1、第三章 空间向量与立体几何一、选择题1下列各组向量中不平行的是（ ）A )4,2(),(ba B )0,3(),01(dcC 032fe D 421652hg2已知点 (,1)，则点 A关于 x轴对称的点的坐标为（ ）A 4, B 4, C ),13( D ),(3若向量 2(),(ba，且 a与 b的夹角余弦为 98，则 等于（ ）A 2 B C 或 5 D 或 54若 A )1,(，B )3,24(，C )4,16(，则ABC 的形状是（ ）A不等边锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等边三角形5若 A ),(x，B ),(x，当 BA取最小值时， x的值等于（ ）A 19 B 78
2、 C D 1496空间四边形 O中， ， 3OC，则 cos的值是（ ）A 21 B 2 C 21 D 0二、填空题1若向量 ),36(),4(ba，则 (3)(2abA_。2若向量 ,9,2kjikji ，则这两个向量的位置关系是 _。3已知向量 ),24(),31(xba，若 ab，则 x_；若 /ab则x_。4已知向量 ,3,5krjibkjima若 /ab则实数 m_， r_。5若 (3)b)7(，且 (4)a)57(，则 与的夹角为_。6若 19(0,2)8A， 5(,)8B， (2,1)C是平面 内的三点，设平面 的法向量zyxa，则 zy:_。7已知空间四边形 OABC，点 ,M
3、N分别为 ,OABC的中点，且 cCObBaA,，用 a， b， c表示，则 =_。8已知正方体 1ABCD的棱长是 1，则直线 1DA与 C间的距离为 。空间向量与立体几何解答题精选（选修 2-1）1已知四棱锥 PABCD的底面为直角梯形， /ABDC，D,90底面 ，且 12P，AB， M是 的中点。（）证明：面 面 ；（）求 与 所成的角；（）求面 C与面 B所成二面角的大小。证明：以 为坐标原点 AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 1(0,)(,20)(1,)(,0)(,)(0,)2PM.（）证明：因 ., DCAPDCAP所 以故由题设知 ADC，且 P与 AD是
4、平面 内的两条相交直线，由此得 DC面 PA.又 在面 上，故面 面 C.（）解：因 ),120(),1(B.5|,cos|2|PAC所 以故（）解：在 M上取一点 (,)Nxyz，则存在 ,R使 ,MCN.211201),1,( zyzyxNC要使 40,5ACxzA只 需 即 解 得 0),521(),521(, .,4MCBNBNA有此 时 能 使点 坐 标 为时可 知 当 ANBMCAN 所 以得由 .,0,0为所求二面角的平面角. 34|,|,.552cos(,).3|arcos().BANBAN故 所 求 的 二 面 角 为2如图，在四棱锥 VABCD中，底面 AB是正方形，侧面
5、VAD是正三角形,平面 底面 （）证明： 平面 ；（）求面 与面 所成的二面角的大小证明：以 为坐标原点，建立如图所示的坐标图系.（）证明：不防设作 (1,0)A，则 (1,0)B， 23,V， ),01(),(A由 ,VB得 V，又 ABD，因而 AB与平面 VD内两条相交直线 VA，AD都垂直. B平面 VAD.（）解：设 E为 中点，则 )43,01(E， ).2,(),43(),0,43( VBA由 ., DEADVE 又得因此， 是所求二面角的平面角， ,721|),cos(BA解得所求二面角的大小为 .arcos3如图，在四棱锥 PCD中，底面 A为矩形，侧棱 A底面 ， 3， 1
6、， 2P， E为 的中点.（）求直线 与 B所成角的余弦值；（）在侧面 内找一点 N，使 E面 C，并求出点 到 A和 的距离.解：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则 ,ACDPE的坐标为 (0,)、(3,0)B、 (3,1)、 ,、2、 ，从而 ).2,0(),(PBAC设 与 的夹角为 ，则 ,14732|cosPBA C与 所成角的余弦值为 .（）由于 N点在侧面 内，故可设 N点坐标为 (,0)xz，则)1,2(zxE，由 E面 PAC可得，D CBAV .0213,.0),13(,2(.0, xzzxACNEP化 简 得即 163zx即 点的坐标为 ),63，从而 N点到 AB和
7、P的距离分别为 3,6.4如图所示的多面体是由底面为 CD的长方体被截面 1ECF所截面而得到的，其中1,2,3,ABCBE.（）求 F的长；（）求点 到平面 1A的距离.解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,)D， (2,40)B1(2,0)(,4)(2,)(0,43)ACEC设 Fz. 1F为平行四边形， .62,62|).4(,0. ),0(,(1的 长 为即于 是 得由 为 平 行 四 边 形由 BFEFzzA（II）设 1n为平面 1AEC的法向量， )1,(,1yxnD故 可 设不 垂 直 于 平 面显 然 02240,1 yxAFn得由 .41,024xy即11),3
8、0(nC与设又 的夹角为 ，则 .346|cos1 C到平面 1AEF的距离为 .1343cos|1d5如图，在长方体 BDC，中， 1,2ADB，点 E在棱 AD上移动.（1）证明： 1EA；（2）当 为 的中点时，求点 E到面 1的距离；（3） 等于何值时，二面角 1DC的大小为 4.解：以 D为坐标原点，直线 1,DAC分别为 ,xyz轴，建立空间直角坐标系，设AEx，则 11(,0)()(,0)()(02,)EC（1 ） ., 1EDAx所 以因 为（2 ）因为 为 B的中点，则 (0)，从而 )0,21(),(1，)1,0(1AD，设平面 1ACD的法向量为 ,cban，则 ,1An
9、C也即 2cab，得 cab2，从而 )2,1(，所以点 E到平面 D的距离为.31|1nEh（3 ）设平面 1DC的法向量 ),(cban， ),10(),120(),2,1(1CxCE由 .0)2(,01xbacCEnD 令 1,2,bcax， ).2(x依题意 .25)(2|4cos 21 xDn 321x（不合，舍去） ， 3 . AE时，二面角 1EC的大小为 4.6如图，在三棱柱 BA中， B侧面 1， E为棱 1C上异于 1,的一点， 1，已知 12,3，求：（）异面直线 与 E的距离；（）二面角 1AB的平面角的正切值.解：（I）以 为原点， 、 A分别为 ,yz轴建立空间直角
10、坐标系.由于， 112,3CB在三棱柱 AB中有1(0,)(,2),(0,), )0,2(),02,(1C设 即得由 ,),3( 11EBAEa)0,23(),2(0a,443a .,043)023()0,213( ),21(),(,) 11 EBEBa 即故舍 去或即得又 A侧面 1C，故 ABE. 因此 是异面直线 ,A的公垂线，则 143|BE，故异面直线 1,ABE的距离为 .（II）由已知有 ,11BA故二面角 1A的平面角 的大小为向量与1的夹角. .2tan,32|cos ),2,(),0,(11 即故因 ABE7如图，在四棱锥 PCD中，底面 B为矩形， PD底面 ABC， E
11、是 上一点， FE. 已知 ,21,2AE求（）异面直线 与 的距离；（）二面角 的大小.解：（）以 为原点， 、 C、 P分别为,xyz轴建立空间直角坐标系.由已知可得 (0,)(,2),(0,)DP设 ,xBA则).,23(),21,()21( CEEx由 0CEPE得 ，即 .3,043x故 由 DD 得),23(0,1，又 PDE，故 是异面直线 P与 E的公垂线，易得 1|E，故异面直线,C的距离为 1.（）作 G，可设 (0,)yz.由 0CG得 0)2,(),zy即 2,2yz故 可 取 作 F于 ，设 Fmn，则 ).,1,3(nmEF由 021,0)2,(),2,(0 nPC
12、即得 ，又由 F在 PC上得 ).2,13(,2,1,2EFnmn故因 ,DGE故 EPCD的平面角 的大小为向量 DG与 的夹角.第三章 空间向量 一、选择题1D 2/;3/;babdc而零向量与任何向量都平行2A 关于某轴对称，则某坐标不变，其余全部改变3C 2682cos, ,955A或4A (3,42)(,13)(,1)BCB， 0ABC，得 A为锐角；0，得 为锐角； 0A，得 为锐角；所以为锐角三角形5C 222(1,),()(3)()xxx2439，当 87x时， B取最小值6D coscos()33cos, 0OACAOBOABC二、填空题1 2 3(10,4)ab， 2(16,40)ab2垂直 ,)9,A3 0,6若 ，则 83x；若 /，则 2:(4)1:23,6x4 15 51(,51)(,),5mambrrr5 0 22222760,730,493,495abababAAAA得2535,cos, 149ab6 :() 77(1,3),(2,1),0,44ABACABC2243,:()2:3(4)43xyzyz7 1()2bca 1()2MNObca8 3 1 10,(1,)(0,),(,0)(,)ACDACDA设 1(,xyzxyzyt令则 )MNt，而另可设 (0)()(,)MmNabmab1,(02,),3matttb， 113(,)39MN
