1、广西 2013 届高三数学一轮复习单元知能演练：点、直线、平面之间的位置关系本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分 150 分考试时间 120 分钟第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列命题错误的是（ ）.A平行于同一条直线的两个平面平行或相交B平行于同一个平面的两个平面平行C平行于同一条直线的两条直线平行D平行于同一个平面的两条直线平行或相交【答案】D2在空间中，给出下面四个命题：(1)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；(2)若平面外两点到平面的距离相等，则过两点
2、的直线必平行于该平面；(3)两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；(4)两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线其中正确的是( )A(1)(2) B(2)(3) C(3)(4) D(1)(4)【答案】D3设 、 是两个不同的平面， l、 m 是两条不重合的直线，下列命题中正确的是( )A若 l ， m，则 l mB若 l m， m ，则 l C若 l ， m ，且 ，则 l mD若 l ， m 且 ，则 l m【答案】D4已知 m， n 是两条不同直线， ， ， 是三个不同平面，则下列命题中正确的为( )A若 ， ，则 B若 m ， m ，则 C若 m ，
3、 n ，则 m nD若 m ， n ，则 m n【答案】D5已知 ， 是两个平面，直线 ， ，设（1） ， （2） （3） ，若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则正确命题的个数是 ( )A0 B1 C2 D3【答案】C6已知直二面角 l ，点 A ， AC l， C 为垂足，点 B ， BD l， D 为垂足若AB2， AC BD1，则 CD( )A2 B 3C D12【答案】C7直线 a平面 ,平面 内有 n 条直线交于一点，那么这 n 条直线中与直线 a 平行的（ ）A至少有一条 B至多有一条 C有且只有一条 D不可能有【答案】B8正方体 ABCD A1B1C1D1中， BB1与平面
4、ACD1所成角的余弦值为( )A B23 33C D23 63【答案】D9 “直线 l垂直于平面 内的无数条直线”是“ l ”的 ( ）A充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件【答案】B10已知直线 l、 m，平面 、 ，且 l， m，则 /是 lm的（ ）A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件【答案】B11 ,mn是不重合的直线， ,是不重合的平面： ， ，则 m n ， m ，则 ， ，则 且 上面结论正确的有（ ）.A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【答案】A12 m 和 n 是分别在两个互相垂直的面 、 内的两条直线，
5、 与 交于 l，m 和 n 与 l 既不垂直，也不平行，那么 m 和 n 的位置关系是 ( ）A可能垂直，但不可能平行 B可能平行，但不可能垂直C可能垂直，也可能平行 D既不可能垂直，也不可能平行【答案】D第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13平面 外有两条直线 m 和 n，如果 m 和 n 在平面 内的射影分别是直线 m1和直线 n1，给出下列四个命题： m1 n1m n； m nm1 n1； m1与 n1相交 m 与 n 相交或重合； m1与 n1平行 m 与 n 平行或重合其中不正确的命题个数是_【答案
6、】414设 b， c 表示两条直线， ， 表示两个平面，现给出下列命题：若 b ， c ，则 b c; 若 b ， b c，则 c ；若 c ， ，则 c ； 若 c ， c ，则 .其中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号)【答案】15a，a _; 【答案】16a，b，ab _; 【答案】三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17如图，已知长方体 1DCBA底面 为正方形， E为线段 1AD的中点，F为线段 1BD的中点. (）求证： E平面 ；(）设 1M为 线 段 的中点，当 1A的比值为多少时， 1,FMB平 面 并说明理由.FEBD
7、 1AMCB1C1A1D【答案】 （I） E为线段 1A的中点， F为线段 1BD的中点， EF AB, ,FCDC平 面 平 面面 B. (II）当 12A时， 1.FMB平 面 1.CDB是 正 方 形 ，平 面 1.DAC 1A平 面.F ,FM分 别 是 中 点 ， M .F 12,D 1.DB矩形 1B为正方形， 为 B的中点， F 1,F 1.平 面18如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， DAB60， AB2 AD， PD底面ABCD.(1)证明： PA BD；(2)设 PD AD1，求棱锥 D PBC 的高【答案】(1)证明：因为 DAB60， AB2
8、 AD，由余弦定理得 BD AD.3从而 BD2 AD2 AB2，故 BD AD.又 PD底面 ABCD，可得 BD PD.所以 BD平面 PAD.又 PA平面 PAD，故 PA BD.(2)如图，作 DE PB，垂足为 E，已知 PD底面 ABCD，则 PD BC.由(1)知 BD AD，又 BC AD，所以 BC BD.故 BC平面 PBD， BC DE.则 DE平面 PBC.由题设知 PD1，则 BD ， PB2.3根据 DEPB PDBD，得 DE 32即棱锥 D PBC 的高为 3219如图，已知在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AC BC， D 为 AB 的中点， AC BC
9、BB1.(1)求证： BC1 AB1；(2)求证： BC1平面 CA1D.【答案】如图，以 C1点为原点， C1A1， C1B1， C1C 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系设 AC BC BB12，则 A(2,0,2)， B(0,2,0)， C(0,0,2)， A1(2,0,0)， B1(0,2,0)，C1(0,0,0)， D(1,1,2)(1)由于(0，2，2)，(2,2，2)，所以0440，因此，故 BC1 AB1.(2)取 A1C 的中点 E，连接 DE，由于 E(1,0,1)，所以(0,1,1)，又(0，2，2)，所以 ，12且 ED 和 BC1不共线，则
10、ED BC1，又 DE平面 CA1D， BC1平面 CA1D，故 BC1平面 CA1D.20如图，已知直角梯形 ABC的上底 2， 1/,2BCAD， CAD，平面 P平面 ， PD是边长为 的等边三角形。(1）证明： ABP；(2）求二面角 D的大小。(3）求三棱锥 的体积。【答案】 （1）在直角梯形 C中，因为 2A， 2BC， ,D所以2()6AB。因为 CD，平面 P平面 BD，平面 P平面 A，所以平面 ，因此在 RtC中，26C。因为 /,BA所以 平面 ，所以在 Rt中，22()1PD。所以在 中， 2PB，所以 ABP。(2）设线段 C的中点为 E，连接 ，因为 PCD是等边三
11、角形，所以 PEDC，因为平面 平面 AB，平面 平面 ABCD，所有 PE平面 ABCD，因此 ABE，由（1）知 ，所以 平面 ，所以 ，因此P就是二面角 的平面角，在 RtE中，32sin6PEB，所以 4PBE。(3） PA11S332ABDAPBDBVADC三 棱 锥 三 棱 锥12623.621 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABBC，P 为 A1C1的中点，AB=BC=kPA。(1）当 k=1 时，求证 PAB 1C；(2）当 k 为何值时，直线 PA 与平面 BB1C1C 所成的角的正弦值为 14，并求此时二面角 APCB 的余弦值。【答案】 （1）连接 B1P，因为
12、在直三棱柱 ABCA1B1C1中，P 为 A1C1的中点，AB=BC，所以 B1P面 A1C。所以 B1PAP。又因为当 k=1 时，AB=BC=PA=PC， 90PACAPPC。AP平面 B1PC，PAB 1C。(2）取线段 AC 中点 M，线段 BC 中点 N，连接 MN、MC 1、NC 1，则 MN/AB，AB平面 B1C，MN平面 B1C，N1是直线 PA 与平面 BB1C1C 所成的角，即,4sin1,41AP设 AB=a， ,2kBM21,421ka即 时，直线 PA 与平面 BB1C1C 所成的角的正弦值为 .41此时，过点 M 作 MH，垂足为 H，连接 BH，AB1平 面，由
13、三垂线定理得 BHPC，所以 是二面角 APCB 的平面角。设 AB=2，则 BC=2，PA=-4， 2,21PAMC，在直角三角形中 AA1P 中 421A，连接 MP，在直角三角形中由 27 HPCM得 ，又由 2B，在直角三角形中 BMH 中，解得 15H，在直角三角形 BMH 中 .15027cosBM所以二面角 APCB 的余弦值是 .150另解：以点 B 为坐标原点，分别以直线 BA、BC、BB 1为 x 轴、y 轴建立空间直角坐标系 Oxyz，(1）设 AB=2，则 AB=BC=PA=2根据题意得： )2,1(),0(,2)(,0(1PBCA所以 1,1PBA1,(2）设 AB=
14、2，则 k2，根据题意：A（2，0，0） ，C（0，2，0）又因为 ,1P所以 42121 kA，CBAkPkB1221)4,(,)4,0(平 面所以由题意得 41|,cos| AP即 ,21,4| kBA即.2,0解 得k即 1时，直线 PA 与平面 BB1C1C 所成的角的正弦值为 .41.1APBC平 面的法向量 )0(1，B设平面 BPC 的一个法向量为 )14,(),2(),(Pzyxn由 0nBPC，得 0142zyx， 15|2|,cos11 PB所以此时二面角 APCB 的余弦值是 .022 在长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB AD1， AA12， M 是棱 CC1的中点，求异面直线 A1M 和C1D1所成的角的正切值【答案】因为 C1D1 B1A1，所以 MA1B1为异面直线 A1M 与 C1D1所成的角因为 A1B1平面 BCC1B1，所以 A1B1M=90 ，而 A1B1=1， B1M= = ，故 tan MA1B1=B1C21+MC21 2= ，即异面直线 A1M 和 C1D1所成的角的正切值为 B1MA1B1 2 2
