1、 第 1 页 静安区2017学年度第一学期教学质量检测 高三数学试卷 考生注意： 1本场考试时间120分钟试卷共4页，满分150分另附答题纸 2作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号等信息 3所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位在试卷上作答一律不得分 4用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1. 计算：+lim (1 )=+1n nn _ 2.计算行列式1 i 23i 1 1 i的结果是_（其中i
2、为虚数单位） 3与双曲线 2219 16xy的渐近线相同，且经过点 ( 3,2 3)A 的双曲线的方程是_ 4从 5 名志愿者中选出 3 名，分别从事布置、迎宾、策划三项不同的工作，每人承担一项工作，则不同的选派方案共有_种（结果用数值表示） 5已知函数 ( ) 2 3xf x a a （aR ）的反函数为 1()y f x ，则函数 1()y f x 的图像经过的定点的坐标为 6在 10()xa 的展开式中，7x 的系数是15，则实数a _ 7已知点 (2,3)A 到直线 ( 1) 3 0ax a y 的距离不小于3，则实数a 的取值范围是 . 8类似平面直角坐标系，我们把平面内两条相交但不
3、垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合于O点且单位长度相同）称为斜坐标系在斜坐标系xOy 中，若 12OP xe ye（其中12,ee分别为斜坐标系的x 轴、y 轴正方向上的单位向量， ,xy R ），则点P 的坐标为(, )xy .若在斜坐标系xOy 中，60xoy ，点M 的坐标为(1,2)，则点M 到原点O 的距离为 . 9已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，该圆锥的体积为83 ，则该圆锥的侧面积等于 . 10已知函数 ( 5 ) 1 , ( 1 )(), ( 1 )x a x xfx ax ( 0, 1)aa是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为 11.已知函数 2 31(
4、) s in 3 c o s c o s ( )22f x x x x ，若将函数 ()y f x 的图像向左平移a 个单位第 2 页 (0 )a ，所得图像关于y 轴对称，则实数a 的取值集合为 . 12.已知函数 2( ) 4 1f x ax x ,若对任意xR ，都有 ( ( ) 0f f x 恒成立，则实数a 的取值范围为 . 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 每题有且只有一个正确选项考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13. 已知无穷等比数列na 的各项之和为32 ，首项1 12a，则该数列的公比为 【 】 A 13 B23 C 13
5、 D13 或23 14. 设全集 3, l o g ( 1 ) , 1 1U R A x y x B x x ，则 U AB 【 】 A 0,1 B 0,1 C 1, 2 D 1, 2 15两条相交直线l 、m 都在平面 内，且都不在平面 内若有甲：l 和m 中至少有一条直线与 相交；乙：平面 与平面 相交，则甲是乙的 【 】 A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 16若曲线 2yx与曲线 22:144xyC 恰有两个不同交点，则实数 的取值范围为 【 】 A , 1 1 + （ ， ） B ,1 C 1+（，） D 1,0) 1, 三、解答题（本大题共有 5
6、 题，满分 76 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤 17（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，在正三棱柱 1 1 1ABC ABC 中, 41 AA ,异面直线 1BC 与 1AA 所成角的大小为3 （1）求正三棱柱 1 1 1ABC ABC 的体积； （2）求直线 1BC 与平面 11AACC 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） B1 A1 C1 A C B 第 3 页 18（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在 ABC 中，角A B C、 的对边分别是a b c、 ，设向量 ( ,cos ),m a B ( ,cos
7、 ),n b A 且/ ,m n m n . (1)求证： 2AB ； (2)若 s in s in s in s inx A B A B ，试确定实数x 的取值范围. 19（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角 PAQ始终为45 (其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设 , tanPAB t . (1) 当三点C P Q、 不共线时，求直角CPQ 的周长； (2) 设探照灯照射在正方形ABCD内部区域PAQC 的面积为S(平方百米) ，试求S的最大值. Q CDA BP45 第 4 页
8、ACPQMNxyOml20（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分 6分） 如图,已知满足条件 3i 3 iz （其中i 为虚数单位）的复数z 在复平面xOy 对应点的轨迹为圆C（圆心为C ）. 设复平面xOy 上的复数 i ( , )z x y x R y R 对应的点为(,xy ，定直线m 的方程为3 6 0xy ，过 )0,1( A 的一条动直线l 与直线m 相交于N 点,与圆C 相交于PQ、 两点，M 是弦PQ中点. （1）若直线l 经过圆心C ，求证：l 与m 垂直； （2）当 23PQ 时，求直线l 的方程； （3）设t AM AN ,试问t 是否为定值？
9、若为定值，请求出t 的值；若t 不为定值，请说明理由. 21（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分 7分） 已知数列na 的通项公式为 annan ，( ,na N*) (1) 若 ，2a ，4a 成等差数列，求a 的值； (2) 是否存在k ( 10k 且k N*)与a ，使得 ，3a ，ka 成等比数列？若存在，求出k 的取值集合；若不存在，请说明理由； (3) 求证：数列na 中的任意一项na 总可以表示成数列na 中的其它两项之积 1a1a第 5 页 静安区2017学年度第一学期教学质量检测 高三数学解答 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第
10、 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1. 0；2. 6i ；3. 224 194xy；4.60种；5(30)， ；6 12 7. 3, 3 ,7 ；8 7 ；942 ；103,5) 11. 7512 3 12 6 ， ， ，；12. 3 ，+ 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13.B；14.D；15.C；16A 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤 17（本题满分14分
11、，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1） 11BCB 是异面直线 1BC 与 1AA 所成的角，所以 11BCB =3 2分 因为 114BB AA，所以 3411 CB ，4分 于是，三棱柱体积1 3 1 6 3 4 4 8 34ABCV S H S A A 6分 （2）过 B作BD AC，D为垂足，则BD 平面 11AACC ， DBC1 是直线 1BC 与平面 11AACC 所成的角，8分 8,6 1 BCBD ，（ 1 27DC ）， 所以直线 1BC 与平面 11AACC 所成的角为 43arcsin 14 分 ( 37arctan 7 ， 7arccos 4 ) B1 A
12、1 C1 A C B 第 6 页 18（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1） ( , c o s ) , ( , c o s ) ,m a B n b A且 /mn， co s co s 0a A b B 2分 又 2sin sinabRABs in c o s s in c o sA A B B, 即sin 2 sin 2AB 又 ABC 中0 2 , 2 2AB 22AB或22AB即AB 或 2AB 5分 若AB ，则ab 且cos cosAB ，mn ， mn 2AB 6分 （2）由 s in s in s in s inx A B A B 可得 s i n
13、s i n s i n c o ss i n s i n s i n c o sA B A Ax A B A A8分 设sin cosA A t，则 2 sin( )4tA， 02A 34 4 4A 1 2 sin( ) 24A 10分 2 1 2 sin co st A A 2 1sin cos 2tAA 11分 22211tx tt t 1t t 在 (1, 2t 上单调增222 221112 22tx tt t 实数x 的取值范围为(2 2, ) (开区间)14分 19（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1） , tanPAB t ，所以BP t ， 1CP t
14、 ； 因为点C P Q、 不共线，所以01t ， 1ta n ( 4 5 ) 1 tDQ t , 11 1 tCQ t ; 22PQ CP CQ= 211tt ;5分 Q CDA BP45 第 7 页 ACPQMNxyOml直角CPQ 的周长= 211(1 ) (1 )ttt =26分 (2) 11=1 2 2 1ttS t 8分 12= 2 ( 1 ) 2 221t t 12 分 当 12t 时，等号成立13分 探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S最大为22 平方百 米14 分 20（本题满分 16分，第 1 小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3小题满分6分） 解: (1)由已
15、知，圆心C )3,0( ,31mk , 2分 则 310 03 lk.故 1 lm kk . 所以直线l 与m 垂直. 4分 （直线l 经过点（-1，0）和（0，3），所以方程为3 3 0xy ） (2) 当直线l 与x 轴垂直时,易知 1x 符合题意; 5分 当直线与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为 )1( xky . 6分 由于 32PQ ,所以 .1CM 7分 由 1132 kkCM ,解得 34k . 9分 故直线l 的方程为 1x 或 0434 yx . 10分 (3)当l 与x 轴垂直时,易得 )3,1(M , )35,1( N ,又 )0,1(A ，则 ),3,0(AM )35
16、,0( AN ,故 5t AM AN . 11分 当 l 的斜率存在时, 设直线l 的方程为 )1( xky , 代入圆的方程 22( 3) 4xy 得第 8 页 056)62()1( 2222 kkxkkxk .则 ,1 32 2221 k kkxxx M 2213)1( k kkxkyMM ,即 )13,1 3(2222 k kkk kkM ,13分 AM 22 2 23 1 3 3 1( , ) = 1 , )1 1 1k k k k kk k k （.又由 ,063 ),1(yx xky得 )31 5,31 63( kkkkN ,则5 5 5( , ) = (1 , )1 3 1 3
17、1 3kA N kk k k . 故t 222 2 21 5 5 5 ( 3 ) 5 ( 1 3 ) ( 1 ) 5( 1 ) ( 1 3 ) ( 1 ) ( 1 3 ) ( 1 3 ) ( 1 )k k k k k kA M A N k k k k k k （ ）. 综上,t 的值与直线l 的斜率无关,且 5t AM AN . 16分 （3）另解:连结CA并延长交直线m 于点B ,连结 ,CNCM 由(1)知 ,mAC 又 lCM , 所以四点 BNCM , 都在以CN 为直径的圆上,由相交弦定理得 5t A M A N A M A N A C A B . 16分 21（本题满分18分，第1
18、小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分 7分） 解：(1) aa 111， aa 222，4 44a a ， ，2a ，4a 成等差数列， 1 4 22a a a ，2分 化简得 2 2aa a N*， 2a 4分 (2) 假设存在这样的k ，a 满足条件， aa 111， aa 333， akkak ， ，3a ，ka 成等比数列， 231() ka aa ，6分 去分母,展开得 229 9 9 6 a ka a ka ka,化简得 2(3 9) ( 9) k k a, a N*， ( 9 ) 3 9 , ( 3 ) 9 9k a k a k a ，当 10k 时, 39a ;当 11
19、k 时, 21a ；等等8分 一般的,设 9*t k N , 3* l a N ,则 363a t , 369k l .9分 a N*，,lt需为36的公约数,k 的取值集合为 1a1a第 9 页 369 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 9 , 1 2 , 1 8 , 3 6k k ll (或者列举 1 0 1 1 1 2 1 3 1 5 1 8 2 1 2 7 4 5， ， ， ， ， ， ， ，)11分 (3) 即证存在k ，t n ，使得 tkn aaa 12分 即证： n k tn a k a t a )1)(1(1 takana ktatkn 111 ktaknknk t aknnk ， ()n k at kn 15分 令 1nk ，则 )1()( annaknt 对任意n ， )1(1 annnn aaa , 即数列中的任意一项na 总可以表示成数列中的其它两项之积 18分 注:直接构造出ka 与ta 亦可，例如： 2 2 22 2 2 ( 2 )n n n n an a n a n a n a a ，所以 22n n n aa a a .
