1、1文件 sxcbk0045.doc科目 数学关键词 梯形/知识要点/目的要求标题 梯形内容梯形【目的要求】1.要求掌握梯形、等腰梯形、直角梯形等概念。2.要求掌握等腰梯形的性质和判定及平行线等分线段定理、推论。3.要求在概念的学习过程中培养运用“类比”的思想方法，在定理的证明过程中培养运用“化归”的思想方法。4.要求在学习解题方法的过程中培养运用“转化”的思想方法，会通过添加适当的辅助线，将梯形问题转化为平行四边形和三角形的问题来解决。从而领会用“化未知为已知，用已知求未知”的思想方法。提高分析问题和解决问题的能力。【知识要点】1.梯形的有关概念：梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四
2、边形叫做梯形。平行的两条边叫做梯形的底边（通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底） ，不平行的两边叫做梯形的腰，两底的距离叫做梯形的高。根据梯形的定义来判断一个四边形是梯形时需要明确两点：一组对边平行另一组对边不平行定义的实质是一组对边平行且不相等的四边形是梯形。梯形在四边形分类表中的位置特殊的梯形：等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。2.等腰梯形的性质：等腰梯形在同一底上的两个角相等。2等腰梯形的两条对角线相等。等腰梯形是轴对称图形。3.等腰梯形的判定：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。4.平行线等分线段定理及推论：定理：如果一组平行线在一
3、条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。推论 1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。推论 2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。【重点与难点分析】重点：1.等腰梯形的性质与判定。通过学习等腰梯形性质定理、判定定理的证明掌握等腰梯形的性质和判定方法。领会梯形问题的处理方法即运用“转化”思想，化未知为已知，用已知求未知的思想方法。2.平行线等分线段定理及其推论难点：1.作适当的辅助线来解决梯形的问题。在梯形中常用的几种辅助线的添加方法：平移一腰，过上底一端点作一腰的平行线。如图 a过上底的两个端点，向下底作垂线。如图 b平移一条对角线，过上底的一个
4、端点作一条对角线的平行线。如图 c向上延长两腰构成一个三角形。如图 d作梯形的一条对角线。如图 e连结梯形上底一端点与一腰中点的直线与下底的延长线相交构造全等三角形，从而把梯形转化为等积的三角形。如图 f平移两底构造一个平行四边形。如图 g过一腰的中点作另一腰的平行线。如图 h通过以上几种常用的添加辅助线的方法，我们更进一步看到梯形是平行四边形和三角形的组合图形。在我们证明和计算的过程中常常利用三角形、平行四边形的知识来解决梯形的有关问题。解决问题的过程中培养逻辑思维能力、空间的想象能力及综合运用的能力。2.平行线等分线段定理的理解已知：l 1l 2l 3l 4AC = CE = EG则：BD
5、 = DF = FH不要错误的理解为：3AC = BD，CE = DF ，EG = FH【典型例题】例一.已知：如图在梯形 ABCD 中，ADBC，AB = AD = DC，BDDC求：(1)梯形各角的度数。(2)当梯形的周长为 12.5cm 时各边的长。分 析 ： 由 已 知 条 件 梯 形 是 等 腰 梯 形是 等 腰 三 角 形1.AB D CABD 由 3212321490230CDBDC由 梯 形 各 边 长4 =90 2312sin2.通过以上分析可以看到梯形的问题是怎样转化为二个特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的问题来解决的。解：ADBC ，AB DC梯形 ABCD 是等腰梯
6、形ABCC ，AADC，12ABAD132312 CBDDC490 2 +C 90 C + C901C60 23012330 ADC30 + 90 120A120在 RtDBC 中 490 ，230DC BC，即 BC2DC12设 AB 长为 Xcm。依题意得 X + X + X + 2X = 12.5X = 2.52X = 2.52 = 5C = 60A = D = 30 +90=120AB = AD = DC周长为 12.5cm4答：梯形 ABCD 的各角的度数分别为AADC 120 ABCC60 各边长分别为 ABADDC2.5cm。BC 长为 5cm。例二.已知：在梯形 ABCD 中，
7、ADBC，E 为 AB 中点，DE CE。求证：AD + BCDC证明：延长 DE 与 CB 的延长线交于一点 F。ADBC1F23AEEBAEDBFEADBF，ED EFCEDECDCF 即 CDBCBFCDADBC分析：1.本题辅助线作法实际利用中心对称将AED 旋转到 BEF 的位置，因此要体会到旋转在构造基本图形时的作用。2.本题的辅助线作法还可有其它方法。如平移对角线连结 BD，过 A 作 AFBD 与 CD 延长线交于一点 F，构造出平行四边形 AFBD，通过对角线互相平分证出 E 是 DF 的中点*注意要让 F、E、D 在同一直线上。例三.已知：如图，四边形 ABCD 是梯形，A
8、DBC，四边形 ABDE 是平行四边形，AD 的延长线交 EC 于 F求证：EF = FC证明：连结 BE 交 AD 于 O四边形 ABDE 是平行四边形，对角线 AD、BE 交于 OOBOE，即 O 为 BE 的中点在EBC 中ADBC ，即 OFBC，O 为 BE 中点EFCF分析：求证两条线段相等的方法的新方法要会用即平行线等分线段定理的推论 2，构造三角形一边的中点及平行线，因此证此题的关键是添加辅助线，这条辅助线既是平行四边形的一条对角线，又是EBC 中具有中点的一条边，它使 “未知化为已知”体现了数学中的转化思想。【练习题】一、填空题：1.已知梯形 ABCD 中 ADBC，A :
9、B : C = 5 : 1 : 3，则D 的度数为 。2.已知梯形同一底上的两个角分别为 30 ，60 ，上底为 9cm，下底为 19cm，则较长腰长 cm。3.已知梯形 ABCD 中 ADBC，AC3，BD4，ACBD，则 S 梯形 ABCD图 6图 7图 85 。4.已知梯形 ABCD 中 ADBC，ABBC，BC44 ，DC8，C30 ，则这3个梯形面积为 。二、作图题：已知线段 AB，求作线段 AB 上一点 C，使 AC : CB = 2 : 5三、证明题：1.已知：如图 a，ABC 中，AD 是中线，E 为 AD 中点，连结 BE，并延长 BE 交 AC 于 F求证：AF = AC132.已知：如图 b 在梯形 ABCD 中，ADBC，ADBC，E，F 分别为 AD，BC 中点且EFBC 。求证：BC3.已知：如图 c 矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于一点 O，M，N 分别为 AO，DO中点。求证：四边形 BCNM 为等腰梯形。4.已知：如图 d 梯形 ABCD 中，ADBC，M 为 DC 中点，过 M 作 MNAB，垂足为N求证：S 梯形 ABCDAB MN答案：一、 19025364183cm二、三 略
