1、信号与系统章节 第 7 章 第 6 节 卷积（卷积和） 授课时间 2 学时教学内容与目标内容：卷积的定义，介绍卷积和、卷积积分、卷积的性质。讲解卷积的求解方法，包括定义法，图解法，利用性质求解等，最后介绍卷积定理。知识目标 掌握卷积的定义及物理意义 学会用卷积的定义，性质，积分，图解等方法解题能力目标在掌握本节知识的基础上，灵活运用所学的知识，举一反三，认真分析所学内容，能够根据所学内容实际应用到各个领域当中。德育目标激发学生对本门课的学习兴趣，提高学生的分析能力，从而锻炼学生的逻辑思维。教学重点 卷积和的定义及性质,求卷积和，卷积积分。教学难点 对于图解法求卷积的理解,卷积积分的求解,卷积定
2、理教学方法 讲授法、演示法、讨论法 辅助教具 多媒体投影教学过程第七章离散时间系统的时域分析 第 6 节 卷积（卷积和）1） 、卷积的基本介绍卷积是在信号与线性系统的基础和发展背景下出现的。卷积就是信号与系统中论述系统对输入信号的响应而提出的。连续信号的卷积积分、离散信号的卷积积分在信号与系统理论中占有重要地位，在信号处理、系统分析中有广泛的应用。掌握了解卷积的相关原理知识，对于学习信号与系统有着非常重要的作用。求解线性时不变离散系统的零状态响应，也可以采用与连续系统卷积积分相类似的方法，称之为“卷积和”。但与连续系统卷积方法比较，存在两个不同点：（1）由于离散信号本身就是一个不连续序列，因此
3、将输入激励信号进行分解很容易实现；（2）由于系统对每个脉冲的响应也是一个离散时间序列，因此其求和过程无需进行积分，表现为“卷积和”过程。（一）、卷积和1、序列的时域分解2、任意序列作用下的零状态响应即： )1()0(1)()( khffkhf ikyif上式表明，线性时不变离散时间系统对任意激励信号 的零状态响应，就等于激励 与系统单位样值响应 的卷积和。)(kyff根据单位样值函数 的定义，任意离)(k散序列 可以表示为单位样值函数及f其延迟函数的加权和，即：教学过程3.卷积的应用卷积是一种线性运算，其本质是滑动平均思想，广泛应用于图像滤波，图像处理中，常见的 mask 运算就是卷积。电子工
4、程与信号处理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得 统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。 概率论中，两个统计独立变量 X 与 Y 的和的概率密度函数是 X 与 Y 的概率密度函数的卷积。 声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。 物理学中，任何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。2）卷积和的知识讲解一、卷积和的定义已知定义在区间（ ，）上的两个函数 f1(k)和 f2(k)，则定义和 i ikfikf )()(21 )(*)()()( khkfikhifkyizs 为 f1(k)与 f2(k)的卷积和，简称卷积；记为f(k)
5、= f1(k)*f2(k) 注意：求和是在虚设的变量 i 下进行的， i 为求和变量，k 为参变量。 教学过程二、卷积积分对于线性系统，可以将输入信号分解为许多简单信号之和。如果求得简单信号作用于系统的响应，那么，所有这些响应叠加起来就是该输入作用于系统的响应。一个任意的输入信号可以分解为：指数函数、冲激函数、阶跃函数等等。这里讨论将信号分解为冲激函数之和的情况。三、卷积的图解法离散时间系统“卷积和”的过程与连续时间系统“卷积积分”的计算过程很相似，只是求和运算代替了积分运算。设有两个离散时间序列 和 ，它们)(1kf2的“卷积和” ，则有)()(21fkf采用图解法求“卷积和”过程可分解为如
6、下五步：（1）换元： 换为 得到 ， 。ii（2）反褶：将序列 以纵坐标为轴线反褶为 。2fif（3）平移：将 沿 轴平移 得到 。)()(2k注意： ifk左 移将 右 移将,0（4）相乘：得到 。21（5）求和： 从 到 对乘积项求和。i四、“卷积和”的性质1. 满足乘法的三律：(1)交换律；(2)分配律；(3)结合律即 )()()()( 321321 1kffkfkf f结合 PPT上的例题2. )()(kfkf )()()00kfkf2121)(1th2)(te )()(21thtter。)(1th)(2t)(te )()(21thter。3卷积的微分和积分卷积的微分和积分性质的推论4
7、.卷积和的差分和求和卷积和的差分:卷积和的求和:h)()()()()()(212121 tftfdtfdtftftfd 121221()()t ttffftfftfd tjiji dffdttftftfj tftftf )()()()()(,( )()()( 21121 21次 数取 负 整 数 时 为 重 积 分 的 次 ，取 正 整 数 时 为 导 数 的 阶 。 , )()( tEtf )()()()()()( 212121 kffkffkff 2121 iiikiki h5.与冲激函数或阶跃函数的卷积6.时移特性卷积是本章的重点与难点求解卷积的方法可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积
8、分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。（2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3）利用性质。比较灵活。三者常常结合起来使用。五、 卷积定理（1）时域卷积定理（2）频域卷积定理六、举例分析各种解法求解卷积详细例题参考 PPT 课件。，)()()(tfttf )()()( 00tfttf 212121 f )()()()()( :)()()( 211212211 00021 ttytftftftf tftfty 。)()()(: , 2121 FtftfFTtfT。 )()(21)(: ,)( 221 2FtfFTtfTtf 。课堂小结本节有四个内容：（1）卷积的定义（2）卷积的积分（3）图解法求积和、卷积积分（4）卷积定理本讲的重点在于：求卷积和及卷积积分难点是：讲几种方法结合起来解题课堂作业思考题：1. 卷积和与卷积积分的区别2. 怎样用最简单有效的方法求卷积课后题：课后习题中关于 7-6 节卷积的题目，要求同学们课下完成。练习题完成老师留的练习题（参考教师习题）
