1、2016-2017 学年江苏省连云港市东海县石榴高中高三（上）第一次学情检测数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1已知集合 A=1，2，3，B=x|（x+1） （x2）0，xZ，则 AB= 2命题“xR，x 2+2x+50”的否定是 3复数 z= 的虚部是 4函数 y= 的定义域是 5已知 a=2 ，b=4 ，c=25 ，则 a，b，c 的大小关系为 6设函数 f（x）= ，则满足 f（x） 3 的 x 的取值范围是 7已知函数 f（x）=x 3+x16，则在点（2，6）处的切线的方程为 8已知幂函
2、数 f（x）=x （m N+）经过点（2， ） ，试确定 m 的值，并满足条件 f（2a）f（a 1）的实数 a 的取值范围 9函数 f（x）=log a（ax 3）在1，3上单调递增，则 a 的取值范围是 10设函数 f（x）= x34x+4 在区间0，3上的最大值为 M，最小值为 m，则 Mm 的值为 11关于 x 的不等式 kx22|x1|+3k0 的解集为空集，则 k 的取值范围 12设函数 f（x）= ，函数 y=ff（x） 1 的零点个数为 13已知 f（x）是定义在2，2上的函数，且对任意实数 x1，x 2（x 1x 2） ，恒有 ，且 f（x）的最大值为 1，则满足 f（log
3、 2x）1 的解集为 14已知函数 f（x）=|x+1|+|x+2|+|x 1|+|x2|，且 f（a 23a+2）=f（a1） ，则满足条件的所有整数 a 的和是 二、解答题：（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15 （14 分）已知集合 A=x| 1，x R，B=x|x 22xm0（1）当 m=3 时，求 A（ RB） ；（2）若 AB=x|1x4，求实数 m 的值16 （14 分）已知：p：|x+1|3，q：x 22x+1m20，m0（）若 m=2，命题 “p 或 q”为真， “p 且 q”为假，求实数 x 的
4、取值范围；（）若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围17 （14 分）已知美国苹果公司生产某款 iphone 手机的年固定成本为 40 万美元，每生产 1 只还需另投入16 美元设苹果公司一年内共生产该款 iphone 手机 x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为 R（x）万美元，且 R（x）=（1）写出年利润 W（万元）关于年产量 x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润18 （16 分）已知 a0 且 a1，函数 f（x）=log a（x+1） ，g（x）=log a ，记 F（x）=2f（x）+g（
5、x） （1）求函数 F（x）的定义域 D 及其零点；（2）若关于 x 的方程 F（x）m=0 在区间0，1）内仅有一解，求实数 m 的取值范围19 （16 分）定义 g（x）=f（x）x 的零点 x0 为 f（x）的不动点，已知函数 f（x）=ax 2+（b+1）x+b1（ a0） （1）当 a=1，b= 2 时，求函数的不动点；（2）对于任意实数 b，函数 f（x）恒有两个相异的不动点，求实数 a 的取值范围；（3）若函数 g（x）只有一个零点且 b1，求实数 a 的最小值20 （16 分）已知函数 f（x） = x2，g（x）=alnx（1）若曲线 y=f（x）g（x）在 x=1 处的切线
6、的方程为 6x2y5=0，求实数 a 的值；（2）设 h（x）=f（x）+g（x） ，若对任意两个不等的正数 x1，x 2，都有 2 恒成立，求实数 a 的取值范围2016-2017 学年江苏省连云港市东海县石榴高中高三（上）第一次考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1 （2016 秋天宁区校级期中）已知集合 A=1，2，3，B=x|（x+1） （x 2）0，xZ，则 AB= 0，1，2，3 【考点】并集及其运算【专题】计算题；集合思想；定义法；集合【分析】先求出集合 A，B，由
7、此利用并集的定义能求出 AB 的值【解答】解：集合 A=1，2，3，B=x|（x+1） （x2）0，xZ=0，1，AB=0，1，2，3故答案为：0，1，2，3【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用2 （2016 秋唐县校级期中）命题“ xR，x 2+2x+50”的否定是 x 0R，x 02+2x0+50 【考点】命题的否定【专题】计算题；规律型；简易逻辑【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题 p：“xR，x 2+2x+50”的否定是：x0R，x 02+2x0+50故答案为： x0R，x 02+
8、2x0+50【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题3 （2014 秋乐山期末）复数 z= 的虚部是 1 【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题；规律型；函数思想；数系的扩充和复数【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可【解答】解： ，z 的虚部为1故答案为：1【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，是基础题4 （2016江苏）函数 y= 的定义域是 3，1 【考点】函数的定义域及其求法【专题】计算题；定义法；函数的性质及应用【分析】根据被开方数不小于 0，构造不等式，解得答案【解答】解：由 32xx20 得： x2+2x30，解得：x
9、3，1，故答案为：3 ，1【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题5 （2016 秋东海县月考）已知 a=2 ，b=4 ，c=25 ，则 a，b，c 的大小关系为 ca b 【考点】指数函数的图象与性质【专题】计算题；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】利用指数函数的图象及性质进行判断【解答】解：由指数函数的性质可知，底数大于 1，增函数，指数越大，其函数值越大由题意：a=2 ，b=4 = ，从而 abc3=（25 ） 3=25a3=（2 ） 3=16从而 ca故答案为：ca b【点评】本题考查指数函数的图象和单调性的运用，比较大小属于基础题6
10、（2016 春吴中区校级期中）设函数 f（x）= ，则满足 f（x）3 的 x 的取值范围是 0，+） 【考点】分段函数的应用【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】根据分段函数和指数函数和对数函数的性质即可求出【解答】解：f（x）3当 x1 时，f（x）=3 1x3=3 1，1x 1，解得 1x0，当 x1 时，f（x）=1 log3x3，log 3x2，恒成立，综上所述满足 f（x）3 的 x 的取值范围是0，+） ，故答案为：0，+）【点评】本题考查了分段函数和不等式的解法，属于基础题7 （2016 秋东海县月考）已知函数 f（x）=x 3+x16，则在点（2，6）处的
11、切线的方程为 13x y32=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；函数思想；方程思想；导数的综合应用【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解即可【解答】解：函数 f（x）=x 3+x16，可得函数 f（x）=3x 2+1，在点（2，6）处的切线的斜率为：f（2）=13，所求的切线方程为：y+6=13（x2）即 13xy32=0故答案为：13xy 32=0【点评】本题考查函数的切线方程的求法，正确求解函数的导数，切线的斜率是解题的关键8 （2016 秋东海县月考）已知幂函数 f（x）=x （mN +）经过点（2， ） ，试确定 m 的值，并满足条件 f（2a）
12、f （a1）的实数 a 的取值范围 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【专题】综合题；函数思想；待定系数法；函数的性质及应用【分析】将点（2， ）代入解析式列出方程，结合条件求出 m 的值，由幂函数的性质判断 f（x）在定义域上的单调性，利用定义域、单调性转化不等式，即可求出实数 a 的取值范围【解答】解：幂函数 f（x） =x （m N+）经过点（2， ） ，2 = = ，即 ，解得 m=1 或 m=2（舍去） ，f（x）= = ，则 f（x）在0，+）上单调递增，由 f（2 a）f （a1）得， ，解得 ，实数 a 的取值范围是 ，故答案为： 【点评】本题考查了待定系数法求幂函数的
13、解析式，幂函数的定义域、单调性的应用，注意函数的定义域9 （2016 秋东海县月考）函数 f（x）=log a（ax3）在1，3上单调递增，则 a 的取值范围是 （3，+） 【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】导数的综合应用【分析】由已知可得当 x1，3时，ax 30 恒成立，且内外函数的单调性一致，结合对数函数的底数a0 且 a1，可得实数 a 的范围【解答】解：函数 y=loga（ax 3）在1，3上是单调递增的，故当 x1，3时，ax 30 恒成立 ，解得：a3 ，且内外函数的单调性一致，结合对数函数的底数 a0 且 a1可得内函数 t=ax3 一定为增函数故外函数 y=y=loga
14、t 也应为增函数，即 a1综合得 a3，故答案为：（3，+） 【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质，复合函数的单调性，对数函数的定义域等，是函数图象和性质的综合应用，难度中档10 （2015 春 苏州期末）设函数 f（x）= x34x+4 在区间0，3上的最大值为 M，最小值为 m，则 Mm的值为 【考点】函数的最值及其几何意义【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】利用求导公式先求出函数导数，求出导数等于 0 时 x 的值，把 x 值代入原函数求出极值，再求出端点值，极值与端点值比较，求出最大值和最小值，作差即可得到【解答】解：函数 f（x）= x34x+4 的导数为f（x）=
15、x 2_4，f（x）=0 则 x=2（ 2 舍去） ，由 f（2 ）= ，f （0）=4 ，f（3）=1，所以最大值为 M=4，最小值为 m= ，最大值和最小值 Mm= 故答案为： 【点评】本题考查导数的运用：求极值和最值，考查运算能力，属于基础题11 （2016 秋 东海县月考）关于 x 的不等式 kx22|x1|+3k0 的解集为空集，则 k 的取值范围 1，+） 【考点】其他不等式的解法【专题】计算题；转化思想；分析法；不等式的解法及应用【分析】根据题意，讨论 x 和 k 的取值，是否满足不等式 kx22|x1|+3k0 的解集为空集即可【解答】解：当 k=0 时， 2|x1|0，解得
16、x1，故不满足题意，当 x1 时，不等式等价于 kx22x+2+3k0，则 k0 时，=4 4k（2+3k）0，即为（3k1） （k+1）0，解得 k ，当 x1 时，不等式等价于 kx2+2x2+3k0，则 k0 时，=4 4k（2+3k）0，即为（3k+1） （k 1）0，解得 k1，综上所述实数 k 的取值范围是1，+） 故答案为：1，+） 【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应根据题意，讨论字母系数的取值情况，从而得出正确的答案12 （2015兰州二模）设函数 f（x）= ，函数 y=ff（x） 1 的零点个数为 2 【考点】函数的零点；根的存在性及根的个数判
17、断【分析】根据函数 ，根据指数函数和对数函数的性质，我们可以分类讨论，化简函数函数 y=ff（x）1 的解析式，进而构造方程求出函数的零点，得到答案【解答】解：函数 ，当 x0 时y=ff（x） 1=f（2 x） 1= 1=x1令 y=ff（x）1=0 ，x=1 （舍去）当 0x1 时y=ff（x） 1=f（log 2x） 1= 1=x1令 y=ff（x）1=0 ，x=1当 x1 时y=ff（x） 1=f（log 2x） 1=log2（log 2x） 1令 y=ff（x）1=0 ，log 2（log 2x）=1则 log2x=2，x=4故函数 y=ff（x）1 的零点个数为 2 个故答案为：2
18、【点评】本题考查的知识点是函数的零点，根的存在性及根的个数判断，其中根据指数函数和对数函数的图象和性质，化简函数的解析式是解答的关键13 （2010江苏模拟）已知 f（x）是定义在2，2上的函数，且对任意实数 x1，x 2（x 1x 2） ，恒有，且 f（x）的最大值为 1，则满足 f（log 2x）1 的解集为 ，4） 【考点】其他不等式的解法【专题】计算题；转化思想【分析】由“意实数 x1，x 2（x 1x 2） ，恒有 ”，得到 f（x）是定义在2，2上的增函数，从而得到最大值：f（ 2） ，这样，不等式（log 2x）1 可转化为：f（log 2x）f（2） ，利用函数的单调性求解【解
19、答】解：对任意实数 x1，x 2（x 1x 2） ，恒有 ，f（x）是定义在2，2上的增函数f（x）的最大值为：f（2）=1f（log 2x）1 可转化为：f（log 2x）f（2）可得：解得：故答案为： ，4）【点评】本题主要考查抽象函数构造的不等式的解法，一般是通过主条件转化，利用函数的单调性定义求解14 （2016 秋 东海县月考）已知函数 f（x）=|x+1|+|x+2|+|x1|+|x2|，且 f（a 23a+2）=f（a1） ，则满足条件的所有整数 a 的和是 6 【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】综合题；函数思想；转化法；函数的性质及应用【分析】根据已知中 f（x）=|x+
20、1|+|x+2|+|x 1|+|x2|，结合函数奇偶性的定义，我们可以求出函数为一个偶函数，则 f（a 23a+2）=f（a 1） ，可以转化为|a 23a+2|=|a1|，又由绝对值的几何意义，我们可得f（0）=f（1）=f（1） ，可知 a=2 也满足要求，进而得到答案【解答】解：函数 f（x）=|x+1|+|x+2|+|x 1|+|x2|，f（ x）=|x+1|+|x+2|+| x1|+|x2|=|x1|+|x2|+|x+1|+|x+2|，即函数 f（x）为偶函数若 f（a 23a+2）=f（a 1） ，则 a23a+2=a1，或 a23a+2=（a 1）即 a24a+3=0，或 a22
21、a+1=0解得 a=1，或 a=3又f（0）=f（1）=f（1）当 a=2 时，也满足要求，故满足条件的所有整数 a 的和是 1+2+3=6，故答案为：6【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，及绝对值的几何意义，解答本题的技巧性较强，难度也比较大，其中分析出函数的奇偶性，从面将 f（a 23a+2）=f（a1） ，转化为一个绝对值方程是解答本题的关键，但易忽略 f（0）=f（1） =f（1） ，而错解为 4二、解答题：（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15 （14 分） （2012 无为县模拟）已知集合 A=
22、x| 1，xR ，B=x|x 22xm0（1）当 m=3 时，求 A（ RB） ；（2）若 AB=x|1x4，求实数 m 的值【考点】交集及其运算；补集及其运算【专题】计算题【分析】 （1）先根据分式不等式求出集合 A，然后将 m 的值代入集合 B，求出集合 B，从而求出集合 B 的补集，最后与集合 A 求交集即可；（2）根据 A=x|1x5，AB=x| 1x4可知集合 B 中所对应的方程有一根 4，代入即可求出 m 的值【解答】解：由 ，1x5A=x| 1x5，（1）当 m=3 时， B=x|1x3，则 CRB=x|x1 或 x3A （C RB）=x|3x5（2）A= x|1x5，AB=x|
23、 1x4，有 4224m=0，解得 m=8，此时 B=x|2x4，符合题意，故实数 m 的值为 8【点评】本题主要考查了集合的交集、补集等运算，同时考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题16 （14 分） （2016 秋 东海县月考）已知：p：|x+1|3，q：x 22x+1m20，m0（）若 m=2，命题 “p 或 q”为真， “p 且 q”为假，求实数 x 的取值范围；（）若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假【专题】对应思想；转化法；简易逻辑【分析】 （）分别求出 p，q 为真时的 x 的范围，通过讨论 p，q
24、 的真假得到关于 x 的不等式组，解出即可；（）分别求出 p，q 对应的数集，根据集合的包含关系，得到关于 m 的不等式组，求出 m 的范围即可【解答】解：（）当 m=2 时，p： 4x2，q：1x3，（2 分）因为命题“p 或 q”为真， “p 且 q”为假，则命题 p，q 一真一假，（3 分）所以有 或 ，解得：4x 1 或 2x3（6 分）所以满足题意的 x 的取值范围为4， 1） （2，3； （7 分）（）由题意得命题 p 对应的数集为 A=4，2，命题 q 对应的数集为 B=1m，1+m；（9 分）因为 p 是 q 的必要不充分条件，所以 BA，则 ，解得：0m 1 （13 分）所以
25、实数 m 的取值范围为（ 0，1（14 分）【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道中档题17 （14 分） （2015 张家港市校级模拟）已知美国苹果公司生产某款 iphone 手机的年固定成本为 40 万美元，每生产 1 只还需另投入 16 美元设苹果公司一年内共生产该款 iphone 手机 x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为 R（x）万美元，且 R（x）=（1）写出年利润 W（万元）关于年产量 x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润【考点】函数与方程的综合运用【专题】应用题；函数的性质及应用【
26、分析】 （1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论【解答】解：（1）利用利润等于收入减去成本，可得当 0x40 时，W=xR（x） （16x+40）=6x 2+384x40；当 x40 时，W=xR （x）（16x+40）=W= ；（2）当 0x40 时，W=6x 2+384x40=6（x32） 2+6104，x=32 时，W max=W（32）=6104；当 x40 时，W= 2 +7360，当且仅当 ，即 x=50 时，W max=W（50）=576061045760x=32 时，W 的最大值为 6104 万美元【点评】本题考查分段函数模型
27、的构建，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题18 （16 分） （2013 普陀区二模）已知 a0 且 a1，函数 f（x）=log a（x+1） ，g（x）=log a ，记F（x）=2f（x） +g（x） （1）求函数 F（x）的定义域 D 及其零点；（2）若关于 x 的方程 F（x）m=0 在区间0，1）内仅有一解，求实数 m 的取值范围【考点】函数的零点与方程根的关系；根的存在性及根的个数判断【专题】函数的性质及应用【分析】 （1）可得 F（x）的解析式，由 可得定义域，令 F（x）=0，由对数函数的性质可解得x 的值，注意验证即可；（2）方程可化为 ，设 1x
28、=t（0，1，构造函数 ，可得单调性和最值，进而可得吗的范围【解答】解：（1）F（x）=2f（x）+g（x）= （a0 且 a1）由 ，可解得1x 1，所以函数 F（x）的定义域为（1，1）令 F（x）=0，则 （*） 方程变为 ，即（x+1） 2=1x，即 x2+3x=0解得 x1=0，x 2=3，经检验 x=3 是（*）的增根，所以方程（*）的解为 x=0即函数 F（x）的零点为 0（2）方程可化为= ，故 ，设 1x=t（0，1函数 在区间（0，1上是减函数当 t=1 时，此时 x=0，y min=5，所以 am1若 a1，由 am1 可解得 m0，若 0a1，由 am1 可解得 m0，
29、故当 a1 时，实数 m 的取值范围为：m 0，当 0a1 时，实数 m 的取值范围为：m 0【点评】本题考查函数的零点与方程的跟的关系，属中档题19 （16 分） （2016 春 吉林校级期中）定义 g（x）=f（x）x 的零点 x0 为 f（x）的不动点，已知函数f（x）=ax 2+（ b+1）x+b1（a0） （1）当 a=1，b= 2 时，求函数的不动点；（2）对于任意实数 b，函数 f（x）恒有两个相异的不动点，求实数 a 的取值范围；（3）若函数 g（x）只有一个零点且 b1，求实数 a 的最小值【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理【专题】转化思想；转化法；函数的性
30、质及应用【分析】 （1）代入求出 f（x）的表达式，根据零点的概念求出不动点；（2）把动点问题转化为二次函数有解恒成立问题，求解即可；（3）动点问题转化为二次函数有一解得出 4a= ，利用分离参数法得出 4a= =（b1）+ +2，由均值不等式得出答案【解答】解：（1）f（x） =x2x3函数 f（x）的不动点为 3，1；（3 分）（2）对于任意实数 b，函数 f（x）恒有两个相异的不动点，则对于任意实数 b，f（x）x=0 恒有两个不等的实数根ax 2+bx+b1=0，0 恒成立，b 24a（b 1）0，b 24ab+4a0 对任意实数 b 都成立，=16a 216a0，0a1（8 分） ；
31、（3）g（x）=ax 2+bx+b1，函数 g（x）只有一个零点，b 1则=0，b 24ab+4a=0，4a= =（b 1）+ +24，当且仅当 b=2 时等号成立，a1，a 的最小值为 1（12 分）【点评】本题考查了对题意的理解和二次函数的应用，分离常数法的应用20 （16 分） （2016 秋 东海县月考）已知函数 f（x）= x2，g（x）=alnx（1）若曲线 y=f（x）g（x）在 x=1 处的切线的方程为 6x2y5=0，求实数 a 的值；（2）设 h（x）=f（x）+g（x） ，若对任意两个不等的正数 x1，x 2，都有 2 恒成立，求实数 a 的取值范围【考点】利用导数研究曲
32、线上某点切线方程；函数恒成立问题【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用【分析】 （1）求导函数，利用曲线 y=f（x）在 x=1 处的切线方程为 6x2y5=0，得 k=1a=3，即可求实数 a的值；（2）将条件对任意两个不等的正数 x1，x 2，都有 2 恒成立转化为0，构造函数 m（x）=h（x） 2x，则 m（x）在（0，+）上单调递增，即 m（x）0 恒成立，再将恒成立问题转化为求函数的最值，即可求出 a 的取值范围【解答】解：（1）y=f（x）g（x）= x2alnx 的导数为 y=x ，曲线 y=f（x）g（x）在 x=1 处的切线斜率为 k=1a，由切线的方程为 6x2y5=0，可得 1a=3，解得 a=2；（2）h（x）=f（x）+g（x）= x2+alnx，对任意两个不等的正数 x1，x 2，都有 2 恒成立，即0，令 m（x）=h（ x） 2x，则 m（x）在（0，+）递增，故 m（x）=h （x）2=x + 20 恒成立，即 ax（2 x）恒成立，因为 x（2x）=（x1） 2+11，所以 a1，即 a 的取值范围是1，+ ） 【点评】本题考查了利用导数求切线的斜率，研究函数的单调性与最值以及不等式恒成立问题的等价转化方法等知识点，其中构造新函数确定单调性是解决第 2 问的关键
