1、第 8 课时 幂 函 数1.通过实例,了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式 .2.结合幂函数 y=x,y=x2,y=x-1,y= 的图象,了解它们的变化情况 .在初中,我们学过一些特殊图形或几何体的面积和体积公式, 它们其实也是函数,如正方形的面积 S 关于边长 a 的函数是 S=a2,正方形的边长 a 关于面积 S 的函数是 a= ,圆的面积 S 关于半径 R 的函数是 S=R2,正方体的体积 V 关于棱长 a 的函数是 V=a3 .问题 1:(1)把上面的函数的自变量和函数换成字母 x 和 y 表示后分别是y=x2,y= ,y=x2,y=x3 ,其中符合 y=xa 形式的函数有 个,分别是
2、 , , . (2)一般地,形如 的函数称为幂函数 ,其中 x 是自变量, 是常数 . (3)幂函数的特点是底数是 ,指数是 ,系数是 . 问题 2:常见的幂函数 y=x,y=x-1,y=x2,y=x3,y= 的图象和性质是怎样的 ?函数性质 y=x y=x2 y=x3y= y=x-1定义域 (-,+) (-,+) (-,+) 0,+) (-,0)(0,+)值域 (-,+) 0,+) (-,+) 0,+) (-,0)(0,+)奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇单调性 增 (-,0减,0,+)增 增 增 (-,0)减,(0,+)减定点 (0,0),(1,1) (1,1)问题 3:幂函数的性质主要有
3、哪些?(1)所有幂函数在(0, +)上都有意义, 并且图象都过点 . (2)当 0 时,则幂函数的图象都过点 ,并且在区间 0,+)上为 ;当为奇数时,幂函数为 ;当 为偶数时,幂函数为 . (3)当 ,( )0.5( )0.5.(2)幂函数 y=x-1 在( -,0)上是单调递减的,又 - (- )-1.(3)函数 y1=( )x 为减函数,又 ,( ( ,又 函数 y2= 在( 0,+)上是增函数, 且 ,( ( ,( ( .【小结】本题是比较大小的基本题,关键在于构造适当的函数, 若指数相同而底数不同,则考虑幂函数;若指数不同底数相同,则考虑指数函数;若底数不同 ,指数也不同,则需引入中
4、间量 .利用幂函数与指数函数的单调性,也可以借助幂函数与指数函数的图象 .探究三:【解析】(1) y= = .定义域为 x|xR 且 x0,值域为(0, +).(2)y= = 定义域为(0 ,+),值域为(0, +).【小结】当幂函数的指数为分数形式时,需将其转化为根式, 利用根式的有关要求求出自变量的取值范围 .思维拓展应用来源:学优高考网 gkstk应用一:(1 )若 f(x)为正比例函数,则m=1.(2)若 f(x)为反比例函数,则m=-1.(3)若 f(x)为二次函数,则m= .(4)若 f(x)为幂函数,则 m2+2m=1,解得 m=-1 .应用二:(1 )(- (- (- (1)y= , 0,y= 在(0 ,+)上单调递增 . (- (- .(2)幂函数 y=xp-3 在( 0,+)上是减函数, p-31.51,所以 1. 1. 1.(2)利用幂函数和指数函数的单调性可以发现 01,(-1.8 0.3,所以 0.60.50.60.3,所以 abc.
