1、平面向量的数量积主备人：赵继森 审核人：张瑞翠一、考点要求：要 求 来源:gkstkgkstk来源:gkstk.Com来源:gkstk来源:gkstk.Com内 容 来源:gkstkA B C 平面向量的的数量积 平面向量平面向量的平行与垂直 学习目标：理解两个向量夹角的定义及注意点；掌握平面向量数量积的定义及有关性质；理解数量积的运算律；掌握数量积的坐标表示及运算。二、知识要点：1、向量的夹角：定义：已知两个 向量 和 ，作 ，则 ，叫做向量abbOBaA, A和 的夹角ab注：夹角的范围： ；如果向量 与 的夹角为 时，则 与 垂ab直，记作 2、平面向量的数量积定义：已知两个非零向量 和
2、 ，它们的夹角为 ，把数量 叫做 和 的数量ab积（或内积） ，记作 ，即 = ，并规定零向量与任一向量的数量积为 .3、向量的数量积的性质设 ， 都是非零向量， 是与 方向相同的单位向量， 是 与 的夹角，则abe ae（1） ； （2） ；e ba（3）当 和 同向时， = ，当 和 反向时， = . 特别地：ba或 ；2| |（4）| | ；（5） = 是 与 的夹角）.bacos(ab4、向量数量积的运算律（1） = （交换律） ；（2） = = （数乘结合律） ； ba)(（3） = （分配律）cba)(5、平面向量数量积的坐标表示 12,(,)xyy（1） = . （2） = ，
3、= . |a|b（3） .ab（4）若 与 的夹角为 ，则 = .cos（5）若 的起点坐标和终点坐标分别为 则 = .c12(,),xy|c三、课前热身1已知平面上三点 满足 ，则,ABC|3,|4,|5BCA.2已知向量 ，若 与 垂直，则 等于 .(2,3)5,1)ab(0)manbanm3设向量 ，则 的最小cos476(cos59,31,()utbR |u值是 .4若向量 a= ，b= ，且 a，b 的夹角为钝角，则 x 的取值范围是 ,2x3,2x四、例题选讲：例 1：已知 ， 与 的夹角为 ，求 ， ， 。4|,|150ba2)(|ba例 2：已知向量 (cos,in)(cos,
4、),(1,0).axbxc（1）若 ，求向量 的夹角； 6x（2）当 时，求函数 的最大值.9,82)(af变式：若 且 |3|,0.kbakb(cos,in),(cos,in),ab（1）用 表示 ； （2）求 的最小值，并求此时 与 所成角 的大小.ka 例 3：（1）若正方形 边长为 1，点 在线段 上运动，则 的取值ABCDPAC)(PDBA范围是 （2）在 中， ， 是边 上一点， 201，D，则 D五、课堂小结：六、课堂练习：1设向量 与 的夹角为 ， ， ，则 ab)3,(a)1,(2abcos2已知向量 ， 是不平行于 轴的单位向量，且 ，则(3,1)x 3ba_b3ABC 中
5、， ， ，则 的最小值是 .2C,AB()|()|fCAB4如图， 是半圆 的直径， 是弧 的三等分点， ,MN是线段 的三等分BODA点.若 ，则 的值是 .6ANM七、课后练习：1 ， 的夹角为 ， ， 则 ab120a3b5ab2已知向量 ，则 2|,),(3在 中， ，若 则OABcosin),(cos,in)OB 5OBA= .S4在 中， ， ， 是边 的中点，则 C 23ACDCD5设向量 满足 ，若 ，则 的,.ab0,(),ab|1a|bc值是 .6已知向量 ，若向量 与 的夹角为锐角，则实数(,),1,2mm的取值范围为 ；7已知 ,且关于 的方程 有实根,则 与 的夹角的
6、取值|2|0abx|0axbab范围是_8直角坐标平面上三点 ，若 为线段 的三等分点，(12)3,)(9,7)ABC、 、 EF、 BC则 = AEF9在 中，O 为中线 AM 上一个动点，若 AM=2，则 的最小值是BC )(OA_。10点 O，N，P 是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足 ，A， ，则点 O，N ，P 分别是|PCBPA的_心，_心，_心A11已知 ， 与 的夹角为 ，2|,1|baab（1）若 ，求 ；（2） 求 |ba；（3）若 ，求/,)(baA M NO BCD12已知 ，其中 。abcosincosin， ， ， 0（1）求证： 与 互相垂直； a（2）若 与 （ ）的长度相等，求 。kk013已知向量 ，且3(cos,in),(cos,in)22ab0,.3（1）求 的最值； （2）若 ，求 的取值范围.|b |3|()kakbRk14已知向量 ，向量 n与向量 的夹角为 34，且(1,)mm1nm（1）求向量 n；（2）若向量 与向量 (1,0)q的夹角为 ，向量 ，22(cos,)CpA其中 为 的内角，且 依次成等差数列，求 的取值范围.,ACB,ABC|
