN*)(天)之间的关系如表:第 t 天 5 15 20 30Q 件 35 25 2010来源:学优高考网(1)根据提供的图象,写出该商品每件的销售价格 P 与时间 t 的函数关系 .(2)根据表中提供的数据,确定日销售量 Q 与时间 t 的一个函数关系式 .(3)求该商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是 30 天中的第几天?(日销售金额 =每件的销售价格 日销售量)某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表:身高 /cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
9、 170体重 /kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.2555.05来源:gkstk.Com(1)根据上表提供的数据,能否建立恰当的函数模型, 使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重 y kg 与身高 x cm 的函数关系?试写出这个函数模型的解析式 .(2)若体重超过相同身高男性体重的 1.2 倍为偏胖,低于 0.8 倍为偏瘦, 那么这个地区一名身高为 175 cm,体重为 78 kg 的在校男生的体重是否正常 ?1.某种商品 2012 年提价 25%,2013 年欲恢复成原价,则应降价 . 2.一个
10、人以 6 米 /秒的速度去追停在交通灯前的汽车 ,当他离汽车 25 米时,交通灯由红变绿,汽车以 1 米 /秒 2 的加速度匀加速开走, 那么下列说法正确的是 . 人可在 7 秒内追上汽车; 人可在 10 秒内追上汽车 ; 人追不上汽车,其间距最少为 5 米; 人追不上汽车,其间距最少为 7 米 .3.现测得( x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型, 甲 :y=x2+1;乙: y=3x-1.若又测得( x,y)的一组对应值为(3 ,10.2),则应选用 作为拟合模型较好 . 4.某商场经营一批进价是每件 30 元的商品,在市场销售中发现此商品的销售单价 x 元与日销售量
11、y 件之间有如下关系:销售单价 x(元) 30 40 45 50日销售量 y(件) 60 30 15 0(1)在所给坐标系中,根据表中提供的数据描出实数对 (x,y)对应的点 ,并确定 x 与 y 的一个函数关系式 y=f(x);(2)设经营此商品的日销售利润为 P 元,根据上述关系式写出 P 关于 x 的函数关系式, 并指出销售单价 x 为多少时,才能获得最大日销售利润 .一个工厂生产一种产品的总成本 y(万元) 与产量 x(台)之间的函数关系是y=0.1x2+10x+300(00 且 a1) (6)y=klogax+b(k0,a0 且 a1,x0) (7)y=kxn+b(k0,x0,n 为
12、常数)问题 2:已知条件 关系式 实际 函数问题 3:数学模型问题 4:(1)建系 (2)初步选择函数模型 (3)择优函数模型基础学习交流1.800 由 5x+400010x,解得 x800,即日产手套至少 800 副时才不亏本 .2.25 令 y=60,若 4x=60,则 x=1510,不合题意;若 2x+10=60,则 x=25,满足题意;若 1.5x=60,则 x=40500 时,在 30 元的基础上,超过500 的部分按 0.15 元 /分钟计费 .故所付上网费为:y=(1)当 x=2060=1200(分钟)时, 应将 1200 代入第三段解析式,得 y=135,小周要付 135 元上
13、网费 .(2)90 元已经超过 30 元,所以上网时间超过 500 分钟, 由函数解析式可得 x=900,即小周这个月用手机可以上网 900 分钟 .(3)当 1x60 时, ymax30 元;当 60500 时,令 30+0.15(x-500)=60,则 x=700.综上,若每月上网时间少于 700 分钟,则选用 WAP 手机上网;若等于 700分钟, 则选择两种上网方式都可以 ;若上网时间超过 700 分钟 ,则选用电脑上网 .【小结】分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,并将各段的变化规律分别用函数关系式表达出来,再将其合到一起 .要注意各段自变量的范围
14、, 特别是端点值 .探究三:【解析】设 y1=f(x)=px2+qx+r(p,q,r 为常数, 且 p0),y2=g(x)=abx+c,根据已知,得 及解得 p=-0.05,q=0.35,r=0.7;a=-0.8,b=0.5,c=1.4.f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7,g(x)=-0.80.5x+1.4,f(4)=1.3,g(4)=1.35.显然 g(4)更接近于 1.37.故选用 y=-0.80.5x+1.4 作为模拟函数较好 .【小结】该产品的月产量 y 是月份 x 的函数,可供选用的函数有两种, 其中,哪一种函数确定的 4 月份该产品的产量越接近于 1.37 万件,哪种函数
15、作为模拟函数就越好 .思维拓展应用应用一:(1 )由已知 ,得 y=20lg =20lg .(2)当 P=0.002 时, y=20lg =401.2,所以这个男生偏胖 .基础智能检测1.20% 设 2012 年提价前的价格为 a,2013 年要恢复成原价应降价 x.于是有 a(1+25%)(1-x)=a,解得 x= ,即应降价 20%.2. 设汽车经过 t 秒行驶的路程为 s 米,则 s= t2,车与人的间距 d=(s+25)-6t= t2-6t+25=(t-6)2+7,当 t=6 时, d 取得最小值为 7,故 正确 .3.甲 将已知的三个点的坐标分别代入两个解析式, 比较发现:前两个点均
16、适合, 但第三个点更适合甲,故选甲更好 .4.解:实数对( x,y)对应的点如图所示,由图可知 y 是 x 的一次函数 .(1)设 f(x)=kx+b,则 解得f(x)=-3x+150,30x50,经检验成立 .(2)P=(x-30)(-3x+150)=-3x2+240x-4500=-3(x-40)2+300,30x50,x=4030,50,当销售单价为 40 元时,所获利润最大 .全新视角拓展75 根据题意销售收入是 25x,所以利润是 w=25x-(0.1x2+10x+300),即 w=-0.1x2+15x-300,所以当 x=75 时,wmax=-0.1752+1575-300=262.5(万元) .思维导图构建 建系 求出函数模型 检验 检验
